5.2二次函数的图像和性质（第4课时）课件（共20张PPT）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

(共24张PPT)
第5章 二次函数
5.2　二次函数的图像和性质（4）
第4课时 二次函数y＝a(x＋m)2的图像和性质
学习目标
1.会用描点法画函数y＝a(x＋m)2 （a≠0）的图像；
2.能用平移变换解释二次函数 y＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系；
3.能根据图像认识和理解二次函数y＝a(x＋m)2（a≠0）的性质.
请你猜想y＝(x+3)2的图像与y＝x2的图像之间有什么关系？
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
思考与探索
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x
思考与探索
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝(x+3)2的图像．
(1)列表：
9
4
1
0
1
9
4
x
y=(x+3)2
9
4
1
0
1
9
4
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
从表格的数值看：函数y＝ (x＋3)2与函数y＝x2的函数值相等时，它们所对应的自变量 x 的值有什么关系？
函数值相等时，对应的自变量x 的值相差3.
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
思考与探索
(2)描点、连线：
6
10
y=x2
函数y=(x+3)2的图像和y＝x2的图像形状相同吗
相同
y=(x+3)2
思考与探索
(2)描点、连线：
从对应点的位置看：函数y=(x+3)2的图像和y＝x2的图像的位置有什么关系？
函数y=(x+3)2的图像可以由函数y=x2的图像向左平移3个单位长度得到.
根据图像，说出函数y=(x+3)2的图像有哪些性质？
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
y=(x+3)2
思考与探索
函数y=(x+3)2的图像是一条开口向上的抛物线；
顶点坐标是(-3，0)；
对称轴是______；
当x<-3时，y随x增大而减小；
当x>-3时，y随x增大而增大；
当x=-3时，y的值最小，最小值是0.
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
y=(x+3)2
x=-3
x=-3
思考与探索
猜想：
1. 函数y＝(x－1)2的图像和y=x2的图像的位置有何关系？
2. 函数y＝(x－1)2的图像有哪些性质？
x
9
4
1
0
1
9
4
y=(x－1)2
-2
-1
0
1
2
4
3
思考与探索
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
y=(x+3)2
y=(x-1)2
函数y＝(x-1)2的图像是一条开口向上的抛物线；
顶点坐标是(0，1)；
对称轴是______；
当x<1时，y随x增大而减小；
当x>1时，y随x增大而增大；
当x=1时，y的值最小，最小值是0.
x=1
x=1
函数y=(x-1)2的图像可以由函数y=x2的图像向右平移1个单位长度得到.
图像向右移还是向左移，移多少个单位长度，从函数表达式上看有什么规律吗
新知应用
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y=-x ， y=-(x+1)2，y=-(x-2)2的图像.
y=-(x+1)2
-1
-2
-2
2
-3
3
-4
-5
5
4
-4
-3
-1
1
O
1
x
y
y=-x2
y=-(x-2)2
x=-1
x=2
根据图像填空:
把抛物线y=-x 向_____平移____个单位长度，就得到抛物线 y=-(x+1)2；
把抛物线y=-x 向_____平移____个单位长度，就得到抛物线 y=-(x-2)2.
左
1
右
2
平移中的“变”与“不变”
抛物线左右平移后，开口的大小和方向不变，即a的值不变.但对称轴和顶点坐标变化.
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=a(x＋m)2 (a≠0)的图像形状_______，只是位置不同；
当m＞0时，函数y=a(x＋m)2的图像可由y=ax2的图像向___平移__个单位得到，
当m＜0时，函数y=a(x＋m)2的图像可由y=ax2的图像向 ___平移___个单位得到.
二次函数y=ax2 与y＝a(x＋m)2（a ≠ 0）的图像的关系
归纳总结
相同
左
m
右
|m|
平移规律：左加右减；括号外不变.
二次函数y＝a(x＋m)2顶点坐标是 　　　，对称轴是 ．
(－m，0)
x=－m
归纳总结
二次函数y=a(x＋m)2（a ≠ 0）的性质：
y＝a(x＋m)2 a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值
增减性
开口大小
(－m，0)
(－m，0)
直线x＝－m
直线x＝－m
向上
向下
当x=－m时，y最小值=0
当x=－m时，y最大值=0
当x＜－m时，y随x的增大而减小；
x＞－m时，y随x的增大而增大.
当x＞－m时，y随x的增大而减小；
x＜－m时，y随x的增大而增大.
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大
2.二次函数y=-3(x-4)2的图像是由抛物线y=-3x2向__平移__个单位得到的.
1.二次函数y=2(x+5)2的图像由抛物线y=2x2向 _平移 个单位得到的.
新知巩固
3.将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后就得到函数 ________的图像.
左
右
4
5
4.将二次函数y=-3(x-2)2的图像向左平移3个单位后就得到函数__________的图像.
y=2(x-3)2
y=-3(x+1)2
新知巩固
5. 将函数y=2x2的图像向___平移___个单位就得到函数y=2x2-2的图像，将函数的图像向___平移___个单位就得到函数y=2(x-3)2的图像．
下
2
3
右
6. 二次函数y=-3(x+4)2的图像开口_____，顶点坐标是________，是由抛物线y=-3x2向____平移____个单位得到的，对称轴是________，当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小，当x＝____时，y有最___值，是____．
向下
（-4，0）
左
4
直线x=-4
＜-4
＞-4
0
-4
大
课堂小结
二次函数y=a(x＋m)2的图像和性质
与y=ax2的关系
图像
性质
左加右减
开口方向由a的符号决定
m决定顶点位置
对称轴是x=-m
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
当堂检测
1.将抛物线y＝－2x2平移得到抛物线y＝－2(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( 　 )A.向上平移2个单位长度 B.向下平移2个单位长度C.向左平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度
C
2.把抛物线y＝－x2向右平移2个单位长度，则平移后所得抛物线的函数表达式为(　　)A.y＝－x2＋2 B.y＝－(x＋2)2 C.y＝－x2－2 D.y＝－(x－2)2
D
当堂检测
3.对于函数y＝－2(x＋1)2的图像，下列说法不正确的是(　　)A.开口向下　 B.对称轴是直线x＝1　C.最大值为0　 D.与x轴只有一个交点
B
4.已知某二次函数满足下列特征：①图像顶点在x轴上；②当x>2时，y随x增大而减小，则下面四个选项中符合题意的是(　　)A.y＝2x2＋3　 B.y＝－2(x－1)2　 C.y＝－2x2＋3　 D.y＝－2(x－3)2
B
当堂检测
5.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是_____________________ .
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
6.二次函数y＝－(x＋5)2的图像开口向____，对称轴为___________，当x＝______时，y有最____值，为___；当x________时，y随x的增大而增大.
下
直线x＝－5
－5
大
0
＜－5
7.已知某抛物线的开口大小与抛物线y＝3x2相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2相同，则此抛物线的函数表达式为_________________.
y＝±3(x＋2)2
当堂检测
8.已知抛物线y＝2(x－1)2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且1＜x1＜x2，则y1与y2的关系是________.
y2＞y1
9.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_____________.
y1 ＞y2 ＞ y3
当堂检测
10.已知抛物线y＝a(x＋4)2经过点M(－3，2)，请解答下列问题：
解：∵抛物线y＝a(x＋4)2经过点M(－3，2)，∴a(－3＋4)2＝2，解得a＝2，∴抛物线的函数表达式为y＝2(x＋4)2.
(1)求抛物线的函数表达式；
当堂检测
(3)求出函数的最大值或最小值.
解：当x＝－4时，函数有最小值0.该函数无最大值.
(2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及y随x的变化规律；
解：∵a＝2，2＞0，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为(－4，0)，对称轴为直线x＝－4.当x＜－4时，y随x的增大而减小；
当x＞－4时，y随x的增大而增大.
当堂检测
11.已知抛物线y＝a(x＋m)2的对称轴是直线x＝2，抛物线与y轴的交点坐标是(0，8)，求a，m的值．
解：∵抛物线y＝a(x＋m)2的对称轴是直线x＝2，∴m＝－2，
∴抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2.∵抛物线与y轴的交点坐标是(0，8)，∴8＝a×(0－2)2，解得a＝2.
当堂检测
12.已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，y有最小值，且抛物线经过点(1，3).(1)求抛物线的函数表达式；
解：∵当x＝2时y有最小值，
∴h＝2，∴y＝a(x－2)2，将点(1，3)代入，得3＝a(1－2)2，解得a＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2.
当堂检测
(2)若(－100，y1)，(－99，y2)，(103，y3)三点都在(1)中所求的抛物线上，请比较y1，y2，y3的大小.
解：抛物线y＝3(x－2)2的对称轴为直线x＝2，∵a＝3，3＞0，
∴抛物线的开口向上.∵点(－100，y1)，(－99，y2)，(103，y3)到对称轴的距离分别为102，101，101，
∴y1＞y2＝y3.