2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学分类汇编—立体几何
一、选择题
1、已知m,n是两条不同直线，α,β,Υ是三个不同平面.下列命题中正确的是
（A）若α⊥Υ，β∥Υ，则α∥β (B)若m⊥α，n⊥α，则m∥n
（C）若m∥α，n∥α，则m∥n （D）若m∥α，m∥β，则a∥β
2、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
A. B. C. D.
3、用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为
A. B. C. D.
4、已知直线m、n和平面 、 满足m⊥n， ⊥ ，则
A. n⊥ B. n∥ 或n C. n⊥ D. n∥ 或n
5、长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝，AA1＝1，则顶点A、B间的球面距离是
A. B. C. D.
6、设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是
在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
7、已知三棱柱ABC－的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则A与底面ABC所成角的正弦值等于
(A) (B) (C) (D)
8、正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为
A. 3 B. 6 C. 9 D.18
9、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于
A.1 B. C. D. 2
10、设M是球O的半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为
（A） （B） （C） （D）
11、设直线，过平面外一点A且与、都成30°角的直线有且只有
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
12、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为
（A） （B） （C） （D）
13、设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
14、对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得
（A） （B） （C） （D）
15、设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若，m,则m
D.若，m，m,则m∥
16、已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为
A． B. C. D.
二、填空题
如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，
DA=AB=BC=，则球O点体积等于
2、已知点A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD.若AB=6,AC=2,AD=8,则B，C两点间的球面距离是 .
3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
4、在体积为的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BC=，A、C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为 .
5、已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于 .
6、若一个球的体积为，则它的表面积为 ．
三、解答题
1、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？
2、如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝,OA⊥底面ABCD，OA=2,M为OA的中点.
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离.
3、如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.
4、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
5、如图，在直三棱柱中，平面侧面
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角
6、如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝.
(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.
7、四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，
BC＝2，CD＝，AB=AC.
证明：AD⊥CE;
设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小.
8、如图，正四棱柱ABCD-中，点E在上且
①证明：
求二面角的大小
9、如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD，BE∥AF，G、H分别是FA、FD的中点。
(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？
(Ⅲ)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.
10、如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．
参考答案
选择题
1-5：BDDDB
6-10：BABBD
11-16：BBCBDC
二、填空题
1、 2、 3、 4、 5、 6、
三、解答题
1、
2、
3、解法一：
（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC平面PCD，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为aresin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB平面ABC，
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2，
∴t=2,P(0,0,2).
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
4、解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB＝,
cos∠PBO=,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.
又S△=
设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得S△ACD·OP＝S△PCD·h，
即×1×1＝××h，
解得h＝.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.
则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），
∞〈、〉=，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，
（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），
由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
则 n·＝0，所以 -x0+ x0=0,
n·＝0， -x0+ y0=0，
即x0=y0=x0,
取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又=(1,1,0).
从而点A到平面PCD的距离d＝
5、(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB侧面A1ABB1，
故AB⊥BC.
(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1= .
于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋ ＝∠AA1B＋ ＝，故θ＋ ＝.
证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),
A1(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,
c,a
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),
则由
可取n＝（0，－a，c），于是
n·=ac＞0，与n的夹角 为锐角,则 与 互为余角
sin =cos =,
cos =
所以sin =cos =sin(),又0＜ ， ＜，所以 + =.
6、解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，
是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以
又所以
又因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以而因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以
又所以是二面角的平面角．
在中, ．
故二面角的大小为
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是
（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.
从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）易知设是平面PBE的一个法向量,
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是,．
故二面角的大小为
7、解：（1）取中点，连接交于点，
，，
又面面，面，
．
，
，，即，
面，．
（2）在面内过点作的垂线 ( http: / / www. )，垂足为．
，，面，，
则即为所求二面角 ( http: / / www. )的平面角．
，，，
，则，
，即二面角的大小
8、
9、（Ⅰ）由题意知，
所以
又，故
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由，是的中点知，，所以
由（Ⅰ）知，所以，故共面。又点在直线上
所以四点共面。
（Ⅲ）连结，由，及知是正方形
故。由题设知两两垂直，故平面，
因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，
又，所以平面
由（Ⅰ）知，所以平面。
由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面
解法二：
由平面平面，，得平面，以为坐标原点，
射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系
（Ⅰ）设，则由题设得
所以
于是
又点不在直线上
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由题设知，所以
又，故四点共面。
（Ⅲ）由得，所以
又，因此
即
又，所以平面
故由平面，得平面平面
10、
G
H
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
P
第 1 页 共 12 页2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学分类汇编—直线与圆的方程
一、选择题：
1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线的距离为 （ D ）
A．1 B． C．2 D．
2．（福建文科2）“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的 （ C ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（四川理科4文科6）将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线
为 （ A ）
A． B． C． D．
解析：本题有新意，审题是关键．旋转则与原直线垂直，故旋转后斜率为．再右移1得．
选A．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．
4．（全国I卷理科10）若直线通过点，则 （ B ）
A． B． C． D．
5．（重庆理科7）若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的
比的值为 （ A ）
A．－ B．－ C． D．
（重庆文科4）若点P分有向线段所成的比为－，则点B分有向线段所成的比是（ A ）
A．－ B．－ C． D．3
6．（安徽理科8文科10）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率
的取值范围为 （ C ）
A． B． C． D．
7．（辽宁文、理科3）圆与直线没有公共点的充要条件是 （ C ）
A． B．
C． D．
8．（陕西文、理科5）直线与圆相切，则实数等于（ C ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．（安徽文科11）若A为不等式组 表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，
动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为 （ C ）
A． B．1 C． D．2
10．（湖北文科5）在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表
示为下列图中的 （ C ）
11．（辽宁文科9）已知变量x、y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为（ B ）
A．4 B．2 C．1 D．－4
12．（北京理科5）若实数x,y满足，则z=3x+y的最小值是 （ B ）
A．0 B．1 C． D．9
（北京文科6）若实数x，y满足，则z=x+2y的最小值是 （ A ）
A．0 B． C．1 D．2
13．（福建理科8）若实数x、y满足，则的取值范围是 （ C ）
A．(0，1) B．(0，1] C．(1，+∞) D．[1，+∞)
（福建文科10）若实数x、y满足则的取值范围是 （ D ）
A．（0，2） B．（0，2） C．(2,+∞) D．[2，+∞)
14．（天津理科2文科3）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．5 （ D ）
15．（广东理科4）若变量x、y满足，则的最大值是（ C ）
A．90 B．80 C．70 D．40
16．（湖南理科3）已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是（ C ）
A．2 B．5 C．6 D．8
（湖南文科3）已知变量x、y满足条件则x+y是最小值是 （ C ）
A．4 B．3 C．2 D．1
17．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x，y满足约束条件：则的最小值为（ D ）
A．－2 B.－4 C. －6 D.－8
18．（陕西理科10）已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实
数等于 （ B ）
A．7 B．5 C．4 D．3
19．（浙江文科10）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点 所形成的平面区域的面积等于 （ C ）
A． B． C．1 D．
20．（山东理科12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数
y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 （ C ）
A．[1,3] B．[2,] C．[2,9] D．[,9]
21．（山东文科11）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该
圆的标准方程是 （ B ）
A． B．
C． D．
22．（重庆文科3）曲线C:(为参数)的普通方程为 （ C ）
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
23．（北京理科7）过直线y＝x上的一点作圆的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关
于y＝x对称时，它们之间的夹角为 （ C ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
24．（广东文科6）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（ C ）
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
25．（湖北理科9）过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有
A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 （ C ）
26．（山东理科11）已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为
AC和BD，则四边形ABCD的面积为 （ B ）
A．10 B．20 C．30 D．40
27．（重庆理科3）圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是 （ B ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
28．（上海理科15）如图，在平面直角坐标系中，是一个
与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D
的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的
四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足x≤x’ 且y≥y’，
则称P优于P’，如果中的点Q满足：不存在中的其
它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧
（ D ）
A． B． C． D．
二、填空题
29．（广东文科12）若变量x、y满足，则的最大值是 ．
答案：70
30．（全国I卷理科13）若满足约束条件则的最大值为 ．
答案：9
31．（山东文科16）设满足约束条件则的最大值为 ．
答案：11
32．（安徽理科15）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动
直线扫过中的那部分区域的面积为 ．
答案：
33.（浙江理科17）若a≥0,b≥0,且当时，恒有ax＋by≤1，则以a、b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于_________.
答案：1
34．（福建理科14）若直线3x+4y+m=0与圆（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值
范围是 ．
答案：
（福建文科14）若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围
是 ．
答案：
35．（山东文科13）已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的
一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
答案：
36．（江苏9）如图，在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为，
点是线段OA上一点（异于端点），均为
非零实数．直线BP、CP分别交AC、AB于点E，F．一同学已
正确地求出直线的方程为，请你
完成直线的方程：（ ▲ ）．
答案：
37．（广东理科11）经过圆的圆心C，且与直线
垂直的直线方程是________________．
【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的
坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为．
38．（重庆理科15）直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），
则直线l的方程为 ．
答案：x－y＋1＝0
（重庆文科15）已知圆C：（a为实数）上任意一点关于直线l：
x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a= ．
答案：－2
39．（天津理科13）已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线
与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .．
答案：
40．（天津文科15）已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与
圆相交于两点，且，则圆的方程为 ．
答案：
41．（湖南文科14）将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；
若过点(3，0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是 ．
答案：(x－1)2+y2＝1；
42．（四川文、理科14）已知直线与圆，则上各点到距离
的最小值为 ．
解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心到直线的距离．故最小值为．
三、解答题
43．（宁夏海南文科第20题）
已知直线和圆.
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解：（Ⅰ），
∴当k≠0时，解得且k≠0
又当k＝0时，m＝0，方程有解，所以，综上所述
（Ⅱ）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．设直线与圆交于A，B两点
则∠ACB＝120°．∵圆，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1．
故有，整理得．
∵，∴无实数解．
因此直线不可能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．
44．（江苏18）在平面直角坐标系中，二次函数（）与两坐标轴有三
个交点．记过三个交点的圆为圆．
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）求圆的方程；
（Ⅲ）圆是否经过定点（与的取值无关）？证明你的结论．
解：（Ⅰ）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）
令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0
令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b
令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1
所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0
（Ⅲ）圆C必过定点（0，1），（-2，1）
证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0
所以圆C必过定点（0，1）；
同理可证圆C必过定点（-2，1）．
x
y
O
· B
A
C
·
D ·
A
B
C
x
y
P
O
F
E
第 1 页 共 9 页2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学分类汇编—概率统计
一．选择题：
1. (安徽理)（10）．设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（ A ）
A．
B．
C．
D．
2.（福建理）(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 （B）
A. B. C. D.
3. （福建文）(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 （C）
A. B. C. D.
一年级 二年级 三年级
女生 373
男生 377 370
4. （广东理）（3）．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12
5.（湖南理） 4.设随机变量服从正态分布N(2,9) ,若P (＞c+1)=P(＜c－,则c=(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
6. （江西文）（11）．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 （C）
A． B． C． D．
7. （辽宁理文）（7）.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C )
A. B. C. D.
8.（山东理）（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（B）
（A） （B） （C） （D）
9.（山东理） (8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（b）
（A）304.6 （B）303.6 (C)302.6 (D)301.6
10.（山东文）9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
A． B． C．3 D．
10.（陕西文）（3 ( http: / / www. )）．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ）
A．30 B．25 C．20 D．15
11.（重庆理）(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(＝（D）
(A) (B) (C) (D)
12. （重庆文）(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（D）
(A)简单随机抽样法 (B)抽签法
(C)随机数表法 (D)分层抽样法
13．（重庆文）(9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 （B）
(A) (B) (C) (D)
二．填空题：
1.（广东文） （11）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，
由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是 13 .
2.（海南宁夏理文）（16）．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① ；
② ．
以下任填两个：（1）．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
（2）．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．
（3）．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．
（4）．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．
3. （湖北文）11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 10 .
4．（湖北文）14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 0.98 .
5. （湖南理）15.对有n(n≥4)个元素的总体｛1,2,3,…,n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…，m｝和｛m+1、m+2,…，n｝(m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和f同时出现在样本中的概率，则P1m=;所有Pif(1≤i＜j≤的和等于 6 .
6. （湖南文）（12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多____60____人。
7.（江苏）（2）．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率
8.（江苏）（7）．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：
序号（i） 分组睡眠时间 组中值（Gi） 频数（人数） 频率（Fi）
1 [4，5） 4.5 6 0.12
2 [5，6） 5.5 10 0.20
3 [6，7） 6.5 20 0.40
4 [7，8） 7.5 10 0.20
5 [8，9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 6.42 ．
9.（上海理文）（7）.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）
10.（上海理文）（9）.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是
10.5和10.5
11.（上海文）8．在平面直角坐标系中，从五个点：
中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．
12. （天津文）（11）．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 10 人．
13.
三．解答题：
1.（安徽理）(19)．（本小题满分12分）
为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。
（1）求n,p的值并写出的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率
解：(1)由得,从而
的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
2．（安徽文）（18）．（本小题满分12分）
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
（1）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。
（2）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。
解：（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为。
（2）设表示所抽取的三张卡片中，恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为则 ,
因而所求概率为 。
3．（北京理（17），文（18））（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（3）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．
解：（1）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
（2）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
（3）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，
则．所以，的分布列是
1 3
4．（福建理）（20）（本小题满分12分）
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试 成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.
解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.
(1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，
则.
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.
(2)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
故
答：该考生参加考试次数的数学期望为.
5．（福建文）（18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.
(1)求恰有二人破译出密码的概率；
(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.
解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有
且A1，A2，A3相互独立.
（1）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有
B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3
彼此互斥
于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3）
＝＝.
答：恰好二人破译出密码的概率为.
（2）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.
D＝··，且，，互相独立，则有
P（D）＝P（）·P（）·P（）＝＝.
而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.
答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
6．（广东理）（17）．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．
（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，
，
6 2 1
0.63 0.25 0.1 0.02
故的分布列为：
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为
依题意，，即，解得 所以三等品率最多为
7．（广东文）（19）.（本小题满分13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
求x的值；
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
解：（1）
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为： 名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；
由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个
事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个
8．（海南宁夏理）（19 ( http: / / www. )）．（本小题满分12分）两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1 5％ 10％
P 0.8 0.2
X2 2％ 8％ 12％
P 0.2 0.5 0.3
（1）在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；
（2）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值．（注：）
解：（1）由题设可知和的分布列分别为
Y1 5 10
P 0.8 0.2
Y2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
，
，
，
．
（2）
，
当时，为最小值．
9．（海南宁夏文）（19 ( http: / / www. )）．（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：
5，6，7，8，9，10．
把这6名学生的得分看成一个总体．
（1）求该总体的平均数；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：（1）总体平均数为．
（2）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．
共15个基本结果．
事件包括的基本结果有：，，，，，，．
共有7个基本结果．
所以所求的概率为 ．
10．（湖北理）（17）（本小题满分12分）
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.
（1）求ξ的分布列，期望和方差；
（2）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.
解：（1）的分布列为：
0 1 2 3 4
P
∴
（2）由，得a2×2.75＝11，即又所以
当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;
当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
∴或即为所求.
11．（湖南理）（16）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：
（1）至少有1人面试合格的概率;
（2）签约人数的分布列和数学期望.
解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且
P（A）＝P（B）＝P（C）＝.
（1）至少有1人面试合格的概率是
（2）的可能取值为0，1，2，3.
＝
＝
=
=
所以， 的分布列是
0 1 2 3
P
的期望
12．（湖南文）（16）．（本小题满分12分）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格
就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：
（1）至少一人面试合格的概率；
（2）没有人签约的概率。
解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，
且
（1）至少有一人面试合格的概率是
（2）没有人签约的概率为
13．（江西理）18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出ξ1、ξ2的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大
解：（1）ξ1的分布列为
ξ1 0.8 0.9 1 1.125 1.25
P1 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
ξ2的分布列为
ξ2 0.8 0.96 1 1.2 1.44
P2 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
（2）由（1）可得P1＞1的概率P（P1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3，
P2＞1的概率P（P2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32，
可见，P（P2＞1）＞P（P1＞1）
∴实施方案2，两年后产量超过灾前概率更大。
（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润1、利润2，根据题意
利润1 = （0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 + （0.15 + 0.15）×20
= 14.75（万元）
利润2 = （0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20
= 14.1（万元）
∴利润1＞利润2，
∴实施方案1平均利润更大。
14．（江西文）（18）．因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；
（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
解：（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件
15．（辽宁理）（18）.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:
周销售量 2 3 4
频数 20 50 30
⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;
⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.
解：（1）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3.
（2）的可能值为8，10，12，14，16，且
P（=8）=0.22=0.04,
P（=10）=2×0.2×0.5=0.2,
P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,
P（=14）=2×0.5×0.3=0.3,
P（=16）=0.32=0.09.
的分布列为
8 10 12 14 16
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
F=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）
16．（辽宁文）（18）．（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
周销售量 2 3 4
频数 20 50 30
（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（2）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；
（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．
解：（1）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．
（2）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为
（ⅰ）．
（ⅱ）．
19．（全国Ⅰ理；文只做（1））20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（1）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（2）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
解：（1）对于甲：
次数 1 2 3 4 5
概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
对于乙：
次数 2 3 4
概率 0.4 0.4 0.2
．
（2）表示依方案乙所需化验次数，的期望为
20．（全国Ⅱ理）（18）．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．
（1）求一投保人在一年度内出险的概率；
（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．
（1）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， ，
又，故．
（2）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出 ，
盈利 ，
盈利的期望为 ，
由知，，
．
（元）．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元．
21．（全国Ⅱ文）（19 ( http: / / www. )）．（本小题满分12分）
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（1）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（2）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
解：记分别表示甲击中9环，10环，
分别表示乙击中8环，9环，
表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（1），
．
（2），
，
，
．
22．（山东理）（18）（本小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（1）求随机变量ε分布列和数学期望；
(2) 用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
(1)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且
所以ε的分布列为
ε 0 1 2 3
P
ε的数学期望为 Eε=
解法二：根据题设可知
因此ε的分布列为
（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又
由互斥事件的概率公式得
解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事
P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).
=
23．（山东文）18．（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和不全被选中的概率．
解：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{，，
，，，
，，，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用表示“恰被选中”这一事件，则
{，
}
事件由6个基本事件组成，
因而．
（2）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，
由于{}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
24．（陕西理）（18）．（本小题满分12分）
某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（1）求该射手恰好射击两次的概率；
（2）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．
解：（1）设该射手第次击中目标的事件为，则，
．
（2）可能取的值为0，1，2，3． 的分布列为
0 1 2 3
0.008 0.032 0.16 0.8
25．（陕西文）18．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（1）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；
（2）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解：（1）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率
．
（2）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为
．
26．（四川理）（18）．（本小题满分12分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（3）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。
解：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
（1）
（2），
（3），故的分布列
，
，
所以
27．（四川文）（18）．（本小题满分12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率为0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，各顾客之间购买商品是相互独立的.
(1)求进入该商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入该商场的3位顾客中，至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率；
解：（1）记A表示事件：进入该商场的1位顾客选购甲种商品.
B表示事件：进入该商场的1位顾客选购乙种商品.
C表示事件：进入该商场的1位顾客选购甲、乙两种商品中的一种.
则
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=0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5.
（2）记A2表示事件：进入该商场的3位顾客中恰有2位顾客既未选购甲种商品，也未选购乙种商品.
A2表示事件：进入该商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购乙种商品.
D表示事件：进入该商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购乙种商品.
E表示事件：进入该商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选购乙种商品.
则
28．（天津理）18．（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（1）求乙投球的命中率；
（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．
解：（1）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，
由题意得，
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．
（2）由题设和（Ⅰ）知，，，．
可能的取值为0，1，2，3，故
，
，
，
．
的分布列为
的数学期望．
29．（天津文）18．（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（1）求乙投球的命中率；
（2）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（3）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
（1）解法一：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得，
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．
解法二：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得
，
于是或（舍去），故．
所以乙投球的命中率为．
（2）解法一：由题设和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率为．
解法二：由题设和（1）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率为．
（3）解：由题设和（1）知，，，，．
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为
，，．
所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为 ．
30．（浙江理）（19）．（本题14分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．
（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
（1）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到．故白球有5个．
（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是
0 1 2 3
的数学期望
．
（2）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，
所以，，故．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则
．
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．
故袋中红球个数最少．
31．（浙江文）（19）（本小题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有10个球。从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。求：
（1）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；
（2）袋中白球的个数。
解：（1）由题意知，袋中黑球的个数为．
记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则．
（2）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，
设袋中白球的个数为，则
，得到．
32．（重庆理）（18）（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分.）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：
（1） 打满3局比赛还未停止的概率；
（2）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.
解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为
（2）的所有可能值为2，3，4，5，6，且
故有分布列
2 3 4 5 6
P
从而（局）.
33. （重庆文）（18）（本小题满分13分，（1）小问8分，（2）小问5分.）
在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
（1）恰有两道题答对的概率;
（2）至少答对一道题的概率.
解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.
由独立重复试验的概率计算公式得：
(1)恰有两道题答对的概率为
(2)解法一：至少有一道题答对的概率为
解法二：至少有一道题答对的概率为
3 1 27
7 5 5 0 28 4
5 4 2 29 2 5
8 7 3 3 1 30 4 6 7
9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8
8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9
7 4 1 33 1 3 6 7
34 3
2 35 6
甲
乙
开始
S0
输入Gi，Fi
i1
S S＋Gi·Fi
i≥5
i i＋1
N
Y
输出S
结束
