北京市石景山区重点学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

北京市石景山区重点学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷
注意事项 （1）请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷，不得用铅笔或红笔答卷。 （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁。 （3）本试卷共 5 页，共 三 道大题， 21 道小题。考试时间 120 分钟。 （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知集合A＝{x| x1}，B＝{﹣3，1，2，4}，则A∩B等于（　　）
A．{﹣3，1} B．{2，4} C．{1，2，4} D．{﹣3，1，2}
2．复数满足＝，则||＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
3．下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是
A. B. C. D.
4．已知向量．若，则m＝（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
5．经过原点和点（3， 3）且圆心在直线3x+y﹣5＝0上的圆的方程为（　　）
A．（x﹣5）2+（y+10）2＝125 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5
C． D．（x+1）2+（y﹣2）2＝5
6. 在△ABC中，“tanA＞”是“A的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 已知，，，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
8．已知直线y＝kx+1与圆x2﹣4x+y2＝0相交于M，N两点，且，那么实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．k ≥0或 D．
9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在上单调，且，则ω的取值不可能为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点， 则以下说法中不正确的是（　　）
A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
C. 若F是A1B1的中点，点P在底面ABCD上运动时，不存在点P满足PF∥平面B1CD1
D. 若点P在底面ABCD上运动，则使直线A1P与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹为圆上的一段弧
二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．函数f（x）ln（x﹣1）的定义域是　 　．
12. 已知椭圆C：的两个焦点分别为，点P在C上，且，则椭圆C的离心率为 　 　.
13. 已知数列的前项和为，且，，则 　 　;若，则的最小值为　 　．
14．设函数，若f（x）的值域为（﹣∞，+∞），则a的取值范围是 　 　．
15． 已知直线l1：与l2：相交于点P，直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…，记点的横坐标构成数列{xn}，给出下列四个结论：
①点 ；
②数列{x2n}单调递减；
③
④数列{xn}的前n项和Sn满足：2Sn+1+Sn＝4n+3.
其中所有正确结论的序号是________．
三．解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。）
16．已知△ABC中， ．
（I）求B的大小；
（II）若，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①；
条件②b＝2；
条件③ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．已知函数，且.
（I）求的值及的最小正周期;
（II）若，且,求实数的最大值.
18． 如图，在三棱柱中，⊥平面，是等腰直角三角形， ，分别是棱的中点．
（I）证明：∥平面;
（II）求平面与平面夹角的余弦值.
19．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，焦距为，点在椭圆上．
（I）求C的方程；
（II）过点的任意直线与椭圆C交于M，N（不同于A1，A2）两点，直线A1M的斜率为k1，直线A2N的斜率为k2．试问是否存在常数，使得 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．已知函数.
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）讨论函数的单调性；
（III）当时，设，若有两个不同的零点，求参数t的取值范围.
21．已知{an}是无穷数列，a1＝a，a2＝b，且对于{an}中任意两项ai，aj（i＜j），在{an}中都存在一项ak（j＜k＜2j），使得ak＝2aj﹣ai．
（Ⅰ）若a＝3，b＝5，求a3；
（Ⅱ）若a＝b＝0，求证：数列{an}中有无穷多项为0；
（Ⅲ）若a参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．A． 2．D． 3．B． 4．B 5．B 6．A．7．D． 8． A 9．B 10．C ．
二．填空题（共4小题）
11． 12． 13．4,8 14. 15. ①③
三．解答题（共5小题）
16．解：（I）由已知，
又因为,
所以.
（II）选①
因为，，所以..
因为，所以所以.
则sin C=sin =sin()=
由正弦定理，有，解得.
△ABC的面积.
选③
因为，，所以.其他同条件①.
17．解：（Ⅰ）∵
∴
∴
∴f（x）＝
＝
＝
∴的最小正周期
(II)∵，∴2x∈[，]，
∴x∈[，]，
∵∴；
∴实数的最大值为.
18．解：（1）证明：连接BD，
∵E，F分别是棱AC，BC的中点，∴EF∥AB，
∵EF 平面C1EF，AB 平面C1EF，∴AB∥平面C1EF，
∵D，F分别是棱B1C1，BC的中点，∴BF∥C1D，BF＝C1D，
∴四边形BDC1F是平行四边形，则BD∥C1F，
∵C1F 平面C1EF，BD 平面C1EF，∴BD∥平面C1EF，
∵AB，BD 平面ABD，且AB∩BD＝B，
∴平面ABD∥平面C1EF，
∵AD 平面ABD，∴AD∥平面C1EF；
（2）∵⊥平面，是等腰直角三角形， ，
∴AA1，A1B1，A1C1两两垂直，
以A1为原点，以A1B1、A1C1、A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
∵，分别是棱的中点
则A（0，0，2），D（1，1，0），E（0，1，2），C1（0，2，0），，
∴，，，，
设平面ADE的法向量为，
则，取，则y1＝0，z1＝1，
∴平面ADE的法向量为，
设平面C1EF的法向量为，
则，取，则x2＝0，z2＝1，
∴平面C1EF的法向量为．
设平面ADE与平面C1EF的夹角为θ，
则，
故平面ADE与平面C1EF夹角的余弦值为．
19. 解：（1）因为椭圆C的焦距为，
即2c，c
因为椭圆过B（0,2）
所以b＝2，
则椭圆C的方程为＝1。
（2）证明：因为过点P（1，0）的任意直线与椭圆C交于M，N（不同于A1，A2）两点，易得该直线斜率不为零，
不妨设直线l：x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去x并整理得（4m2+9）y2+8my﹣32＝0，
由韦达定理得，，
此时直线A1E的斜率，直线A2F的斜率k2，
又，
所以。
，
故存在常数，使得．
20. 解：（1）当时，，所以.
所以，
所以曲线在点处的切线方程是，
即.
（2）当时，定义域为。
因为,
所以当时， 所以单调递增；
当时， 所以单调递减。
当时，定义域为
因为, 所以
所以在上单调递减
综上，当时，在上单调递增, 在上单调递减.
当时，在上单调递减.
（3）当时，，所以
所以当时， 所以单调递增；
当时， 所以单调递减。
所以，，
当时，；当时，.
所以当时，即时，有两个不同的零点。
21．解：（Ⅰ）取i＝1，j＝2，则存在ak（2＜k＜4），使得ak＝2a2﹣a1，即a3＝2a2﹣a1，
∵a1＝a＝3，a2＝b＝5，a3=7.
（Ⅱ）证明：假设{an}中仅有有限项为0，
不妨设am＝0，且当n＞m时，an均不为0，则m≥2，
取i＝1，j＝m，
则存在ak（m＜k＜2m），使得ak＝2am﹣a1＝0，与ak≠0矛盾，
故数列{an}中有无穷多项为0．
（Ⅲ）当a＜b时，首先证明数列{an}是递增数列，
即证明 n∈N*，an＜an+1恒成立，
若不然，则存在最小的正整数n0，使得an0≥an0+1，且，
当n0≥2，取j＝n0，i＝1，2，…，n0﹣1，
则存在ak（n0＜k＜2n0），使得，
∵，
∴，
这n0﹣1个不同的数恰为这n0﹣1项，
∴与矛盾，
∴数列{an}是递增数列，
再证明：an＝a+（n﹣1）（b﹣a），n＝1，2，3，…，
记d＝b﹣a，即证an＝a+（n﹣1）d，n＝1，2，3，…，
当n＝1，2时，结论成立，
假设存在最小的正整数m0，使得an＝a+（n﹣1）d对任意1≤n≤m0恒成立，
但，则m0≥2，
取j＝m0，i＝1，2，…，m0﹣1，则存在ak（m0），使得，
∵数列{an}是递增数列，
∴，
∵这m0﹣1个数恰为，…，这m0﹣1项，
∴2[a+（m0﹣1）d]﹣[a+（m0﹣2）d]＝a+m0d与a+m0d矛盾，
∴an＝a+（n﹣1）（b﹣a），n＝1，2，3，…，则b1＝﹣a，b2＝﹣b，且b1＜b2，
对于{bn}中任意两项，bi，bj（i＜j），
∵对任意ai，aj，（i＜j），存在ak（j＜k＜2j），使得ak＝2aj﹣ai，
∴﹣ak＝﹣2aj﹣（﹣ai），即存在bk（j＜k＜2j），使得bk＝2bj﹣bi，
因此，数列{bn}满足题设条件，
由①可知bn＝﹣a+（n﹣1）（a﹣b），n＝1，2，3，…
∴an＝a+（n﹣1）（b﹣a），n＝1，2，3，…
综上，an＝a+（n﹣1）（b﹣a），n＝1，2，3，…，
经检验，数列{an}满足题设条件．