人教版九年级数学下册第27章相似单元测试题（含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（满分30分）
1．已知＝，那么下列等式中不一定正确的是（　　）
A．2x＝5y B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DE＝2（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
4．已知点A（0，3），B（﹣4，8），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（2，﹣1）或（﹣2，1）
5．如图，已知△ABC，点D，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝4，AD＝5，则AB为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．15
6．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动（　　）秒时△QBP与△ABC相似．
A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒
8．如图，锐角△ABC的边AB、AC上的高线BD、CE交于点O，连接ED（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
9．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的点且BE：EC＝3：1，设△BEF的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF⊥DE；③HD∥BG；④△ABG与△DFH相似．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（满分24分）
11．已知线段a＝1，b＝4，则a、b的比例中项为 　 　．
12．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝2：3，其中CB＝，DE＝　 　．
13．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图）　 　．
14．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH＝　 　．
15．一般认为，如果一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度），则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米　 　cm的鞋子才能好看？（精确到1cm）．
16．如图，射线AM，BN都与线段AB垂直，过点A作BE的垂线AC，分别交BE，过点C作CD⊥AM于点D．若CD＝CF，则＝　 　．
17．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C的坐标分别为A（6，0）、C（0，4），过P作PQ⊥OP，交AB边于Q　 　．
18．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，DE和FG相交于点O，设AB＝a（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④（a﹣b）2 S△EFO＝b2 S△DGO．其中结论正确的是 　 　．
三．解答题（满分66分）
19．如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，AD＝6，CD＝2．求EB的长．
20．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF EG；
（2）若DG＝DC，BE＝7，求EF的长．
21．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上
（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　 　．
（2）当PQ＝40mm，求出PN的长度．
（3）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2．则这个矩形的长、宽各是多少7．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于原点O中心对称，点A1（﹣1，2）是点A的对应点，点B1是点B（3，1）的对应点．
（1）画出线段AB和A1B1；
（2）画出线段AB以点O为位似中心，位似比为1：2的线段A2B2．
23．小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上），路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．
24．如图，延长弦DB、弦EC，交于圆外一点A
（1）证明：△ACD∽△ABE；
（2）若AB＝5，AC＝6，AD＝12
25．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，B，C，D在同一条直线上．
（1）求BC的长；
（2）求灯泡到地面的高度AG．
参考答案
一．选择题（满分30分）
1．解：∵＝，
∴8x＝5y，
∴y＝x，
∴＝＝，
＝＝，
≠，
不一定正确的是D；
故选：D．
2．解：∵直线l1∥l2∥l4，
∴，
∴EF＝6DE＝2×2＝4．
故选：C．
3．解：由题意可得：△ACD和△ABC中，∠CAD＝∠BAC，
若∠ACD＝∠B，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC；
若∠ADC＝∠ACB，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC；
若AC2＝AD AB，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC；
故选：D．
4．解：∵以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，8），
∴点D的坐标为（﹣4×，8×，
即（﹣1，2）或（4．
故选：C．
5．解：∵DE∥BC，
∴，
∵AE＝4，AC＝8，
∴，
解得：AB＝10．
故选：C．
6．解：∵BC∥l，CG⊥l，
∴四边形OBCG为矩形，
∴OB＝CG，
∵AH⊥HO，BO⊥HO，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴＝＝，
∴＝，
∴物体被缩小到原来的．
故选：A．
7．解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，
则AP＝cmcmcm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，
即;，
解得：t＝2，
当时，△BPQ∽△BCA，
即，
解得：t＝0.3，
综上所述：经过0.8s或7s秒时，△QBP与△ABC相似，
故选：C．
8．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6对相似三角形，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∵，∠DOE＝∠BOC，
∴△BOC∽△EOD，
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，＝，
∵BE：EC＝3：5，
∴BE：AD＝3：4，
∴，，
∴，
设S△BEF＝9x，则S△ADF＝16x，S△ABF＝12x，
∴S△ABD＝S△ABF+S△ADF＝12x+16x＝28x，
∴平行四边形ABCD的面积为S3＝56x，
∴S1：S2＝．
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，
∵E和F分别为BC和CD中点，
∴DF＝EC＝2，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC，∠FAD＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠EDC+∠AFD＝90°，
∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF；
∵AD＝4，DF＝，
∴AF＝＝＝2，
∴DG＝AD×DF÷AF＝，故②错误；
∵H为AF中点，
∴HD＝HF＝AF＝，
∴∠HDF＝∠HFD，
∵AB∥DC，
∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，
∵AG＝＝，AB＝6，
∴，
∴△ABG∽△DHF，故④正确；
∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，
则∠ABG和∠AGB不相等，
故∠AGB≠∠DHF，
故HD与BG不平行，故③错误；
综上所述：①④正确．
故选：B．
二．填空题（满分24分）
11．解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝1，b＝4，
∴，
∴x2＝ab＝4×1＝7，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去）．
故答案为：3．
12．解：∵△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝2：3，
∴S△ABC：S△ADE＝2：5，
∴BC：DE＝：，
∵CB＝，
∴DE＝，
故答案为：．
13．解：如图，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝4+4+10＝20，
∴＝，
∴BF＝2，
∴GF＝7﹣2＝4，
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴＝，
∵AC＝6+6＝10，AD＝20，
∴＝，
∴CK＝5，
∴HK＝7﹣5＝1，
∴阴影梯形的面积＝（HK+GF） GH
＝（1+4）×8
＝15．
故答案为：15．
14．解：∵D、E为边AB的三等分点，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH＝EF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即，
解得：EF＝4，
∴DH＝EF＝，
故答案为：2．
15．解：设某位参加空姐选拔的选手应穿xcm的鞋子，
根据题意，得：＝，
解得：x≈10.18，
经检验，x≈10.18是原方程的解，
即某位参加空姐选拔的选手应穿10cm的鞋子才能好看．
故答案为：10．
16．解：设AF＝a，FC＝b；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN；
∴△AEF∽△CBF；
∴AE：BC＝AF：FC＝a：b；
Rt△ABC中，BF⊥AC，
∴∠ABC＝∠AFB＝90°，
又∠BAC＝∠FAB，
∴△AFB∽△ABC，
∴＝，
∴AB2＝AF AC＝a（a+b）；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝CF＝b；
∴b2＝a（a+b），
即a3+ab﹣b2＝0，
（）2+（）﹣1＝0，
解得＝（负值舍去）；
∴＝，
∴＝＝2﹣＝．
故答案为：．
17．解：设CP为x，BQ为y，
则PB＝6﹣x，
∵四边形OABC是矩形，PQ⊥OP，
∴△OCP∽△PBQ，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x＝﹣5+，
y的最大值为：，
∴AQ的最小值为：4﹣＝，
故答案为：．
18．解：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，
∴∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正确；
②延长BG交DE于点H，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG＝∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC＝90°，
∴∠CDE+∠DGH＝90°，
∴∠DHG＝90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正确；
③∵DC∥EF，
∴∠GDO＝∠OEF，
∵∠GOD＝∠FOE，
∴△OGD∽△OFE，
∴＝（ ）2＝（ ）2＝，
∴（a﹣b）2 S△EFO＝b4 S△DGO．
故④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（满分66分）
19．解：∵AE＝5，AD＝6，
∴AC＝5，
∵BD，CE分别是AC，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝，
∴AB＝＝＝，
∴EB＝AB﹣AE＝﹣3＝，
∴EB的长为．
20．（1）证明：∵AB∥CG，
∴∠ABF＝∠G，
又∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠G，
又∵∠CEF＝∠CEG，
∴△ECF∽△EGC，
∴，
即CE2＝EF EG；
（2）解：∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵DG＝DC，
∴AB＝CD＝DG，
∴AB：CG＝1：8，
∵AB∥CG，
∴，
即，
∴EG＝14，BG＝21，
∵AB∥DG，
∴＝6，
∴BF＝BG＝，
∴EF＝BF﹣BE＝﹣7＝．
21．解：（1）∵四边形PNQM为矩形，
∴MN∥PQ，
即PQ∥BC，
∵点P恰好为AB中点时，
∴AP＝BP，
∴AQ＝CQ，
∴PQ＝BC＝，
故答案为：60mm；
（2）∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∴△APQ∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝，
∴PN＝HD＝（mm）；
（3）设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵PN：PQ＝1：6，
∴PQ为长，PN为宽，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，PN＝xmm，
∴＝，
解得x＝，2x＝．
答：矩形的长mmmm．
22．解：（1）如图，线段AB和A1B1即为所求；
（2）如图，线段A2B2，线段A′2B′8即为所求．
23．解：过点D作DM⊥AB于M，交EH于点N，
∵AE∥BG，AB⊥BG，
∴AE⊥AB，
∵DM⊥AB，
∴AE∥MD∥BG，
∴AM等于△ADE的边AE上的高，
∵AB⊥BG，EH⊥BG，
∴AB∥EH∥CD，
∴AE＝BH＝3米．BM＝CD＝1.5米，
∵AE∥BG，
∴△ADE∽△GDF，
∴，即，
∴AM＝5.6（米），
∴AB＝AM+BM＝5.4（米），
答：路灯主杆AB的高度为5.4米．
24．（1）证明：∵∠D和∠E是所对的圆周角，
∴∠D＝∠E，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE．
（2）∵△ACD∽△ABE，
∴＝，
∵AB＝5，AC＝6，
∴AE＝＝＝10，
∴AE的长为10．
25．解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝5，
答：BC的长为3m；
（2）∵AC＝5.8m，
∴AB＝5.4﹣5＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的反射角等于入射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
解得：AG＝1.8（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．