2023～2024学年第一学期期中考试试题
初三数学答案
第一部分
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
第二部分
11. 12.相离 13. 14.
15. 16. 17. 18.
第三部分
19.（1）…………………………………………（2分）
，………………………………………………………（4分）
（2）整理，得
因式分解，得
………………………………………………………（2分）
，…………………………………………………………（4分）
（3）移项，得
直接开平方
………………………………………………………………（2分）
，………………………………………………………（4分）
（4）提公因式
………………………………………………………（2分）
，…………………………………………………………（4分）
20. 连接， ，是的切线，切点分别为、,
，；……………………………………………（2分）
又
是等边三角形．
，，
；…………………………………………（4分）
为直径
；…………………………………………（6分）
在中，，，，
.………………………………………………（7分）
21. （1）是方程的根，
，得；…………………………………………………………………（1分）
，方程为，即，
；（或者，）…………………………………………（3分）
………………………………………………………………………………………（4分）
（2），
；…………………………………………………………………（6分）
……………………………………………………………………………………（7分）
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．………………………………………（8分）
22.（1）
角平分线（2分）
圆 （3分）
图中以点为圆心的半圆是所求作的图形. ………………………………………………（4分）
（2）设圆锥底面半径为
半圆的弧长为，
圆锥底面半径…………………………………………………………………………（5分）
在中，，，
，…………………………………（7分）
设的半径为，
在中，，，
，得；………………………………………………………………（8分）
不能剪出圆锥的底面. …………………………………………………………………（9分）
23.（1）（答案不唯一）；………………………………………………（2分）
（2）证明：∵关于x的一元二次方程是“勾系方程”，
∴且，,
；……………………………………………………………………………………（4分）
∴方程有两个实数根；…………………………………………………………………………（6分）
（3）解：，理由如下：
作于E，延长交于F，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是“勾系方程，
∴，
∴；……………………………………………………………………………（8分）
∵，
∴；
∴，………………………………………………………………………（10分）
∵，
∴，
∴，
∴．……………………………………………………………（12分）
24.（1）证明：连接.为的直径，
，
；………………………………（2分）
又，
即，………………………………（4分）
为半径
是切线……………………………………………………………………………………（5分）
（2）连接，过点作交于点.
设的半径为，则，，
是的切线，为切点，
，
；…………………………………………………………………………………（6分）
在中，，
即，
，；.……………………………………………………………………………（8分）
在中，
(也可以用)……………………………………（10分）
25.（1）（人），（人），
当成人人数大于或等于人时，成人票都是元/人；
，
该社团购买的成人票为元/人；…………………………………………………………（2分）
设本次活动他们最多共带出斤杨梅，根据题意得
…………………………………………………………………………………………（4分）
答：本次活动他们共带出杨梅30斤.…………………………………………………………（5分）
（2）设参加团建的共有人，
，
，
. …………………………………………………………………………………（7分）
由题意得，，
解得，（舍）…………………………………………………………………（9分）
答：参加这次团建的共有人. .……………………………………………………………（10分）
26. ①如图1，过点作交于点，过点作交于
在中，，，
……………………………………………（1分）
翻折
，
设
在，，，
.………………………………………………………………………………（2分）
直线：………………………………………………………………（3分）
②如图2，过点作交于点，
设，则，
在中，，，
，………………………………………………（5分）
直线：………………………………………………………………（6分）
③如图3，过点作交于点，过点作交于，
在中，，，
……………………………………………（7分）
设
在中，，，
……………………………………………（8分）
直线：…………………………………………………………（9分）
④过点作交于点，过点作交于，
设
在中，，，，
………………………………………………（11分）
直线：…………………………………（12分）
（也可以利用相似完成）
27.（1）①，………………………………（2分）
②
解：如图1，没有△ABC为⊙O的“点A关联三角形”
…………………………………………………（3分）
如图2，
∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∴线段AC和AB除过点A外，不能与⊙O有交点，
当线段AC除点A外不与⊙O有交点，
当与⊙O相切时，
轴，此时，点；…………（5分）
当线段AB除点A外不与⊙O有交点，
即点在（-1，0）处，此时，点；……………（7分）
，
在中，，，
，，
在中，………………………………………（9分）
（也可以用，得）
（2）………………………………………………………………………………………（12分）
解：如图，符合△ABC等边三角形的B点有个，当r较小时，没有符合题意的B点，如下图1所示，
随着r增大，当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，如图2所示，
，
，且平分
所在直线为四边形的对称轴，即，
此时，与相切，
，此时仍不满足题意，
①当时， 与有两个交点，不符题意，如图3所示；
②当时，如图4所示，延长至，使得，连接，并延长交轴于点，
，
，
，，
在中，，，
即在外部，在内部，与必有一个交点，符合题意
符合题意
综上所述，的取值范围是：．2023～2024学年第一学期期中考试试题
初三数学
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．已知的半径为，为线段的中点，则当时，点与的位置关系为（）
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定
2.方程的解是（ ）
A. B. 或 C. D. 或
3.如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（ ）
A. B. C. D.
4.某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是
A． B． C． D．
5.当用配方法解一元二次方程时，下列方程变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 2023年连花清瘟胶囊粒经过两次降价，从每盒元下调至元，设平均每次降价百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，是的外接圆，直径，，则（ ）
A． B． C． D．
8.如图，将半径为的沿折叠，与垂直的半径交于点且，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动. 设运动时间为，当时，（ ）
A. B. C. D.
10.如图，为等边的外心，四边形为正方形.现有以下结论:①是的外心; ②是的外心;③;④设，则;⑤若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）
11.若矩形的长和宽是方程（）的两根，则矩形的周长为 .
12.已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 .
13.如图，在正十边形中，连接，， °.
14.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 .
15.如图，在中，，是的内切圆，切点分别为、、.若，，则 .
16.如图，扇形的圆心角为直角，边长为的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点.则图中阴影部分面积是 .
17.如图，，点是以为直径的半圆上不同于、的一个动点，将线段绕着点
逆时针旋转得到线段，则线段的取值范围是 ．
18.如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则 ．
三、解答题（本大题共9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本题满分16分）
用适当的方法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
20.（本题满分7分）
如图，，是的两条切线，切点分别为，．若直径，，求弦的长．
21.（本题满分8分）
已知一元二次方程．
（1）当其中一个根为时，求另一个根．
（2）证明不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22.（本题满分9分）
如图，是一个纸板，其中，，.
操作（1）：可以剪出一个直径在直角边上的最大半圆，请用无刻度直尺和圆规作出符合条
件的半圆;
操作（2）：若将（1）中的半圆剪下，围成一个圆锥的侧面，剩下部分能再剪出一个完整的圆作为圆锥的底面吗？若能，求出底面半径；若不能，请说明理由.
23.（本题满分12分）
关于x的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“勾系方程”： ；
（2）求证：关于的“勾系方程”必有实数根；
（3）如图，已知是半径为的的两条平行弦，，且关于的方程是“勾系方程”，求．
24.（本题满分10分）
如图，为的直径，为的延长线上一点，作直线交于点，连接
、，使得，过点作交延长线于点.
（1）求证: 直线是的切线;
（2）若，，求的半径及的长.
25.（本题满分10分）
某杨梅采摘园收费信息如下表:
成人票 儿童票 带出杨梅价格
不超过人 超过人 元/人 元/斤
元/人 每增加人，人均票价下降元，但不低于儿童票价
（1）某社团共人去该采摘园进行综合实践活动，购买了张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤
（2）某公司员工(均为成人)在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人
26.（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径作圆. 从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负半轴运动，运动时间为.连结，将沿翻折，得到.求有一边所在直线与相切时直线的解析式.
27.（本题满分12分）
定义1：如图1，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转（）得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系.规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标，实数为点的横坐标.
定义2：在平面斜坐标系中，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为“点关联三角形”．
（1）已知的半径为，为的“点关联三角形”．
①如图2，点，，点的横坐标的最小值为 ，在，这两个点中，点可以与点 重合；
②若点，点，，，，点在轴下方．求满足条件的点轨迹长度；
（2）已知的半径为，点，点．若平面斜坐标系中存在点，使得是等边三角形，且为的“点关联三角形”，直接写出的取值范围
