九年级期中考试数学试题参考答案与评分建议
1.C 2.A3.B 4.D 5.D 6.D 7.B 8.B9. 10.相交
11.-4 12.40 13.变大 14.-2 15. 16. 17. 18.
………………………每小题3分，共54分
19.（1），；（2），；
（3），；（4），.
………………………每小题4分，共16分
20.（1）根据题意可得方程，. ……4分
所以方程为.
解之得. ……………8分
21.不正确. ………………2分
理由如下：
原方程变形为. …………4分
整理为.
解之得. ………………8分
22.（1）证明：因为AB∥OC，BC∥OA，所以四边形OABC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）又因为点A，B，C都在⊙O上，所以四边形OABC是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）； ……………4分
（2）连结OB，因为四边形OABC是菱形，所以△OBC是等边三角形，即∠AOC=120°. ……………8分
23.（1）因为有两个不相等的实数根，； …………4分
（2）当取最大整数值时，. ………………8分
24.（1）连接OC．
∵点D在⊙O上，OB＝OD，∴可证得△OBC≌△ODC（SSS），∠OBC＝∠ODC＝90°，
即直线CD是⊙O的切线． …………5分
（2）设OB＝OD＝x，则OE＝16﹣x，
在Rt△BOE中，BE2+OB2＝OE2，∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6,即⊙O的半径是6. …………………10分
25.（1）465；………………………………2分
（2）若为10人，则10×20=200<221,所以超过10人.……………4分
设某公司员工共有x人参加此次团建活动，根据题意，可得方程，
由题意得：x[20﹣（x﹣10）]＝221. …………………………6分
解得.…………………………8分
当为17人时，则票价为或20﹣（17﹣10）=13<15，不合题意，舍去.
答：参加这次团建的共有13人.……………10分
26.（1）；
………………4分
(
B
A
C
图
2
D
)（2）
(
O
)
……………8分
(
E
)
…………………12分
27.（1）
(
30
A
′
A
B
C
D
)
证明：A’B交⊙O于点D，连接BD，∵∠CDB=∠DCA’+∠A’,∠CDB=∠A,∠CDB>∠A’
∴∠A>∠A’，即∠BA’C＜30°. ………………3分
（2）①4 ………………5分
②………………8分
（3）
以AC为斜边作等腰直角△AOC，过点O作OG⊥AC,过点O作⊙O，∵∠BCA＝90°，∠CBA＝30°，AC=4，∴OG＝CG=2，AB=8，AO=,BC=.∵将AB沿CB方向平移m个单位长度至DE，使得直线DE上有一点P，满足∠CPA＝45°，且此时四边形ADEB的面积最大.∴过点O作OF⊥AB交⊙O于点P，连接EP，EP为⊙O的切线，过点A作CE的平行线交EP于点D，作DH⊥AB.
………………10分
∵S△ABC=,S△AOC=4,S△BOC=.∴S△AOB=.可得OF=，FP=DH=.∵∠DAH＝30°，∴m=AD=.
………………14分2023—2024学年度第一学期期中考试
九年级数学试题
温馨提示：
1．本试卷共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为100分钟．
2．请在答题纸规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效．
3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸及试题指定的位置．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和 B．3和8 C．和 D．和
3．已知的半径为，点在上，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有三个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
5．下列命题中正确的是（ ）
A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．
6．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为，则所列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
第7题图
8．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
第8题图
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．方程的解是__________．
10．已知圆的直径为，且圆心到一条直线距离为，则这条直线与圆的位置关系是__________．
11．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是__________．
12．如图，四边形内接于，已知，则的度数是__________．
第12题图
13．如图，边长为2的等边，将边不改变长度，变为弧，得到以为圆心，为半径的扇形，由三角形变成扇形，图形的面积__________．（空格处填“变大”，“变小”或“不变”）．
第13题图
14．如果是一元二次方程的一个根，那么代数式的值是__________．
15．如图，钟面上分针的长为1，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度__________．
第15题图
16．一个圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正三角形的边长为__________．
17．如图①，一个扇形纸片的圆心角为，半径为8．如图②，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，再折叠扇形纸片，使点与点也恰好重合，折痕恰为，图中阴影部分为纸片的三层重叠部分，则阴影部分的面积为__________．
第17题图
18．如图，已知的半径是8，点，在上，且，动点在上运动（不与，重合），点为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是__________．
第18题图
三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（每题4分，共16分）解下列方程：
（1）； （2）；（用配方法）
（3）； （4）．
20．（本题满分8分）已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数．
21．（本题满分8分）小敏同学解方程的过程如下：
解：方程两边同除以，得 ， 则．
你认为小敏的解法是否正确？若正确，请对她的解答过程进行评价；若错误，请你写出正确的解答过程．
22．（本题满分8分）如图，点，，都在上，且，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求的度数．
第22题图
23．（本题满分1 0分）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若在它的取值范围内取最大整数值，求出此时方程的解．
24．（本题满分10分）如图，中，，以为直径作，点为上一点，且、连接并延长交的延长线于点．
（1）判断直线与的位置关系，并证明；
（2）若，，求的半径．
第24题图
25．（本题满分10分）某大樱桃采摘园收费信息如下表：
成人票 儿童票 大樱桃价格
不超过10 超过10人 15元/人 20元/斤
20元/人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价．
采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的大樱桃需按价购买．
（1）周末，6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了15斤大樱桃，则该团需支付的总费用___________元；
（2）某公司员工（均为成人）在该大樱桃采摘园组织团建活动，共支付票价221元，求这次参加团建的共多少人？
26．（本题满分12分）按着要求画图．
（1）在图1中，利用直尺和圆规，作出的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；
图1
（2）如图2，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的项点都在格点上，经过、、三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①在图2中，找出的圆心．
②在图2中的边上找到一点，使得平分；
③在图2备用图中的上找到一点（不与点重合），使得．
图2 图2备用图
27．（本题满分14分）【探究情境】在“圆周角”一课的探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？
学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1），即圆中的弧．
图1
【展示交流】（1）在展示交流中经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为，请你利用图1证明；
【提出问题】（2）展示交流后，小华同学提出了下列新问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为________；
②面积的最大值为________；
【拓展应用】（3）课后，小华所在学习小组应用本组的探究结果，解决了下面这个问题，请你也试一试．
如图2，中，，，．将沿方向平移个单位长度至，点、的对应点分别为点、．是否存在这样的，使得直线上有一点，满足，且此时四边形的面积最大？若存在，求出此时的平移距离；若不存在，说明理由．
图2
