吉林省长春市名校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 吉林省长春市名校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 894.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-22 11:38:34 | ||
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文档简介
长春市名校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
一、单选题（每题5分）
1．若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（ ）
A． B． C． D．
2．直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．2或
3．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
5．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．4
7．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分）
9．已知椭圆，是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆离心率为 B．的最大值为3 C． D．
10．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于原点对称
C．面积的最大值为2
D．的取值范围为
12．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为
B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2
D．直线恒过定点
三、填空题（每题5分）
13．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于______．
14．点关于直线对称的点的坐标为______．
15．已知点是圆内的一点，那么过点的最短弦所在的直线方程是______．
16．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为______．
五、解答题
17．已知双曲线（）的实轴长为2，右焦点为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，求．
18．如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
19．设直线及直线外一点．
（1）写出点到直线的距离公式；
（2）求证点到直线的距离公式．
20．已知两圆和．
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程；
（2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程．
21．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，底面为棱上的一点．
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
22．已知点在椭圆（）上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且的斜率之积为．
（1）求的方程；
（2）过的两焦点作两条相互平行的直线交于和，求四边形面积的取值范围．
长春市名校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案：
1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．A 8．B
9．ABC 10．CD 11．ABD 12．ABC
13． 14． 15． 16．
17．（1）由已知，又，则，所以双曲线方程为．
（2）由，得，
则，
设，则，
所以
18．
，
所以直线与所成角的余弦值为；
（2）设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为,
所以点到平面的距离为．
19．（1）平面直角坐标系中，点到直线的距离为；
（2）如图，
设是直线上任意一点，则，直线的方向向量为，则可取直线法向量为．
20（1）解：由圆和，
两个圆的方程相减，可得，
即两圆的公共弦所在直线的方程为．
（2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为，
由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上，
由方程组，解得，
又由方程组，解得或，
即两个圆的交点为或，即所求圆的圆心坐标为，
半径，所以所求圆的方程为．
21．（1）证明：过点作，垂足为，
在等腰梯形中，因为，所以．
在中，，则，则．
因为底面，底面，所以．
因为，所以平面．
又平面，以．
（2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，
，则，
则．
设平面的法向量为，则令，
得．
由图可知，是平面的一个法向量．
因为二面角的余弦值为，所以，解得．
故当二面角的余弦值为时，．
22．（1）由题意得，
设，
则，
故，
又的斜率之积为，故，解得，
所以椭圆；
（2）由（1）知，，
故，
当的斜率不存在时，四边形为矩形，
令得，，故，同理可得，
故，
故四边形面积为，
当的斜率存在时，由对称性可知，四边形为平行四边形，
设，联立得，
易得，设，
则，
则
．
设点到直线的距离为，则，
故四边形而积为，
令，则，
则，
因为，所以，
故，，，，
故，
综上：四边形面积的取值范围是．
数学试卷
一、单选题（每题5分）
1．若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（ ）
A． B． C． D．
2．直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．2或
3．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
5．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．4
7．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分）
9．已知椭圆，是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆离心率为 B．的最大值为3 C． D．
10．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于原点对称
C．面积的最大值为2
D．的取值范围为
12．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为
B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2
D．直线恒过定点
三、填空题（每题5分）
13．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于______．
14．点关于直线对称的点的坐标为______．
15．已知点是圆内的一点，那么过点的最短弦所在的直线方程是______．
16．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为______．
五、解答题
17．已知双曲线（）的实轴长为2，右焦点为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，求．
18．如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
19．设直线及直线外一点．
（1）写出点到直线的距离公式；
（2）求证点到直线的距离公式．
20．已知两圆和．
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程；
（2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程．
21．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，底面为棱上的一点．
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
22．已知点在椭圆（）上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且的斜率之积为．
（1）求的方程；
（2）过的两焦点作两条相互平行的直线交于和，求四边形面积的取值范围．
长春市名校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案：
1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．A 8．B
9．ABC 10．CD 11．ABD 12．ABC
13． 14． 15． 16．
17．（1）由已知，又，则，所以双曲线方程为．
（2）由，得，
则，
设，则，
所以
18．
，
所以直线与所成角的余弦值为；
（2）设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为,
所以点到平面的距离为．
19．（1）平面直角坐标系中，点到直线的距离为；
（2）如图，
设是直线上任意一点，则，直线的方向向量为，则可取直线法向量为．
20（1）解：由圆和，
两个圆的方程相减，可得，
即两圆的公共弦所在直线的方程为．
（2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为，
由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上，
由方程组，解得，
又由方程组，解得或，
即两个圆的交点为或，即所求圆的圆心坐标为，
半径，所以所求圆的方程为．
21．（1）证明：过点作，垂足为，
在等腰梯形中，因为，所以．
在中，，则，则．
因为底面，底面，所以．
因为，所以平面．
又平面，以．
（2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，
，则，
则．
设平面的法向量为，则令，
得．
由图可知，是平面的一个法向量．
因为二面角的余弦值为，所以，解得．
故当二面角的余弦值为时，．
22．（1）由题意得，
设，
则，
故，
又的斜率之积为，故，解得，
所以椭圆；
（2）由（1）知，，
故，
当的斜率不存在时，四边形为矩形，
令得，，故，同理可得，
故，
故四边形面积为，
当的斜率存在时，由对称性可知，四边形为平行四边形，
设，联立得，
易得，设，
则，
则
．
设点到直线的距离为，则，
故四边形而积为，
令，则，
则，
因为，所以，
故，，，，
故，
综上：四边形面积的取值范围是．
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