九下数学复习单元质量评估+答案解析(六)

单元质量评估(六)
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.(2014·桂林模拟)☉O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与☉O的位置关系是　(　　)
A.相交　　 B.相切　 　C.相离　 　D.无法确定
【解析】选A.∵圆心O到直线l的距离d=3，☉O的半径R=4，则d2.(2014·泸州中考)一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为　(　　)
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
【解析】选B.圆锥的母线长=2×π×6×=12(cm).
3.如图，PA是☉O的切线，切点为A，PA=2，∠APO=30°，则☉O的半径为
(　　)
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A.1 B.
C.2 D.4
【解析】选C.
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如图，连接OA，
∵PA是☉O的切线，
切点为A，
∴OA⊥PA.在Rt△OAP中，
PA=2，∠APO=30°，
∴OA=PA·tan∠P=2.
故选C.
4.如图，AB是☉O的弦，BC与☉O相切于点B，连接OA，OB.若∠ABC=70°，则∠A等于　(　　)
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A.15°　 B.20°　
C.30°　 D.70°
【解析】选B.∵BC与☉O相切于点B，∠ABC=70°，
则∠ABO=∠OBC-∠ABC=90°-70°=20°，
又∵OA=OB，∴∠A=∠ABO=20°.
5.(2013·黔南州中考)如图，AB是☉O的直径，CD为☉O的弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不成立的是　(　　)
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A.∠A=∠D　
B.CE=DE
C.∠ACB=90°
D.BD=CE
【解析】选D.对于选项A：由同弧()所对的圆周角相等，可得∠A=∠D；对于选项B：由垂直于弦的直径平分这条弦，可得CE=DE；对于选项C：由直径对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°；对于选项D：CE=DE【变式训练】如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不恒成立的是　(　　)
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A.CM=DM　　　
B.=
C.∠ACD=∠ADC
D.OM=MD
【解析】选D.∵AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即=，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立.
6.(2014·泸州中考)如图，在平面直角坐标系中，☉P的圆心坐标是(3，a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图象被☉P截得的弦AB的长为4，则a的值是(　　)
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A.4 B.3+ C.3 D.3+
【解析】选B.作PC⊥x轴于C，交AB于D，
作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
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∵P的圆心坐标是(3，a)，
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为(3，3)，∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE==1，
∴PD=PE=，∴a=3+.
7.(2013·河北中考)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=2，则S阴影=　(　　)
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A.π　 B.2π　
C.　 D.π
【解题指南】设AB与CD相交于点E，先证△ACE≌△ODE，从而将阴影部分的面积转化为扇形OAD的面积，再求出扇形的半径和圆心角即可.
【解析】选D.
如图，设AB与CD相交于点E，∵CD⊥AB，CD=2，
∴∠AEC=∠OED =90°，CE=DE=.
∵∠C=30°，∴∠AOD =60°，
∴∠ODE=30°.
在△ACE和△ODE中，∠AEC=∠OED，CE=DE，∠C=∠ODE，
∴△ACE≌△ODE，
S阴影=S扇形AOD.
在Rt△ODE中，OD==2，
∴S扇形AOD==.
∴S阴影= S扇形AOD=.
8.(2013·黄石中考)如图，在Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为　(　　)
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A.　 B.
C.　　 D.
【解析】选C.过点C作CF⊥AD，垂足为点F，
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∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则AB=5.
∵AC·BC=AB·CF，∴CF=.
在Rt△ACF中，
∵AC=3，利用勾股定理得AF=，
∵由垂径定理得AF=FD，∴AD=.
【互动探究】若其他条件不变，求BD呢
提示：由上可得AD=，AB=5，
所以BD=5-=.
二、填空题(每小题4分，共24分)
9.(2013·郑州模拟)如图，在☉O的内接四边形ABCD中，∠BOD=90°，
则∠BCD=　　　　.
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【解析】根据圆周角定理，得∠A=∠BOD=45°，
∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-45°=135°.
答案：135°
10.如图，△ABC的一边AB是☉O的直径，请你添加一个条件，使BC是☉O的切线，你所添加的条件为　　　　.
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【解析】所添条件只要满足△ABC为直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形时，即∠ABC=90°时，BC与圆相切，∵AB是☉O的直径，∠ABC=90°，∴BC是☉O的切线(经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线).
答案：∠ABC=90°(答案不惟一)
11.如图，AB为半圆的直径，点P是BA延长线上一点，PC切半圆O于点C，弦CD∥AB，若∠P=28°，则∠D的度数为　　　　　.
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【解析】连接OC，∵PC切半圆O于点C，
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∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∵∠P=28°，
∴∠POC=90°-∠P=62°，
∵CD∥AB，∴∠OCD=∠POC=62°，
∵OC=OD，∴∠D=∠OCD=62°.
答案：62°
12.(2013·温州模拟)如图，圆锥的底面半径为2cm，高为2cm，那么这个圆锥的侧面积是　　　　　cm2.
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【解析】∵圆锥的底面半径为
2cm，高为2cm，
∴圆锥的母线长为=4(cm)，
∴S侧=×2×π×2×4=8π(cm2).
答案：8π
13.(2013·常州中考)如图，△ABC内接于☉O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为☉O的直径，AD=6，则DC=　　　　.
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【解析】连接CD，∵△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
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∴∠ABC=∠BCA=30°，
∴∠BDA=∠BCA=30°.
∵BD为☉O的直径，AD=6，
∴BD==
=4.
∵∠ADC=∠ABC=30°，
∴∠BDC=∠ADC+∠BDA=30°+30°=60°，
∴DC=BD·cos∠BDC=4×cos60°=2.
答案：2
14.(2014·重庆中考)如图，△OAB ( http: / / www.21cnjy.com )中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与☉O相切于点C，则图中阴影部分的面积是　　　　.(结果保留π)
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【解析】连接OC，∵AB与圆O相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，
在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，
∴OC=OA=2，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，AC==2，
即AB=2AC=4，则S阴影=S△AOB-S扇形
=×4×2-=4-.
答案：4-π
三、解答题(共52分)
15.(10分)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，D为☉O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.
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(1)求证：BD平分∠ABC.
(2)当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.
【证明】(1)∵OD⊥AC，OD为半径，
∴=，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC.
(2)∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°.
又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD =180°-90°-60°=30°，
又∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，BC=AB，∵OD=OA=AB，
∴BC=OD.
16.(10分)在☉O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数.
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【解析】∵在☉O中，D为圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，∴∠AOC=2∠D，∴∠EOF=∠AOC=2∠D.在四边形FOED中，∠CFD+∠D+∠DEO+∠FOE=360°，
∴90°+∠D+90°+2∠D =360°，∴∠D=60°.
【一题多解】连接BD，
∵AB是☉O的直径，
∴BD⊥AD.
又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，
∴∠BDC=∠C.
又∵∠BDC=∠BOC，
∴∠C=∠BOC，
∵AB⊥CD，∴∠C=30°，∴∠ADC=60°.
17.(10分)如图，AB为☉O的直径，EF切☉O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交☉O于点C，连接BD，
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(1)求证：BD平分∠ABH.
(2)如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离.
【解析】(1)连接OD.
∵EF是☉O的切线，
∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH.而OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，
∴BD平分∠ABH.
(2)过点O作OG⊥BC于点G，则BG=CG=4，在Rt△OBG中，OG===2.
18.(10分)(2013·临沂中考) ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上的一点，以CE为直径作☉O，AB与☉O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2.
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(1)求证：∠A=2∠DCB.
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
【解析】(1)连接OD.
∵AB与☉O相切于点D，
∴∠ODB=90°，
∴∠B+∠DOB=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DOB，
∵OC=OD，
∴∠DOB=2∠DCB，
∴∠A=2∠DCB.
(2)在Rt△ODB中，∵OD=OE，OE=BE，
∴cos∠DOB==，
∴∠DOB=60°.
∵BD=OB·sin60°=2.
∴S扇形ODE==π，
S阴影=S△DOB-S扇形ODE=2-π.
【变式训练】
如图，在☉O中，直径AB=2，CA切☉O于A，BC交☉O于D，若∠C=45°，
(1)求BD的长.
(2)求阴影部分的面积.
【解析】(1)连接AD，在☉O中，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°.
又∵CA切☉O于A，∴∠BAC=90°.
∵∠C=45°，∴AC=AB=2，∴BC=2.
在等腰直角△ABC中，∵∠ADB=90°，
∴BD=DC=AD=BC=.
(2)由题意可知S阴影=S△ADC=DC·AD=××=1.
19.(12分)(2013·大连模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟)如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与☉O过点A的切线相交于点E.
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(1)求∠ACB的度数.
(2)猜想△EAD的形状，并证明你的猜想.
(3)若AB=8，AD=6，求BD.
【解析】(1)∵AB是☉O的直径，点C在☉O上，
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角).
(2)△EAD是等腰三角形.
证明如下：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE.
∵AE是☉O的切线，∴∠EAB=90°，
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD，∴△EAD是等腰三角形.
(3)∵AE=AD，AD=6，∴AE=AD=6，
∵AB=8，∴在直角三角形AEB中，EB=10.
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE，
∴△CDB∽△AEB，
∴===，
∴设BC=4x，CD=3x则BD=5x，
∴AC=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即(3x+6)2+(4x)2=82，
解得：x=-2(舍去)或x=，
∴BD=5x=.