上海市普陀区2023-2024学年高三上学期11月期中调研测试数学试题（含答案）

上海市普陀区2023-2024学年高三上学期11月期中调研测试
数学试卷（0.5模）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.1~6每个空格填对得4分，7~12每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1、已知全集，集合，，则______.
2、复数（为虚数单位），则______.
3、若圆锥的母线长为，高为1，则圆锥的侧面积为______.
4、记为等差数列的前项和，若，，则______.
5、若，，且，则______.
6、已知是与4的等差中项，且，则的值为______.
7、“”是“幂函数在区间上是严格增函数”的______条件.
8、杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭，每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位志愿者有200种以上不同选择，则餐厅至少还需要准备______种不同的素菜
9、等比数列中，，若，那么的取值范围是______.
10、不等式的解集为______.
11、过原点的直线与双曲线：的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为______.
12、斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：
①存在，，使得，，成等差数列；
②存在，，使得，，成等比数列；
③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
④存在正整数，且，使得.
其中所有正确结论的序号是______.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.13、14每题选对得4分，15、16每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个一律得零分.
13、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ）
A. B. C. D.
14、设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
15、一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的40百分位数是（ ）
A.4 B.4.5 C.5 D.9
16、我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C.2 D.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
17、（本大题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上.
（1）求证：；
（2）若，且与平面所成角为，求点到平面的距离.
18、（本大题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知为奇函数，其中，
（1）求函数的最小正周期和的表达式；
（2）若，，求的值.
19、（本大题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.
上海市地铁20号线正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
20、（本大题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在是严格增函数，求的取值范围；
（3）证明：有最小值，且最小值小于.
21、（本大题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若数列与函数满足：①的任意两项均不相等，且的定义域为；②数列的前的项的和对任意的都成立，则称与具有“共生关系”.
（1）若，试写出一个与数列具有“共生关系”的函数的解析式；
（2）若与数列具有“共生关系”，求实数对所构成的集合，并写出关于的表达式；
（3）若，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有‘共生关系’”的充要条件是“点在射线上.”
上海市普陀区2023-2024学年高三上学期11月期中调研测试
数学试卷（0.5模）
参考答案
一、填空题
1、； 2、； 3、； 4、6； 5、3；
6、40； 7、充要 8、7； 9、； 10、；
11、； 12、①③④
【11】【答案】
【解析】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
【12】【答案】①③④
【解析】由题设，，显然，，成等差数列，①正确；
由题设知：在上，依次为或或，所以不可能有，故不存在使，，成等比数列，②错误；
由，，，
所以，故，则，，成等差数列，
故存在使得对任意，都有，，成等差数列，③正确；
由，，，…，，，
所以，则，
由题设，数列前16项分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，
其中，
所以存在正整数，且，使得，④正确.
故答案为：①③④
二、选择题
13、D； 14、C； 15、C； 16、B
【16】【答案】B
【解析】∵，∴，
又，所以，
所以，
所以
所以，
由正弦定理得，∵
的面积，
利用二次函数性质得，当即时，的面积有最大值为，故选：B
三、解答题
17、【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】（1）连接，，因为，，
故，
又，，平面，
故平面.又平面，
故
（2）由（1）因为，且平面平面，平面平面于，
故平面，故与平面所成角为，
故，
又点在以点为圆心为直径的半圆上，，
故，
设点到平面的距离为，
则因为，
即，
解得
18、【答案】（1），；
（2）
【解析】（1）因为为奇函数，
所以，
化简得到求出
，所以
，最小正周期是；
（2）若，∴
∵，∴
所以
19、【答案】（1），1040；
（2）6分钟
【解析】（1）由题意知，，（为常数）
∵，∴
∴，
∴；
（2）由，可得，
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，，当时等号成立，
∴当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
20、【答案】（1）；
（2）；
（3）见解析
【解析】（1）当时，，
，故，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）定义域为，
，
若是增函数，则恒成立，故，
即，其中，
当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
的取值范围是
（3）定义域为，
，
结合（1）可知，当时，是增函数，故在处取得最小值，且最小值小于，
当时，令得，，
该方程有两个正实数根，设为，，，由韦达定理得，
即，
令得，，或，
令得，，
随着的变化，，的变化情况如下：
+ 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极小值为，
故的最小值为，记为，
当时，若，则，此时与矛盾，舍去，
所以，则或，
故，所以肯定小于，
所以，
当时，，所以，此时，
，即，故此时，
综上，有最小值，且最小值小于
21、【答案】（1）；
（2）实数对所构成的集合为，
（3）见解析
【解析】（1）由，可知
所以与数列具有“共生关系”的函数的解析式可以为：.
（2）由题意得，令，可得，即.
①若，，此时不成立，不合题意，
若，，由，可得，
又，可得，与的任意两项均不相等相矛盾，故此时不合题意.
②若，可得
若，则由与，可得，不合题意.
若，，则，当时，，不合题意.
若，，1，则，由
可得，即
此时数列是首项为，公比为的等比数列，
又的任意两项均不相等，
故，可知
所以实数对所构成的集合为
（3）（必要性）若是公差的等差数列，且与具有“共生关系”.
则由，
可得：，
故，
即恒成立.
故，解得，
又由，可得，
由，可知，所以点在射线上.
（充分性）若点在射线上，则，
又方程等价于，
且，取，
它显然是正数且满足
令，则
，
故当时，
这里无穷数列是首项为，公差为的无穷等差数列.
其中每一项都是正数，所以存在每一项都是正数的无穷等差数列，使得与具有“共生关系”.