5.1 相交线（第2课时）课件（共38张PPT）-2023-2024学年七年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

数学（华东师大版）
七年级 上册
第5章 相交线与平行线
5.1 相交线
第2课时 垂线
学习目标
1.理解垂线的概念及画法；
2. 知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题；
　
导入新课
如图所示，背着沉重货物的小马要过河，它有 3 条线路可以走，选哪一条路走的路程最少呢？睿智的你能帮小马选出最近的路吗？
　
导入新课
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
　
导入新课
集思广益：日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你还能举出其他例子吗？
讲授新课
知识点一 垂线的概念
当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为直角时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
垂线定义：
它们的交点叫做垂足．
直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD，垂足为 O”.
读作“AB 垂直于 CD”.
讲授新课
在日常生活中，经常可以看到线线互相垂直的图形.
讲授新课
十字路口的两条道路
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
讲授新课
垂线知识详解：
（1）垂线是直线而不是线段或射线: 遇到线段与射线的垂直问题，都是指它们所在的直线互相垂直．
（2）推理格式：如图，因为 AB⊥CD，所以∠AOC=∠COB=∠BOD =∠AOD = 90°.
反过来：因为∠AOC = 90°，所以AB⊥CD.
（3）平面内两直线的位置关系: ①相交；②平行；③重合．其中，垂直是相交的特殊情况，即两条相交直线的夹角为直角．
讲授新课
指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。
注意：我们讨论两条直线互相垂直必须是在同一平面内。
垂直的定义：
知识归纳
讲授新课
两条直线互相垂直，一般垂直符号用“⊥”来表示；
如图，直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
把互相垂直的两条直线的交点称为垂足.（如图中的O点即为垂足）
A
B
C
D
O
垂直的表示法：
讲授新课
①判定：两条直线相交成90°
②性质：两条直线互相垂直所形成的四个角均为90°
垂线的基本性质与判定
讲授新课
典例精析
【例1】（1）若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则 ；
（2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD = _________；
（3）如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1:5，那么∠COA＝_____,∠BOC的补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
讲授新课
知识点二 垂线的画法及基本事实
问题:
(1)画已知直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?
问题引导
讲授新课
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
符号语言：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°.
②性质：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
讲授新课
经过直线 AB 外一点 P，画出垂直于直线 AB 的直线. 这样的垂线能画多少条？
（1）一靠: 将三角尺的一条直角边靠在已知直线上，即一条直角边与已知直线重合．
（2）二过:移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点．
（3）三画:沿已知点所在的直角边画线，则这条直线就是经过已知点画的已知直线的垂线．
只能画一条垂线
讲授新课
经过直线 AB 上一点 P，画出垂直于直线 AB 的直线. 这样的垂线能画多少条？
只能画一条垂线
由上述操作可以得到关于垂线的一个基本事实：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
讲授新课
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
注意：
总结归纳
讲授新课
典例精析
【例2】过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据垂线段的定义依次判断每个选项．
讲授新课
练一练
1．如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是_____．
【详解】解：过点E作EM⊥CD于E．
根据题意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°，
∴∠DEN=40°，
∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°．
故答案为70°．
讲授新课
知识点三 垂线段及点到直线的距离
A
B
C
D
E
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
讲授新课
C
D
E
l
B
A
过河问题
如图，小明要从A点过河，目测有B、C、D、E四个地点，哪个地点的距离是最短的？
讲授新课
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
概念归纳
D
l
A
讲授新课
垂线的性质: 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
垂线的性质中，经过的这“一点”的位置可以在已知直线上，也可以在已知直线外；“有且只有”的含义既表示了存在性，又表示了唯一性．
讲授新课
连结直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但垂线段只有一条，且垂线段最短说明长度也是唯一的，所以点到直线的距离是唯一的．
讲授新课
垂线、垂直与垂线段的关系:
①区别:
垂线是一条与已知直线垂直的直线；
垂直是两条直线之间的位置关系；
垂线段是一条与已知直线垂直的线段．
②联系:
垂线段所在的直线是已知直线的垂线；
垂线段所在的直线与已知直线垂直．
讲授新课
典例精析
【例3】过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
讲授新课
练一练
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等 B.有两对角相等
C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
C
当堂检测
如图，∠ABD = 90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字：
（1）点 B 在直线______________上，点 D 在直线______外；
（2）直线_____与直线_____相交于点 A，点 D 是直线_____与直线_____的交点，也是直线_____与直线______的交点，又是直线_____与直线_____的交点；
（3）直线_____⊥直线______，垂足为点_____；
（4）过点 D 有且只有_____条直线与直线 AC 垂直.
AC（或BD）
AC
AD
AC
AD
BD
AD
CD
BD
CD
BD
AC
B
一
当堂检测
2． 如图，点P在直线AB上，点C，D在直线AB的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD的度数为（　　）
A． 28°
B． 60°
C． 62°
D． 152°
C
当堂检测
4. 如图,直线AB,CD相交于点O,若∠EOD=40°, ∠BOC=130°, 则射线OE与直线AB的位置关系是____________.
垂直
当堂检测
5．如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即PA的长为某同学的跳远成绩，其依据是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．
【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故选：C．
当堂检测
6.如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE的度数．
A
F
D
O
B
C
E
解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°，
∴∠BOD=90°-40°=50°，
∴∠EOF=50°.
∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOD=50°，
∴∠COE=180°-50°-50°=80°．
当堂检测
7．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，O是垂足，∠AOD=120°，那么∠COB的度数为______；
【详解】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=90°
∵∠AOD=120°
∴∠BOD=120°-90°=30°
∠BOC=60°
故答案为：60°．
当堂检测
8．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11.
(1)求∠COE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【答案】(1)145°
(2)125°
【点睛】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，垂直的定义，几何图形中角度的计算，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．
当堂检测
（1）
解：∵∠AOC：∠AOD=7:11，∠AOC+∠AOD=180°
∴∠AOC=????????????×????????????°=????????°，
∴∠DOB=∠AOC=70°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=????????∠????????????=????????×????????°=????????°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-35°=145°，
（2）
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠FOD=90°-∠DOE=90°-35°=55°，
∴∠COF=180°-∠FOD=180°-55°=125°．
?
课堂小结

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1.垂线的定义
2.垂线的画法
3.垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移 ；四、画.
4.点到直线的距离
(2)垂线段最短
谢 谢~