浙江大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。）
1、直线的倾斜角是（ ）
-
2、已知平面向量,，则在方向上的投影向量为（ ）
设是两条不同直线, 是三个不同的平面,下列四个命题中正确的序号是（ ）
（1）若，则 （2）若，则
（3）若，则 （4）若，则
4、不透明的口袋内装有红色，绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
2个小球不全为红色 2个小球恰有一个红色
2个小球至少有一个红色 2个小球不全为绿色
5、四棱锥底面为平行四边形,分别为棱上的点，，，设，，，,则向量用基底表示为（ ）
第5题图
6、某高校在2022年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2022届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2022年高考中的平均分和方差分别为（ ）
661.5，169.5 661，187 661，175 660，180
7、圆与圆的公切线有（ ）
1条 2条 3条 4条
8、在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
二.多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9、下列说法正确的有（ ）
从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25
已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5
数据26,11,14,31,15,17,19,23的50%分位数是18
若样本数据的标准差为4，则数据的标准差为16
如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，
则容器中水的上表面形状可能是（ ）
三角形 矩形 非矩形的平行四边形 六边形
第10 题图
已知,圆,为圆上动点,下列正确的是（ ）
的最大值为 的最小值为
的最小值为 最大时，
12、立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体。如右图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半多面体的下列说法中正确的有（ ）
该半正多面体外接球与原正方体外接球半径相等
与所成的角是的棱有18条
与平面所成的角 第12题图
直线与直线所成角的余弦值的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分）
13、已知直线与直线，若，则与之间距离是
14、空间直角坐标系中,已知，，，则点到直线距离
15、阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹为圆，已知分别是圆与直线上的点，O 是坐标原点，则的最小值为
16.已知椭圆的左右焦点分别为，若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则=
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（10分）在中，所对的边分别为，且，
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
18、（12分）已知直线的方程为；
（1）若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程；
若直线不经过第三象限，求实数的取值范围.
19、（12分）高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线．考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据．每一个学科的评价都有一个标准进行判断．以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一、二、三档，前22%定为一档，前58%到前22%定为二档，后42%定为三档．在一次全市的模拟考考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为．
(1)求成绩位于时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段；
(2) 在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为0.8，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为0.5，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为0.1．在此次模拟考试中．甲、乙、丙三位考生的数学成绩分别为65，94，122．请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分过特控线的人数的概率．
20、（12分）如图，四面体ABCD中，，设为的中点．
（1）求证：平面AED⊥平面BCD；
（2）若∠BAC=60°，AD=3，求二面角B-AD-C的余弦值．
21、（12分）小明同学某天发现，在阳光下的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；
（1）求平面与平面所成角（用表示）；
（2）如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，求此时该椭圆的离心率（用表示）。
22、（12分）已知点，点为曲线上任意一点且满足.
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线与轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，直线分别交直线于点.求证：以为直径的圆与轴交于定点，并求出定点的坐标.浙江大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试答案
单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D B A A C C
多项选择题（共4小题，每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，共20分）
9 10 11 12
AC BCD ABC CD
填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分）
14.
15.7
16.
解答题（本大题共6小题，共70分）
（10分）
由射影定理得：........2分
........4分
由余弦定理得c2+b2-2bccosA=a2.......6分
.......7分
由.得bc=2......9分
所以b+c=3，周长3+....10分
18.（12分）
（1）第一种情况：a+1=1,直线x+y+2=0.......3分
第二种情况：a=2,直线3x+y=0.......6分
，......7分
由于直线不过第三象限，.......9分
.......11分
因此a≧2。。。。12分
19.（1）根据频率分布直方图的信息，成绩在，对应的频率分别为.
根据总的频率和为1，即，解得，
即成绩在所对应的频率为.
因为，且，可知成绩在内的前也属于第一档，
即可知第一档的分数段为，且，
故成绩在内的前也属于第二档，所以二档的分数段为.
（2）根据第（1）问的结论可知，甲的数学成绩属于第三档，乙的数学成绩属于第二档，丙的数学成绩属于第一档，
则.
20.（12分）
（1）因为AB=AC，E为的中点，所以AE⊥BC；同理ED⊥BC......2分
又因为平面，，
所以BC⊥平面AED； ......4分
因为平面，所以平面AED⊥平面BCD；......5分
法1:（几何法）
作BF⊥AD，连接CF，由题知, ABD≌ ACD,
所以CF⊥AD
所以∠BCF为二面角B-AD-C的平面角或其补角......7分
由于AB= BD=,AD=,所以BF=......9分
同理CF=,又BC=2,......11分
所以= ,......12 分
法2:（向量法）
计算A-BC-D的面面角为120度....7分
建系....8分
法向量....11分
答案.....12分
（12分）
答案：（1）；（2）
（1）由题意：为平面的法向量；设平面的法向量为；因为光线与地面夹角为；
∴==;∴；
（2）设篮球半径为R，由题意，平面ABB’A’⊥平面，连接OH，OH⊥平面；
∴2a=A’B’= ,a-c=B’H=R ，∴e=
（12分）
（1）由得：x2+(y-2)2=4(x2+(y-0.5)2)....2分
因此P点的轨迹方程为x2+y2=1....4分（化简1分，答案1分）
设R点坐标（x0,y0）,x02+y02=1,........5分
直线MR：y=x+1,F(,3).......7分
同理直线NR：y=x-1,F(,3)，.....8分
以GF为直径的圆的方程（x-）（x-）+(y-3)(y-3)=0....10分
由对称性知定点的横坐标为0，设其坐标为(0,m),+(m-3)(m-3)=0..。11分
因此(m-3)(m-3)=8,m=32，定点(0,32)....12分
