华师大版九年级下数学第26章 二次函数评价检测及答案解析

单元评价检测(一)
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.(2014·虹口区一模)下列函数中,属于二次函数的是　(　　)
A.y=　　　　　　　　　 B.y=2(x+1)(x-3)
C.y=3x-2 D.y=
【解析】选B.y=是反比例函数;y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6是二次函数;y=3x-2是一次函数;y=中不是整式,不是二次函数.
2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是　
(　　)
A.x<1　 　B.x>1 　　C.x<-1　　 D.x>-1
【解析】选A.∵a=-1,∴抛物线开口向下﹒
又∵对称轴x=1,∴在对称轴左侧y随x的增大而增大,
∴当x<1时,y随x的增大而增大.
3.已知b<0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列四个图象之一.
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试根据图象分析,a的值应等于　(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选C.∵b<0,∴抛物线对称轴x=-≠0,
∴排除前两个图象.从后两个图象上看,抛物线的对称轴在y轴所在直线的右侧,∴x=->0,∴a>0.
∵抛物线经过原点,∴a2-1=0,∴a=1.
4.(2014·石景山区一模)将二次函数y=2x2-8x-1化成y=a(x-h)2+k的形式,结果为　(　　)
A.y=2(x-2)2-1 B.y=2(x-4)2+32
C.y=2(x-2)2-9 D.y=2(x-4)2-33
【解析】选C.y=2x2-8x-1=2(x2-4x+4)-8-1
=2(x-2)2-9.
5.(2014·黔东南州中考)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2014的值为　(　　)
A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2015
【解析】选D.∵抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),
∴m2-m-1=0,
∴m2-m=1.
∴m2-m+2014=2015.
6.(2014·荆门中考)将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线表达式是　(　　)
A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-4)2-2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-1)2-3
【解析】选B.y=x2-6x+5=(x-3)2-4,
即抛物线的顶点坐标为(3,-4),
把点(3,-4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,-2),
所以平移后得到的抛物线表达式为y=(x-4)2-2.故选B.
【特别提醒】因为平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小,所以二次项系数相同的二次函数均能互相平移得到.
【变式训练】(2013·衢州中考)抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数表达式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为
　(　　)
A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0
C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=2
【解析】选B.函数y=(x-1)2-4的顶点坐标为(1,-4),
∵是先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到,
∴1-2=-1,-4+3=-1,
∴平移前的抛物线的顶点坐标为(-1,-1),
∴平移前的抛物线的表达式为y=(x+1)2-1,
即y=x2+2x,∴b=2,c=0.
7.(2014·威海中考)已知二次函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法:①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=-1;③当x=1时,y=2a;④am2+bm+a>0(m≠-1).其中正确的个数是　(　　)
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A.1　　　 　B.2　　 　　C.3　　　 　D.4
【解析】选C.∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点,
∴c=0,故①正确;
∵二次函数与x轴的交点坐标是(-2,0)和(0,0),
∴对称轴是直线x=-1,故②正确;
∵-=-1,∴b=2a,
当x=1时,y=a+b+c=a+2a+c=3a,故③不正确;
∵b=2a,∴am2+bm+a=am2+2am+a=a(m+1)2,
又∵m≠-1,a>0,∴a(m+1)2>0,故④正确.
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式-+x2+1<0的解集是　　　　.
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【解析】∵-+x2+1<0,
∴x2+1<,∵交点A的横坐标是1,
∴不等式的解集是0答案:09.(2014·长春中考)如图,在平面直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2,点C在抛物线上,且位于点A,B之间(C不与A,B重合).若△ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为　　　　(用含a的式子表示).
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【解析】∵对称轴为直线x=-2,抛物线经过原点、与x轴负半轴交于点B,
∴OB=4,
∵由抛物线的对称性知AB=AO,
∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB=a+4.
答案:a+4
10.(2014·乌鲁木齐中考)对于二次函数y=ax2-(2a-1)x+a-1(a≠0),有下列结论:
①其图象与x轴一定相交;
②若a<0,函数在x>1时,y随x的增大而减小;
③无论a取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线上;
④无论a取何值,函数图象都经过同一个点.
其中所有正确的结论是　　　　.(填写正确结论的序号)
【解析】①因为Δ=[-(2a-1)]2-4a(a-1)=4a2-4a+1-4a2+4a=1>0,所以图象与x轴一定相交,所以①正确;②若a<0,则抛物线开口向下,对称轴为直线x=-=1-,
因为a<0,所以1->1,
即对称轴直线x>1,所以函数在x>1时,不能判断y就一定随x增大而减小,故②错误;③抛物线的顶点坐标可表示为,x=-=1-,y==-,所以有
得y=x-,
故无论a取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线y=x-上,所以③正确;④观察表达式,发现当x=1时,函数值y=0,与a的取值无关,所以④也正确,故正确的结论是①③④.
答案:①③④
11.(2014·玄武一模 ( http: / / www.21cnjy.com ))某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图.这种工艺品的销售量为　　　　件(用含x的代数式表示).
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【解析】由函数的图象可知点(30,2700)和点(60,0)满足表达式w=mx2+n,
∴解得:
∴w=-x2+3600,设销售量为a,则a(60-x)=w,
即a(60-x)=-x2+3600,解得:a=60+x.
答案:(60+x)
12.(2014·株洲中考)如果函数y=(a-1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是　　　　.
【解析】∵y=(a-1)x2+3x+经过平面直角坐标系的四个象限,
∴y=(a-1)x2+3x+需满足下列两个条件:
(1)它与x轴有两个交点,即:32-4(a-1)×>0,
解之得:a<-,由于a<-,故抛物线的对称轴x=->0,给出草图.
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(2)抛物线与y轴的交点纵坐标大于0,
即:>0,解之得:a>1或a<-5,
综上可知:a<-5.
答案:a<-5
三、解答题(共47分)
13.(10分)如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-3,0).
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(1)求点B的坐标.
(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC.求点P的坐标.
【解析】(1)∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,
∴A,B两点关于直线x=-1对称,
∵点A的坐标为(-3,0),∴点B的坐标为(1,0).
(2)a=1时,∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1,∴=-1,解得b=2.
将B(1,0)代入y=x2+2x+c,
得1+2+c=0,解得c=-3.
则二次函数的表达式为y=x2+2x-3,
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,-3),OC=3.
设P点坐标为(x,x2+2x-3),
∵S△POC=4S△BOC,∴×3×|x|=4××3×1,
∴|x|=4,x=±4.
当x=4时,x2+2x-3=16+8-3=21;
当x=-4时,x2+2x-3=16-8-3=5.
∴点P的坐标为(4,21)或(-4,5).
14.(12分)(2014·齐齐哈尔中 ( http: / / www.21cnjy.com )考)如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C,D两点,点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的表达式.
(2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标.
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【解析】(1)∵抛物线的顶点为A(1,4),
∴设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4(a≠0),
把点B(0,3)代入得,a+4=3,
解得a=-1,
∴抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4.
(2)点B关于x轴的对称点B'的坐标为(0,-3),
由轴对称确定最短路线问题,连结AB'与x轴的交点即为点P,
设直线AB'的表达式为y=kx+b(k≠0),
则解得
∴直线AB'的表达式为y=7x-3,
令y=0,则7x-3=0,解得x=,
所以,当PA+PB的值最小时的点P的坐标为.
15.(12分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
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(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根.
(2)写出满足不等式ax2+bx+c>0时,x的取值范围.
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【解析】(1)由抛物线与x轴两个交点的横坐标,可知方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3.
(2)依题意,因为ax2+bx+c>0,得出x的取值范围为1(3)如题图可知,当y随x的增大而减小时,自变量x的取值范围为x>2.
(4)由顶点(2,2)设方程为a(x-2)2+2=0,
∵二次函数与x轴的两个交点为(1,0),(3,0),
代入a(x-2)2+2=0得:a(1-2)2+2=0,∴a=-2,
∴抛物线方程为y=-2(x-2)2+2,
y=-2(x-2)2+2-k实际上是原抛物线下移或上移|k|个单位.可知,当2-k>0时,抛物线与x轴有两个交点.故k<2.
16.(13分)某商品的进价为每件 ( http: / / www.21cnjy.com )40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数表达式并直接写出自变量x的取值范围.
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润 最大的月利润是多少元
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元 根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元
【解析】(1)由题意得:y=(210-10x)(50+x-40)
=-10x2+110x+2100(0(2)由(1)中的y与x的表达式配方得:
y=-10(x-5.5)2+2402.5.
∵a=-10<0,∴当x=5.5时,y有最大值2402.5.
∵0当x=5时,50+x=55,y=2400(元),
当x=6时,50+x=56,y=2400(元)
∴当售价定为每件55或56元时,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元.
(3)当y=2200时,-10x2+110x+2100=2200,解得:x1=1,x2=10.
∴当x=1时,50+x=51,当x=10时,50+x=60.
∴当售价定为每件51或60元,每个月的利润为2200元.
当售价不低于51元且不高于60元且 ( http: / / www.21cnjy.com )为整数时,每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时,每个月的利润不低于2200元).