(共10张PPT)
学 习 目 标
1.进一步认识与圆有关的角及它们之间的相互关系。
2.在运用圆心角定理、五量关系、圆周角定理、圆内接四边形性质定理解决问题的过程中，感悟转化等数学思想方法，归纳总结解题的基本方法，积累活动经验。
我们学过哪些与圆有关的角？
圆中我们学过哪些与角有关的性质？
圆心角 圆周角
A
D
B
O
C
25°
（1）
A
B
O
C
80°
(3)
B
A
O
C
70°
D
（2）
求下面各图中的 .
D
如图，已知半圆的直径AB=6cm，长为2cm的弦CD在半圆上滑动，分别连接AC，BD并延长，交于点P.
（1）当CD滑动到PA=PB时，从图中你能得到哪些不同的结论，并说明理由.（至少写出2条）
A
B
C
P
D
O
（2）当点C滑动到什么位置时，DC平分∠PDA ？
如图，已知半圆的直径AB=6cm，长为2cm的弦CD在半圆上滑动，分别连接AC，BD并延长，交于点P.
如图，已知半圆的直径AB=6cm，长为2cm的弦CD在半圆上滑动，分别连接AC，BD并延长，交于点P.
（3）当CD滑动到使点D是 的中点时，写出图中相等的线段，并说明理由。
CB
如图，已知半圆的直径AB=6cm，长为2cm的弦CD在半圆上滑动，分别连接AC，BD并延长，交于点P.
(4) CD在滑动的过程中∠P是定值吗？若是，试求出∠P的正弦值；若不是，请说明理由。
变化中找不变
“不变的量”
B
A
D
C
E
O
已知：如图，BE是 的外接圆O的直径，BD是 的高。
（1）求证：
（2）若AB=8， ，求⊙O 的直径.
请结合本节课的学习谈谈自己的收获。
自我评价
星 级 评 价
1—4颗 你的数学基础知识和基本技能掌握的不错，今后若能再注重数学基本思想和方法的应用，成功就会属于你.
5—10颗 你不仅掌握了基础知识和基本技能，还能够注重解题思路和方法的灵活运用，很棒！
11—15颗 你的数学素养很好，有着数学家的思维和才智，祝贺你！问题串线引领有效复习
——《与圆有关的角》教后反思
问题是科学探究的出发点，有效问题的设计，能极大的调动学生的学习兴趣和求知欲，启发学生的思维和想象力，提高教学质量。新课程要求课堂体现学生主体作用、教师的主导作用，为此本节课的设计力求通过有效问题，把平时相对独立地进行教学的知识，加以再现、整理、归纳、衔接。进而加深学生对知识的理解、沟通，并使之条理化、系统化，实现复习教学的“轻负担高质量”。
一、知识复习问题化
数学题目是数学问题的载体,数学知识往往以题目的形式出现，通过问题的引领来体现将要复习的知识点，把问题看作是学习知识的动力、起点和主线。如在本节课中进行“知识点梳理”这一环节时，不是简单地对数学公式、定义、定理、公理等逐条罗列，而是配置一组包含所要复习知识的题目，让学生在解决问题的过程中回顾知识点。
问题1：学生完成下列题组：
（1）我们学过哪些与圆有关的角？
（2）求下面各图中的.
= = =
问题2：思考并指出每个题目都是用什么知识解决的？
通过一组题检查学生有没有理解和掌握圆心角定理、圆周角定理及推论这几个知识点，远比让学生读或背这几条定理效果要好得多。在解决问题的过程中，既能达到知识再现的目的，又培养了学生解题后及时反思的良好学习品质。
二．习题呈现系列化
将几个背景相似、角度不同、层次不同，但又在解题的思想方法和解题技巧等方面具有相似性或内在联系的几个题目组合在一起，作为一个系列展开，由浅入深，层层递进，提高学生分析问题、解决问题的能力。
在综合应用，巩固提升环节，我选取了课后一道有代表性的练习，并将其进行不断变式，把与圆有关角的知识所能解决的主要问题，如证三角形全等，三角形相似，线段相等，弧等以及解决与锐角三角函数有关的问题进行穿线处理，既节省了学生反复读题的时间，同时兼顾了学生个体差异，使每个学生都能得到不同程度的发展。正如《义务教育数学课程标准》强调的那样，“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’……”，问题设计以“点线式”构建为宜，即以“点”辐射，用“线”贯穿，让“知识成堆”出现，形成“知识链”，注意把握知识之间的横纵联系，有利于学生深入思考，更有利于问题分析与解决。
三、问题设计有效化
有效问题的设计应有如下特点：能促进学生构建灵活的知识；具有开放性；具有穿线作用；能促进学生思维能力的增长；能增强学生的情感体验。
本节课在知识梳理环节，当第一位学生交流了自己的方法时，师追问：谁还有不同的方法解决这个问题吗？另一位同学展示了自己方法后，教师追问：要求圆心角度数你是怎么想的？要求圆周角的度数你是怎么想的？要求弧的度数是怎么想的？通过问题的层层引领，让学生的思考不断深入，自己总结发现弧、角之间的关系，清楚由弧想到角，由角想到弧相互转化，真正掌握圆中与角有关的问题。在综合练习中设计了条件开放，问题开放的练习，并且在处理完每个问题后都适时追问“能简单提炼一下你的思路吗？”“能总结一下你解决这个问题的策略吗？”，以引导学生及时总结提炼有关思想方法，更好地指导和帮助学生掌握数学本质，同时增强应用数学的意识。
一堂课总会有遗憾之处，在这节课的教学中通过观察发现，小组合作学习确实增加了学生参与的机会，但是语言表达能力强的学生参与的机会明显较多，自由发言的机会多；而另一些学生却习惯于当听众，整节课很少或从不发表个人意见。 我发现出现后一种情况的学生主要有两类：一类是学习困难学生，由于基础薄弱，他们想参与活动却又力不从心，所以干脆置身事外；另一类是性格内向的学生，他们不善于在人前发表意见，不善于争取机会，多数时候在合作中缄默不语。
我认为，教学中要注意培养学生的合作意识，逐渐培养学生的合作学习能力。组内合作、组间竞争是合作学习最明显的特征之一。教师要找准切入点，适时地培养学生的竞争意识和合作精神，引导学生建立互相信任、团结互助的关系，使他们逐步体验到通过合作学习不但可以提高每个人的能力，而且可以解决很多个人解决不了的问题，从而对合作学习产生认同感。这也是我今后要着重加以改进和完善的地方。
②
①
25°
A
D
B
O
C
A
B
O
C
70°
D
③
A
B
O
C
80°《与圆有关的角》教学设计
——《圆》复习课
【教学目标】
1．进一步认识与圆有关的角及它们之间的相互关系.
2．在综合运用圆心角定理、五量关系定理、圆周角定理及推论、圆内接四边形性质定理及推论解决问题的过程中，感悟转化等数学思想方法，归纳总结解题的基本方法，积累活动经验.
3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论.
【教学重点与难点】
教学重点：圆中与角有关性质的综合应用.
教学难点：借助弧将圆中角灵活进行转化.
【评价设计】
1．通过“知识梳理”检测学生对目标1的达成.
2．通过“综合运用” 的变式训练以及“即时检测”，检测目标2的达成.
【教学过程】
一、开门见山，导入新课：
【教师活动】这节课我们来复习与圆有关的角.（板书课题）
【学生活动】默读学习目标.
二、知识梳理，形成体系
1．【教师活动】提问：我们学过哪些与圆有关的角？
【学生活动】先独立完成，然后集体交流，学生举手回答.
2． 求下面各图中的
= = =
【学生活动】1．独立完成，结合练习回顾圆中学过的与角有关的性质.
2．集体交流，交流时重点展示思路.
【教师活动】1． 倾听学生展示的不同思路.
2．引导学生提炼解决问题所运用的知识方法.
【设计意图】这组练习设计起点低，指向明，容量大，将所要复习的圆心角定理，圆周角定理及推论、圆内接四边形性质定理及推论等包含其中，既考查了学生对这些定理的记忆、理解和简单的应用，又回顾了圆中常用的辅助线添加方法，使学生获取了更多的解题经验，简洁高效.
【问题应对】部分学生不会找圆中角与角之间的关系，其根源是没有掌握联系圆中角与角之间关系的桥梁——“弧”的作用，因此在讲解时教师要不断向学生强化如何顺着“弧”找角，由角找“弧”.
三、变式练习，巩固提升
例：如图，已知半圆的直径AB=6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，分别连接AC、BD并延长，交于点P，当弦CD在半圆上滑动时，请尝试解决下列问题
（1）当CD滑动到PA=PB时，从图中你能得出
哪些不同的结论，并说明理由（至少写出2条）
【学生活动】1．先独立完成.
2．集体交流不同结论.
3．小组内口头交流说明理由.
【教师活动】1．抽学生展示不同的结论.
2．将学生得出的结论进行归类.
【设计意图】结论开放性问题的设计，注重了基础性和思维性，能面向全体学生，题目虽然简单，但结论有很多，学生在一题多思中培养了思维的灵活性和口头表达能力以及规范的几何书写习惯. 同时通过知识间的横向整合，深化了对知识的理解，拓宽思路，有效的培养了学生思维的创造性.
【问题应对】对学生得出的结论，教师要及时进行总结提升：与圆有关的角相关定理为我们证明线段相等，三角形相似，线段平行，弧等等结论提供了重要的依据.
（2）当点C滑动到什么位置时，DC平分∠PDA ？
【学生活动】1．独立完成.
2．集体交流展示分析过程.
【教师活动】1． 倾听学生的讲解.
2． 总结提升证明圆外角与圆内角相等的思路：将圆外角转化到圆内，再将问题转化为证明两条弧等.
【设计意图】本例条件开放性问题的设计，有效地激发了学生敢于思考问题，主动参与知识的建构过程，培养了学生思维的灵活性和创造性等良好数学品质，提高了学生逆向思维的能力，同时向学生渗透了“转化”的数学思想方法.
【问题应对】问题解决后，教师引导学生概括提炼解决“添加条件”问题的常规解题策略，向学生强调解题格式.
（3）当CD滑动到使点D是弧BC的中点时，写出图中相等的线段，并说明理由
【学生活动】1．先独立思考完成在导学案上.
2．集体交流展示分析过程.
【教师活动】1．倾听学生的讲解.
2．总结提升圆中证明线段相等的方法.
【设计意图】结论开放性问题的设计，有效的培养了学生的发散思维能力，激发了学生的学习兴趣，增强了学习的内驱力，使学生对数学探索产生浓厚兴趣.
【问题应对】教师要适时追问学生：得到的两组相等线段你分别运用了什么数学知识？引导学生归纳出圆中证线段相等常用的方法：全等和三量关系定理，继而对三量关系定理内容进行回顾. 同时向学生强化圆中常用的辅助线——“见直径，想直角”.
(4) CD在滑动的过程中，∠P是定值吗？若是，试求出∠P的正弦值；若不是，请说明理由
【学生活动】1．先独立思考完成在导学案上.
2．抽生集体交流展示分析过程.
【教师活动】1．倾听学生的讲解.
2．总结提升解决运动问题中找不变量的方法.
【设计意图】通过本例一是让学生在解题过程中体会变化中的不变思想，并掌握解决这类动态问题的基本策略；二是训练学生的空间观念、几何直观能力和转化思想；三是提高学生利用直角三角形，三角形相似，三角函数等知识解决圆的综合性问题能力.
【问题应对】教师出示口头变式练习：若PC=x，PB=y，求y与x之间的函数关系. 将圆与函数的知识问题进行结合，进一步强化圆中“A”形相似基本构图的应用.
四、即时检测，自我评价
已知：如图，BE是的外接圆O的直径，BD是的高
(1)求证：AB BC=BE BD
(2)已知AB=8，，求⊙O的直径
【学生活动】1先独立思考完成在导学案上.
2小组内交流展示分析过程.
【教师活动】 深入小组了解学生完成的情况.
【设计意图】在学生掌握本节课知识的基础上设计的此道题，使本节课的教学难点得到进一步理解，同时对学生的学情也是一个很好的检测。学生的思维拓展了，体验到成功的喜悦，情感得到了满足，增强了学习的信心，教学效率也得到有效地提高。
五、畅所欲言，分享收获
【学生活动】1.自由发言
知识：圆中与角有关的性质
方法：圆中与角有关的性质可以解决圆中与证明线段相等或平行，三角形相似，三角形全等，弧等，以及与函数，锐角三角函数有关的问题.
思想：体会了转化等数学思想方法.
2．自我评价：将本节课所得星星相加，找对应星级评价，明确今后努力方向.
得星数量 星 级 评 价
1—4颗 你的数学基础知识和基本技能掌握的不错，今后若能再注重数学基本思想和方法的应用，成功就会属于你
5—10颗 你不仅掌握了基础知识和基本技能，还能够注重解题思路和方法的灵活运用，很棒！
11—15颗 你的数学素养很好，有着数学家的思维和才智，祝贺你！
【设计意图】对本节课的学习做一个简单的回顾整理，形成基本的知识网络，整理学习思路，总结学习方法。“授人以鱼，不如授人以渔”，教给学生学习的方法远比教给他一个具体的知识要重要的多。另外针对学生的学习效果分层给出评价，不仅有利于激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，并且能够对学生的学习起到及时的引导作用，让学生明确学习的方向，学会进行有效的反思。
六、作业超市，自主选择
A组：
1．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB=2∠BOC，则下列结论正确的有： 。
①AB=2BC ②=2③∠ACB=2∠CAB ④∠ACB=∠BOC．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为
3．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是
5．如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，
求证：（1）∠BAD=∠ACB；
（2）AE=BE．
B组：
1．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为 度．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=6，sin∠P=，求AB的值．
【设计意图】《新课程标准》指出“人人学有用的数学”，“不同的人学习不同的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”。分层布置作业，关注了学生个体差异，满足他们不同的学习需要，达到了激发学生学习积极性的目的，培养了学生掌握和运用知识的态度和能力，真正起到使每一个学生都能得到充分的发展的目的。
板书设计：
角等
角互补
2.
1.
25°
A
D
B
O
C
A
B
O
C
70°
D
（2）
3.
A
B
O
C
80°
(3)
A
B
D
C
P
O
A
B
D
C
P
O
A
B
D
C
P
O
A
B
D
C
P
O
B
A
D
C
E
O
第3题
第2题
第1题
第4题
第3题
第2题
第1题
与圆有关的角
——《圆》复习课
见直径，
想直角
弧
圆心角
—转化
线段=
△≌△
线段∥
弧＝
△∽△
锐角
三角
函数
函数
圆周角
弦《与圆有关的角》评测练习
——《圆》复习课
学习目标：
1．进一步认识与圆有关的角及它们之间的相互关系.
2．在综合运用圆心角定理、三量关系定理、圆周角定理及推论、圆内接四边形性质定理及推论解决问题的过程中，感悟转化等数学思想方法，归纳总结解题的基本方法，积累活动经验.
一、知识梳理：
1．我们学过哪些与圆有关的角？
2．结合练习回顾圆中学过的与角有关的性质.
求下面各图中的.
= = =
二、综合运用
例：如图，已知半圆的直径AB=6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，分别连接AC、BD并延长，交于点P，当弦CD在半圆上滑动时，请尝试解决下列问题.
（1）当CD滑动到PA=PB时，从图中你能得出
哪些不同的结论，并说明理由.（至少写出2条）
（2）当点C滑动到什么位置时，DC平分∠PDA ？
（3）当CD滑动到使点D是弧BC的中点时，写出图中相等的线段，并说明理由.
(4)CD在滑动的过程中，∠P是定值吗？若是，试求出∠P的正弦值；若不是，请说明理由.
三、即时检测
已知：如图，BE是的外接圆O的直径，BD是的高.
(1)求证：AB BC=BE BD
(2)已知AB=8，，求⊙O的直径.
四、课堂小结：
1．请结合本节课的学习谈谈自己的收获和感悟.
2．自我评价
星 级 评 价
1—4颗 你的数学基础知识和基本技能掌握的不错，今后若能再注重数学基本思想和方法的应用，成功就会属于你.
5—10颗 你不仅掌握了基础知识和基本技能，还能够注重解题思路和方法的灵活运用，很棒！
11—15颗 你的数学素养很好，有着数学家的思维和才智，祝贺你！
五、课后作业
A组：
1．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB=2∠BOC，则下列结论正确的有： 。
①AB=2BC ②=2③∠ACB=2∠CAB ④∠ACB=∠BOC．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为
3．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是
5．如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，
求证：（1）∠BAD=∠ACB；
（2）AE=BE．
B组：
1．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为 度．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=6，sin∠P=，求AB的值．
（2）
D
70°
C
O
B
A
(3)
80°
C
O
B
A
25°
C
O
B
D
A
C
D
B
A
P
O
P
C
3.
D
D
B
P
C
A
1.
2.
O
B
A
O
P
C
D
B
A
O
O
E
C
D
A
B
第1题
第2题
第3题
第4题
第3题
第2题
第1题
