19.3 逆命题和逆定理 课件（共28张PPT）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

(共28张PPT)
沪教版八年级上册
第 19 章 几何证明
19.3 逆命题和逆定理
学习目标
了解逆命题、逆定理的概念.
会识别两个命题是不是互逆命题，并能写出简单命题的逆命题.
了解原命题成立，其逆命题不一定成立.
理解线段垂直平分线性质定理的逆定理.
回顾旧知
命题的定义：
命题的组成：
命题的分类：
定理的含义：
判断一件事情的句子
题设和结论
真命题
假命题
公理
定理
从公理或其他真命题出发，
用推理方法证明为正确的，
并进一步作为判断其他命题真假的依据
推理证明
举反例
如果...那么...
说出下列命题的题设与结论
命题 题设 结论
（1）两直线平行，内错角相等 （2）内错角相等，两直线平行
（3）如果a=b，那么a2=b2。 （4）如果a2=b2，那么a=b。
a=b
a2=b2
a2=b2
a=b
两直线平行
内错角相等
内错角相等
两直线平行
每组中两个命题的题设与结论有怎样的关系？
两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题。
总结
例1：说说命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。”的逆命题。
解：逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角。
练习1 说出下列命题的逆命题：
（1）如果一个数是素数，那么这个数一定是奇数.
（2）一个三角形中如果有两个角是锐角，那么另一个角一定是钝角.
逆命题：一个三角形中如果有一个角是钝角，那么另外两个角一定是锐角。
逆命题：如果一个数是奇数，那么这个数一定是素数。
练习1 说出下列命题的逆命题：
（3）全等三角形对应边相等.
（4）全等三角形对应角相等.
逆命题：角都对应相等的两个三角形是全等三角形。
逆命题：如果两个三角形的边都对应相等，那么这两个三角形全等。
如果两个三角形全等，
那么这两个三角形的对应边都相等.
可简述为：边都对应相等的两个三角形是全等三角形。
练习2 请判断这些原命题与逆命题的真假
（1）如果一个数是素数，那么这个数一定是奇数.
（2）一个三角形中如果有两个角是锐角，那么另一个角一定是钝角.
逆命题：一个三角形中如果有一个角是钝角，那么另外两个角一定是锐角。
逆命题：如果一个数是奇数，那么这个数一定是素数。
（3）全等三角形对应边相等.
（4）全等三角形对应角相等.
逆命题：角都对应相等的两个三角形是全等三角形。
逆命题：边都对应相等的两个三角形是全等三角形。
真命题
假命题
假命题
假命题
真命题
真命题
真命题
假命题
你有何发现
每个命题都有逆命题
归纳：
真命题的逆命题可能是真命题也可能是假命题
假命题的逆命题可能是假命题也可能是真命题
练习2 请判断这些原命题与逆命题的真假
（1）如果一个素数，那么这个数一定是奇数；
（2）一个三角形中如果有两个角是锐角，那么另一个角一定是钝角；
解 逆命题是：一个三角形中如果有一个角是钝角，那么另外两个角一定是锐角。
解 逆命题是：如果一个数是奇数，那么这个数一定是素数。
（3）全等三角形对应边相等；
（4）全等三角形对应角相等
解 逆命题是：对应角都相等的两个三角形是全等三角形。
解 逆命题是：对应边都相等的两个三角形是全等三角形。
真命题
假命题
假命题
假命题
真命题
真命题
真命题
假命题
你有何发现
每个命题都有逆命题
归纳：
每个定理都有逆定理吗？
思考：
（3）全等三角形对应边相等；
（4）全等三角形对应角相等
不是每个定理都有逆定理
猜想：
解 逆命题是：对应角都相等的两个三角形是全等三角形。
解 逆命题是：对应边都相等的两个三角形是全等三角形。
真命题
真命题
真命题
假命题
每个命题都有逆命题
归纳：
练习2 请判断这些原命题与逆命题的真假
概念
如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。
如果一个定理的逆命题能被证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个就叫做另一个的逆定理。
你能想一想，我们所学过的定理中，有哪些互逆定理呢？
总结
例2：写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，再判断这个逆命题的真假。
解：逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形。”
逆命题是一个假命题。
例如：如图，AA’∥BC， △ ABC与△ A’BC的面积相等，但△ABC与△ A’BC显然不全等。
例题3 下列定理有没有逆定理？为什么？
（1）等边对等角
解：原定理的逆命题是“等角对等边”，
这是一个真命题；
所以，“等边对等角”有逆定理。
（2）对顶角相等
解：原定理的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角互为对顶角”
如图，△ABC中，∠B=∠C
但∠B与∠C不是对顶角
这是一个假命题
所以，“对顶角相等”没有逆定理。
在一个三角形中，如果两条边相等，那么这两条边所对的角相等。
如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等。
写出下列命题的逆命题，再判断原命题和逆命题的真假：
(1)直角都相等；
(2)平行四边形是中心对称图形；
相等的角都是直角。
假
假
真
真
中心对称图形是平行四边形。
写出下列命题的逆命题，再判断原命题和逆命题的真假：
(3)轴对称图形是等腰三角形 ；
(4)全等三角形对应边相等；
2、每一个命题都有逆命题吗？
等腰三角形是轴对称图形。
想一想
1、如果原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？
真
真
真
假
三条边对应相等的两个三角形是全等三角形.
每一个命题都有它的逆命题,但每
个真命题的逆命题不一定是真命题.
思考：一个定理是不是一定有逆定理？
一个定理不一定有逆定理.
1.说出下列命题的题设和结论,再说出它们的逆命题
两直线平行,同位角相等.
(2)全等三角形的对应角相等.
课本练习
【解析】（1）题设：如果两直线平行；结论：其同位角相等.
逆命题：同位角相等，两直线平行。
（2）题设：如果三角形全等；结论：其对应角相等。
逆命题：如果两个三角形的三组角对应相等，那么这两个三角形全等。
2.写出下列命题的逆命题再判断逆命题的真假.
等边三角形的三个内角都等于 60°.
(2)关于某一条直线对称的两个三角形全等
（2）逆命题：如果两个全等三角形，那么这两个三角形关于某条直线对称。此命题为假命题。
【解析】（1）逆命题：如果有三个角都等于60°的三角形，那么这个三角形是全等三角形。此命题为真命题。
3.下列定理有没有逆定理 为什么
(1)对顶角相等.
(2)全等三角形的对应边相等.
【解析】（1）定理“对顶角相等”的逆命题是：相等的两个角是对顶角。这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理。
（2）定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是：三边对应角相等的两个三角形是全等三角形，这是一个真命题。所以“全等三角形的对应边相等”有逆定理。
1.说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假.
(1)长方形有两条对称轴.
(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.
解：(1)逆命题：有两条对称轴的四边形是长方形.
是假命题，因为菱形也有两条对称轴，但不是长方形.
(2)逆命题：高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车.
是假命题，飞机也是高速行驶时不接触地面的交通工具，但不是磁悬浮列车.
随堂检测
2.指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。
（1）.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
题设：一个点到一个角的两边距离相等。
结论：它在这个角的平分线上。
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等。
2.指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
题设：一个点在一条线段的垂直平分线上。
结论：它到这条线段的两个端点的距离相等。
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3. 说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明.
解： 逆命题是 “如果两个三角形的面积相等，那么这两
个三角形全等”.
分析：说明一个命题是真命题需经过证明，而说明一个命
题是假命题只需举一个反例即可.
解： 逆命题是 “如果两个三角形的面积相等，那么这两
个三角形全等”.
如图，在△ABC和△ABE中，
CD、EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，
且CD=EF，
则△ABC和△ABE的面积相等，
但显然它们不全等.
所以这个逆命题是假命题.
这个命题是假命题. 举反例如下：
D
A
F
B
C
E
4. 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
已知：在△ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，相交于点P.
求证：点P也在BC的垂直平分线上.
P
D
E
A
C
B
P
D
E
A
C
证明：
连结PA，PB，PC.
∵ PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，
∴ PA=PB，PA=PC
（线段垂直平分线 上的点到线段
两端的距离相等） .
∴ PB=PC（等量代换），
∴点P在BC的垂直平分线上
（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
① 逆命题、逆定理的概念；
② 能写出一个命题的逆命题；
③ 在证明假命题时会用举反例说明；
④ 线段垂直平分线性质定理的逆定理.
课堂小结