2023 年秋七校考试联盟高二年级数学试题参考答案
.1. 【答案】D
【分析】由已知的两点求出直线 l 的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
;(;2) ;(;3)
【详解】由直线的两点式方程，得直线 l的方程为 = ，即 + 1 = 0，
2;(;2) 1;(;3)
将各个选项中的坐标代入直线方程，
不妨设m = |PF1|, n = |PF2|, (m > 0, n > 0), θ = ∠F1PF2，
可知点( 2, 1)，( 1,0)，(0,1)都在直线 l 上，点(2,1)不在直线 l上．
则可知P F P F
1
故选：D． 1 2 = mncosθ = 2，S△PF1F = mnsinθ = 1， 2 2
40 60 1 1
2．【详解】由题意估计高一高二日阅读时间的平均数为x = 50 × + 40 × = 44， 两式相除可得 tanθ = ，所以tanθ = 1，
100 100 2 2
40 60 3π
方差为s2 = [4 + (50 44)2] × + [6 + (40 44)2] × = 29.2. 又θ ∈ (0,π)，所以θ = ，
100 100 4
故选：B． 可得mn = 2√2(m > 0, n > 0)，
3【答案】B 由椭圆的定义，得2a = m + n ≥ 2√mn（当且仅当m = n = √2时等号成立），4a2 ≥ 4mn
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得. 所以a2 ≥ 2√2.
【详解】在空间四边形 中， = 2 ，点 为 的中点， 故选：B.
2 1 2 1
则 = + + = + + = + + ( ) 6
3 2 3 2
2 1 1 2 1 1
= + + = + + .
3 2 2 3 2 2
故选：B
4. 【详解】若l1//l2，则a(a 4) = 1 × (a 6)即a = 2或3，
当a = 2时，则直线l1：2x + y + 2 = 0与l2： 4x 2y 4 = 0，显然两直线重合；
当a = 3时，则直线l1：3x + y + 3 = 0与l2： 3x y 4 = 0，显然两直线平行；
【详解】
连接 DE，DF，EF，当 D，E，F 三点共面时，容器可盛水最多，
综上所述，若l1//l2，则a = 3.
1
所以，“a = 2”是“l //l ”的既不充分也不必要条件. 因为SD:DA = 2: 1，SE:EB = 3: 1所以S△SDE = S△SAB， 1 2 2
故选：D. 1又因为CF: FS = 2: 1，所以 F 到平面 SDE 的距离是 C 到平面 SAB 的距离的 ，
3
5【详解】如图所示：
1 5
所以VF;SDE = V6 C;SAB，容器可盛水原来水的 . 6
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{#{QQABLQIAggCgABIAABgCUwUwCAOQkBCAAIoOABAEIAIAQANABCA=}#}
故选：C
7．【详解】因为直线l1：mx ny 5m + n = 0，即m(x 5) n(y 1) = 0，
x 5 = 0 x = 5令{ ，解得{ ，可知直线l 过定点A(5,1)，
y 1 = 0 y = 1 1
同理可知：直线l2过定点B(1,5)，
又因为m × n + ( n) × m = 0，可知l1 ⊥ l2， 选 C
1
所以直线l1与直线l2的交点P的轨迹是以AB的中点M(3,3)，半径r = |AB| = 2√2的圆，
一、多选题
2
9．ABD
因为圆C的圆心C( 3, 5)，半径R = 1，
【详解】设 20 个样本数据从小到大排列分别为x , x , x , , x ，则剩下的 18 个样本数据为
所以|PQ|的最大值是|MC| + r + R = √(3 + 3)2 2
1 2 3 20
+ (3 + 5) + 2√2 + 1 = 11 + 2√2.
x2, x3, , x19，
故选：C
x :x x :x
b 对于 A：原样本数据的中位数为
10 11，剩下的 18 个样本数据的中位数为 10 11，A 正确；
8【详解】对于①：由题意可知：直线OB: y = x， 2 2
a
1 1 1
2 对于 B，依题意，x1 = (x2 + x3 + + x19)，x2 = (x1 + x20)，x = (x1 + x2 + + x20)， b b cx
设B(x , x ) (x > 0)，则|OB| = √x2 + ( x ) = 00 0 0 0 0 = c，可得x = a，
18 2 20
a a a 0
1 1
即B(a, b)，，故①正确； 由x1 = x2，得x1 = (x2 + x3 + + x18 19
) = (x1 + x2 20
)，即x2 + x3 + + x19 = 18x1, x1 +
对于②：设直线l与双曲线的右支交于点M， x20 = 2x1，
由双曲线的定义可得：|MF1| |MF2| = 2a， 1于是x1 + x2 + x3 + + x19 + x20 = 20x1，因此 (x1 + x2 + x20 3 + + x19 + x20
) = x1，即x = x1，
在△ MBF2中可得|MB| > |MF2| |BF2|，即|MB| |MF2| > |BF2|，
B 正确；
所以|MF1| |MF2| = |BF1| + |MB| |MF2| > |BF1| |BF2|，
对于 C，因为18 × 22% = 3.96，则剩下 18 个数据的22%分位数为x5，
即|BF1| |BF2| < 2a，故②错误；
又20 × 22% = 4.4，则原样本数据的22%分位数为x5，C 错误；
对于③：
2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2对于 D，因为x = x1 = x2，则s1 = (x2 + x3 + + x19) x ，s2 = (x1 + x20) x ，
设A(x , y )(x < 0)，由F ( c, 0)，可得A B
18 2
1 1 1 1 = (a x1, b y1), F 1A = (x1 + c, y1)，
2 1 2a;3c s = (x2 + x21 2 + + x
2
20) x ，
a x = 3(x + c) x1 = 20
因为A B = 3 F A ，则{ 1 1 1 ，解得{
4
b ， b y1 = 3y1 y1 = 于是x2 + x2
2 2
4 2 3 + + x
2
19 = 18s
2
1 + 18x ，x
2
1 + x
2
20 = 2s
2
2 + 2x ，
a 3c 2 b 2
a;3c b ( ) ( ) 2 1 2 2 2 9 1
即A( , )，由点 A 在双曲线上可得 4 4 = 1， 因此s = (18s
2
1 + 18x + 2s
2
2 + 2x ) x = s
2
1 + s
2
2，即10s
2 = 9s2 21 + s2，D 正确.
4 4 a2 b2 20 10 10
1:√17
整理得3c a = √17a，解得e = ，故③正确； 故选：ABD
3
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{#{QQABLQIAggCgABIAABgCUwUwCAOQkBCAAIoOABAEIAIAQANABCA=}#}
10．ACD D 选项，由 A 选项，
【详解】对于 A 选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生， 3x + 2y 4 = 0由{ 2 2 ，得13y
2 16y 20 = 0，
x + y = 4
对立事件是必有一个发生的互斥事件，A 正确；
即A(x , y
20
1 1)，则B(x2, y2)，OA OB = x1x2 + y1 y2 = ， 13
对于 B 选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的
即此时以线段AB为直径的圆可能不经过点O，D 选项正确.
两个球这一基本事件，即它们不互斥，B 错误；
故选：AD
对于 C 选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，
12．BCD
1 1 5
则甲不输的概率为 + ＝ ，C 正确；
2 3 6
【详解】对于 A，由于M，N关于原点对称，故|NF1| = |MF2|，
对于 D 选项：5 件产品中任取两件有 10 个基本事件，它们等可能，
1 4 1 1 4
所以 + = ( + )(|MF | + |MF |)
|MF1| |NF1| 4 |MF1| |MF
1 2
2|
其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有 3 个基本事件，
1 |MF2| 4|MF1| 1 |MF | 4|MF | 9
3 7 = (5 + + ) ≥ (5 + 2√
2 1 ) = ，
从而所求概率为1 = ，D 正确. 4 |MF1| |MF2| 4 |MF1| |MF2| 4
10 10
|MF2| 4|MF1| 4 8
故选：ACD. 当且仅当 = ，结合|MF1| + |MF2| = 2a = 4，即|MF1| = , |MF2| = 时等号成立，A|MF1| |MF2| 3 3
11．AD 错误；
【详解】A 选项，若P(3, 2)，则以PO为直径的圆的方程为x2 + y2 3x 2y = 0， x2 y2对于 B，由题意知对于椭圆C: + = 1，a = 2, b = √2, c = √4 2 = √2，
4 2
由x2 + y2 = 4，两式相减得3x + 2y 4 = 0，所以 A 选项正确.
l: y = kx(k ≠ 0)与椭圆C交于M，N两点，
|0:0;5| 5√2
B 选项，O到直线l: x + y 5 = 0的距离为 = ，
√2 2 则M，N关于原点对称，且|MF1| + |MF2| = 2a = 4，|NF1| + |NF2| = 2a = 4,
2
2 2 2 5√2 17 √34 故四边形MF NF 的周长为|MF | + |MF | + |NF | + |NF | = 4a = 8，B 正确； 而|PA| = |OP| |OA| ≥ ( ) 4 = ，所以|PA|的最小值为 ， 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 √34 √34
所以三角形PAO面积的最小值为 × × 2 = ，所以 B 选项错误.
2 2 2
|OP| √a2:(5;a)2 √2a2;10a:25
C 选项，设P(a, 5 a)， = = ，
2 2 2
a 5;a
线段OP的中点坐标为( , )，
2 2
a 2 5;a 2 2a2;10a:25
所以以OP为直径的圆的方程为(x ) + (y ) = ，
2 2 4
2 2 对于 C，设M(x1, y )，则N( x , y )，而B(0,√2)， x + y ax (5 a)y = 0， 1 1 1
y1;√2 ;y1;√2 y
2
1;2
由x2 + y2 = 4，两式相减得ax + (5 a)y = 4, a(x y) + 5y 4 = 0， 故kBM kBN = =x ;x x2 ， 1 1 1
x y = 0 4 2 2 x2 y2 x
2 y2
由{ ，解得x = y = ，所以直线AB过定点( , )，C 选项错误. ( )
5y 4 = 0 而M x1, y1 在椭圆C: + = 1上，即
1 + 1 = 1，
5 3 3 4 2 4 2
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2 2
2 y1 2 y1;2 1即x1 = 4(1 ) = 2(2 y1)，故kBM kBN = 2 = ，C 正确； 2 x1 2
对于 D，由于点P为椭圆C上的一个动点，故|PF1| + |PF2| = 2a = 4,
则|PF1| = 4 |PF2|，故|PT| |PF1| = |PT| + |PF2| 4 ≥ |TF2| 4，
当且仅当T, P, F2共线时，且 P 在T, F2之间时等号成立，
而F2(√2, 0)，|TF2| = √(3√2 √2)
2 + 42 = 2√6，
故|PT| |PF1|的最小值为2√6 4，D 正确，
故选：BCD
由双曲线的定义，得| 1| | 2| = 2 = 6，
13． = 或 + = 4
又 是圆 2 + ( 6)2 = 4上的点，圆的圆心为 (0,5)，半径为 2，
【详解】当直线过原点时，方程为 = ，
由图可知，| | + |
2
| ≥ | 2|，
当直线不过原点时，设直线方程为 + = 1，
| 1| + | | = | 2| + | | + 2 | | ≥ | 2| + 6 2 = 5√2+4，
2 2
则有 + = 1，解得 = 4，
则| 1| + | |的最小值为5√2+4，
76π
故直线方程为 + = 1，即 + = 4， 16．
4 4 3
综上所述，所求直线方程为 = 或 + = 4.
故答案为： = 或 + = 4.
14．1
【详解】因为P(8, 9, 5)，点Q(1, 2, 2)，所以P Q = ( 7, 7, 3)，
又α的一个法向量为n = (4, 3, 12)，
【详解】
| P Q n | |;7×4;7×3;3×(;12)| 13
所以 Q 到平面α的距离为 = = =1
|n | √4:32:(;12)2 13 如图，设球心为点O，O1为△ ABC外接圆的圆心，则OO1//SA，连接O1A.
故答案为：1. 1由已知可得，△ ABC为等边三角形，且S△ABC = × 4 × 4 × sin60° = 4√3. 2
15.5√2+4【解析】设点 的坐标为(0,5)，利用双曲线的定义，可得| 1| | 2| = 2 = 6， 1 4√3 8√3
又VS;ABC = × SA × S△ABC = SA = ，所以SA = 2. 3 3 3
于是| 1| + | | = | 2| + | | + 2 | | ≥ | 2| + 6 2，转化求解即可．
过点O作OD//O1A交SA于点D，则OO2 1 = AD，OD = O1A. 【详解】解：由题意可得， = 9 + 16 = 25，即 = 5，则 1， 2的坐标分别为( 5,0)，(5,0)，
设AD = a (0 < a < 2)，则SD = 2 a，
由OS = OA可得，OD2 + SD2 = O1O
2 + O A21 ，
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所以，SD = O1O = AD. 1 1 3 1 3 3V V S d ， 三棱锥C BDE的体积为 C BDE E CBD △CBD E
3 3 4 2 24 24
所以，SD = 1.
18．
AB 8√3 4√3
根据正弦定理可得，2O1A = = ，所以O1A = ， 2sin60° 3 3 【答案】(1) x 2 y2 4 (2) y x 3
19
所以，OA2 = O 2 21O + O1A = . 3 3a 4 14
【详解】（1）设圆心坐标为 a,0 ， a 0 ，所以 2 ，解得a 2或 （舍去），
2 2 3
所以，三棱锥的外接球的表面积为4πOA2
76π 3 4
= .
3
2
76π 所以圆C 的方程为 x 2 y
2 4 .
故答案为： .
3
y kx 317． （2）设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，直线 l ： y kx 3，联立 2 得
x 2 y
2 4
3
【答案】(1)证明见解析 (2)
24 5 2k 2 1 x2 4 6k x 9 0， 4 6k 36 k 2 1 48k 20 0，解得 k ，
【详解】（1）令 AC、BD的交点为O，连接OE 12
9 4 6k 2 9 12k
所以 x1x2 ， x1 x2 ， y1y2 kx1 3 kx2 3 k x1x2 3k x1 x 9 ，
因为四边形 ABCD
2
是菱形，所以O是 BD的中点， k
2 1 k 2 1 k 2 1
又因为 E 是棱PD上的中点，所以在△PBD 中，OE∥PB， 因为OA OB 3，OA x1, y1 ，OB x2 , y2 ，
9 9 12k
因为OE 平面 AEC ， PB 平面 AEC 所以 x1x2 y1y2 32 ，解得k 1或 5（舍去）， k 1 k 2 1
所以PB∥平面 AEC . 所以直线 l ： y x 3 .
（2）因为四边形 ABCD是菱形，所以BD AC． 19．
【答案】(1)作图见解析，P 为 FC 的中点，Q 为 EC 靠近点 E 的三等分点
又BD PC, AC,PC 平面PAC ，且 AC PC C ，所以BD 平面PAC
2 2
因为 PA 平面PAC ，所以BD PA MB
(2)存在， 3
因为 AB PA 1, PB 2
2 2 2
，所以PB AB PA ，所以 AB PA． 【详解】（1）如图，取 P 为 FC 的中点，Q 为 EC 靠近点 E 的三等分点.
因为 AB, BD 平面 ABCD，且 AB BD B，所以PA 平面 ABCD． 理由如下：由四边形 ABCD 为正方形得， AD∥BC ， AB∥CD，
1 1
因为 E 是棱PD上的中点，所以 E 到平面 ABCD的距离dE PA ．
2 2 又BC 平面 FBC， AD 平面 FBC，所以 AD∥平面 FBC.
四边形 ABCD是菱形， ABC 60 , AB PA 1，
又平面 ADM 平面FBC MP，M 为 FB 的中点，得 AD∥MP ，且 P 为 FC 的中点.
1 3
则△CBD中， BCD 120 , BC CD 1,S△CBD BC CD sin BCD ， 因为 AF∥DE ， AB∥CD，CD，DE 平面 DCE，AB， AF 平面 DCE，
2 4
所以 AB， AF∥平面 DCE，
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{#{QQABLQIAggCgABIAABgCUwUwCAOQkBCAAIoOABAEIAIAQANABCA=}#}
又 AF AB A，AB， AF 平面 ABF，所以平面 ABF ∥平面 DCE，
则x1 + x2 = 2m，x1x2 = 2m
2 2 ，则|OP|2 + |OQ|2
平面 ADM 平面DCE DQ，AM 平分 FAB，得 DQ 平分 EDC，
ED 1 3 3
又 ，得到 Q 为 EC 的三等分点，且QC 2EQ，从而作出线段 PQ. = 2 + (x21 + x
2
2) = 2 + [(x + x )
2 2x x ] = 5，∴ |OP|2 + |OQ|2=5；
DC 2 4 4
1 2 1 2
（2）由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，则 A 0,0,0 ，C 2, 2,0 ，F 0,0, 2 ， （2）设椭圆 C 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 AM，AN，
设M x ,y ，N x ,yM M N N ，显然 AM ， AN 不与坐标轴平行，且kAM kAN 1 0， B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，于是BF 2,0,2 ， AD 0,2,0 ， AC 2,2,0 ，
1
所以不妨设直线 AM 的方程为 y kx 1 k 0 ，则直线 AN 的方程为 y x 1，
设BM BF 0 1 ，则 M 的坐标为 2 2 ,0, 2 . k
x2 2
+ y = 1 ;8k m AM 0 2 2 x 2 z 0 x 0由{ ，消去 y4 得到(1 + 4k2)x2 + 8kx = 0，所以 A ，x = ，
设平面 DAM 的法向量为m Mx, y, z ，则由 ，得 ， 2 y = kx + 1 1:4k
m AD 0 2y 0
2 8k√1:k
2
1 求得|AM| = √1 + k |x x | = ，
令 x 1，得平面 APQ 的一个法向量为m A M 2 1,0,1 . 1:4k
8√1:k2
m AC 同理可求|AN| = 2 . 4:k
设直线 AC 与平面 所成角为 ，则sin cos m, AC ，
m AC
因为 AMN
A 0,1 AM AN
为以 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 ，
10 8√1:k2 8k√1:k2
所以 2 = 2 ，整理得k
3 4k2 + 4k 1 = 0，
假设存在点 M 使得直线 AC 与平面 所成角的正弦值为 10 ， 4:k 1:4k
3±√5
m AC 所以(k 1)(k
2 3k + 1) = 0， 所以k 1或k = ，
2 10 2
1 2 2
则有 m AC 2 1 10 ，解得
，MB .
3 3 所以，以 A 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有 3 个. 2 2 1 1
21．
所以线段 BF 上存在点 M，位于靠近点 B 的三等分点处，使得直线 AC 与平面 所成角的正弦
【答案】(1)a 24，65%分位数为1.1，频率分布直方图见解析
10
值为 .
10 10000,(X 10000)
(2)Y (3)0.65
1.5X 5000, 0 X 1000020.
【答案】(1) |OP|2 + |OQ|2=5； （2）3 个 【详解】（1）由题意，8 8 16 24 a 48 32 160，解得a 24，
1 8 8 16 24 24 8 8 16 24 24 48
x2 y = x + m 因为 0.5， 0.8，
【详解】：（1）椭圆 C 方程 y2 1，联立{ 2 ，消元得x2 + 2mx + 2m2 2 = 0， 160 160
4 x2 + 4y2 = 4
0.65 0.5
所以65%分位数在区间 1.0,1.2 上，则65%分位数为1.0 0.2 1.1；
当 = 8 4m2 > 0，即m2 < 2且m ≠ 0时， 0.8 0.5
画出频率分布直方图如图所示：
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1 y2
故直线 l 斜率存在，设直线 l 方程 y 1 k x ，与 x
2
1联立得
2 3
Δ 0
3 k 2 0
2
1 k 2k 3 k 2 x2 k 2 2k x k
2 k 4 0，由
0
k 2 4 3
，
1 2
k k 4 4 0
k
2 3
（2）由题意知，当 X 10000时，Y 10 1000 10000元，
1 2 1 2
X X 因为 k k 4 k 2 3 0恒成立，所以k 2 3 0，故k 2 2k 0，
当 X 10000时，Y 10 1000 5 1.5X 5000， 4 4
10 10
1
10000,(X 10000) 2 2 13 2 k
2 k 4
解得 k 3,设M x1, y1 , N x2 , y2 ，则 k 2k ，
所以Y ； 3 x1 x
4
2 , x2 1x2 2
1.5X 5000, 0 X 10000 k 3 k 3
1
（3）设销售的利润不少于 7000 元的事件记为A ，实际上得到人数 X 8000， PM MH x1 x
设点 的坐标为 x , y ，则由 得， 2 H
x1
H H H ，
24 48 32 PN HN 1 x x
此时P A x 2 H 0.65 . 2
160 2
22． 1 1 2 k
2 k 4
变形得到2x1x2 xH x1 x2 xH 0，将 k 2k 4 代入，解得
2 x1 x , x x 【答案】(1)证明见解析 2 2 1 2k 3 k 2 3
(2)证明见解析 8 k 8 k 1 9k 6x ，将 x 代入 y 1 k x H H 中，解得 yH ，
3 2k 3 2k 2 2 3 2k
4 9 y2
【详解】（1）将 (2,3) 代入双曲线中， 1 2 2 24 3k 18k 12
a2 2
，解得a 1，故双曲线方程为 x 1，
a 2 3 则3xH 2yH 6，
3 2k 2 3 2k
y2
设点 Q 的坐标为 x , y ，则 x2 00 0 1，即3x
2
0 y
2 3
0 0 ．
3 故点H 恒在一条定直线3x 2y 6 0上.
双曲线的两条渐近线 l1， l2的方程分别为 3x y 0, 3x y 0，
3x y 3x y
则点 Q 到两条渐近线的距离分别为 0 0 0 0d ， 1 ,d2
2 2
3x0 y0 3x
2
0 y0 3x0 y
2
则 0 3d d ． 1 2
2 2 4 4
所以点 Q 到双曲线 C 的两条渐近线的距离之积为定值．
（2）若直线 l斜率不存在，此时直线 l与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，
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{#{QQABLQIAggCgABIAABgCUwUwCAOQkBCAAIoOABAEIAIAQANABCA=}#}2023年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高二期中联考
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（ ）
A． B． C． D．
2．2023年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：
年级 抽查人数 平均时间 方差
高一 40 50 4
高二 60 40 6
则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（ ）
A．52 B．29.2 C．10 D．6.4
3．如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线：与：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知点在椭圆上，是椭圆的左 右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（O为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ）
B的坐标为（a,b）；②；③若，则双曲线的离心率；
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）
A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变 B．
C．剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数
D．
10．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
C．甲 乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
D．在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
11．已知圆，过直线上一点P作圆O的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．若点，则直线AB的方程为
B．面积的最小值为
C．直线AB过定点
D．以线段AB为直径的圆可能不经过点O
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（ ）
A．的最小值为9 B．四边形的周长为8
C．直线，的斜率之积为
D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．求经过（2, 2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
14．已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为
，则到平面的距离为______________．
15．已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是_____________．
16．已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为__________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，是棱上的中点．
(1)证明平面；
(2)求三棱锥的体积．
18．已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切．
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于不同的两点，且为坐标原点，求直线的方程．
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面与FC，EC分别交于P，Q两点．
(1)若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及理由；
(2)线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面所成角的正弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆，其上顶点为A；
(1) 若直线与椭圆C交于P Q两点，求证：为定值；
(2) 由椭圆C上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以为直角顶点作椭圆C的内接等腰直角三角形，求内接等腰直角三角形的个数．.
21．某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客．某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查 来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约．以下表格是160天内进入沙滩的每日人数（单位：万人）的频数分布表．
人数万
频数（天） 8 8 16 24 48 32
(1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求出的值和这组数据的分位数；
(2)据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，（单位：个）为进入该沙滩的人数为10的整倍数.如有8006人，则取8000．每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理．若该店每日准备1000杯饮品，记为该店每日的利润（单位：元），求和的函数关系式；
(3)以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率．
22．已知点在双曲线上．
(1) 已知点Q为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点Q到C的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点 ，在线段上取异于点 的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．
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