山东省枣庄市滕州市张汪中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八下·杭州月考）如果方程，，那么方程必有一个根为（ ）
A． B． C． D．
2．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
3．（2023八下·上城期中）用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于的一元二次方程有两根为和，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·滕州开学考）如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·池州开学考）如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
7．已知多项式，下列说法正确的个数为（ ）
若，则代数式的值为； 当时，代数式的最小值为； 当时，若，则的取值范围是．
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2023九上·滕州开学考）一个菱形的边长为，一条对角线长是，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·滕州开学考）某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，四边形是正方形，以为边作等边，与相交于点，则下列结论中：
； ； 的度数是≌≌．
正确的有个．（ ）
A． B． C． D．
11．现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
12．关于的一元二次方程有一个实数根是，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13．已知关于的方程的两个根是和，则的值为 ．
14．（2023九上·西安开学考）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
15．如图，在菱形中，，：：，则对角线等于 ．
16．（2022八下·通榆期末）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 ．
17．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程 ．
18．（2023九上·滕州开学考）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·西安开学考）计算
（1）
（2）（配方法）
（3）
（4）
20．（2023九上·西安开学考）已知关于的一元二次方程
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
21．（2023八下·怀化期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
22．（2019八下·博白期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
23．（2023九上·滕州开学考）某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量件与每件售价元之间符合一次函数的关系．
（1）当每件售价元时，每天的利润是多少元？
（2）该商场销售这种商品要想每天获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）该商场销售这种商品每天是否能获得元的利润？请说明理由．
24．（2023九上·滕州开学考）已知正方形，点，分别在边，上．
（1）如图，过点作交的延长线于点，平分交于点．
求证：≌；
试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图，若，直线与，的延长线分别交于点，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程，，
∴a-b+c=0，
∴当x=-1时a-b+c=0，
∴方程必有一个根为x=-1.
故答案为：B
【分析】将已知等式转化为a-b+c=0，观察可知当x=-1时a-b+c=0，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：k＜1且k≠0
故答案为：C.
【分析】本题考查一元二次方程根与a，b，c的关系和根的判别式。当，一元二次方程 有两个不相等的实数根；当，一元二次方程 有两个相等的实数根；当，一元二次方程 无实数根；当，一元二次方程 有实数根。
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】首先对方程进行移项，移项后再对方程进行配方，已知的系数为1，的系数为-8，则可对方程进行配方，然后即可得出选项.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程有两根为和
∴
∴
故答案为：B.
【分析】本题考查一元二次方程两根之和、两根之积。一元二次方程的两个根为，则.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD
∴ DC∥AB，AD=BC=3，∠A=90°
∴ ∠CDB=∠DBF
∵将沿折叠到位置
∴ ∠CDB=∠FDB
∴ ∠FDB=∠DBF
∴ DF=BF
∴ AF=5-BF=5-DF
在Rt中，
即
解得：DF=
故答案为：B.
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定、勾股定理的计算。根据折叠和矩形，得出DF=BF，根据勾股定理，求解即可。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BO=DO=BD，
∵E为OD的中点，
∴DE=OD=BD，
∴S△AED=S△ABD=×AB×AD=××6×8=6，
故答案为：A.
【分析】先利用矩形的性质及E为OD的中点，求出DE=OD=BD，再利用三角形的面积公式求出S△AED=S△ABD=×AB×AD=××6×8=6即可.
7．【答案】A
【知识点】多项式；公式法解一元二次方程；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】
解：∵ =0
∴，x=
∴代数式则错误，不合题意；
a=-3时， M-N =（ ）- （）=-6x-5，则错误，不合题意；
当时，
∴
∴
∴，则 错误，不合题意；
综上，正确的个数是0
故答案为：A.
【分析】本题考查解一元二次方程、多项式计算、二次函数与不等式综合，理清题意，整体代入求解，熟悉一元二次方程的公式法求根，结合二次函数求不等式的解集，利用图象求解是解题关键。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：
如图所示
由题知：菱形ABCD中，AC=5，AD=6
∴ AD⊥BC，AO=
由勾股定理得，∴ OC=4
∴ BC=8
∴
故答案为：D.
【分析】本题考查菱形的性质与面积公式和勾股定理的计算。根据菱形的性质，可得对角线长，结合菱形面积=对角线的积，可得正确答案。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：原价121，连续两次降价a％后，售价为100，则可列
故答案为：B.
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用---平均增长率平均降低率。熟悉平均增长率的公式是解题关键。 ：a (1+x)n=b。 (a 为起始量，b为终止量，n 为增长的次数，x 为平均增长率）
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AD=AB=DC=BC，∠DAM=∠BAM=∠DCM=∠BCM=45°，∠ABC=∠ADC=90°，
∵ AM=AM，MC=MC
∴，
∴ DM=BM································· 故选项正确；
由 得：∠MDC=∠MBC
∵ 等边
∴ CD=CE，∠DCE=60°
∴ BC=CE，∠BCE=150°，
∴ ∠BEC=∠MBC=∠MDC=15°···························· 故选项正确；
∴∠AMD=∠DCM+∠MDC=45°+15°=60°················ 故选项错误；
∵ AD=DE,∠ADM=∠EDM=75°，DM=DM
∴
∴··························· 故选项正确；
综上，正确，共3个
故答案为：C.
【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质。熟练掌握这些知识是解题关键。
11．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵对于任意实数、，都有
∴，
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查定义运算和一元二次方程的解法。根据定义运算，列出一元二次方程，根据方程特点，恰当运用因式分解法求根更简便。当然，解此方程，也可用配方法或者公式法。
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程有一个实数根是
∴ 把x=0代入方程，得：
∴
∴ a=-4或a=1
∵ a-1≠0
∴ a≠1
∴ a=-4
故答案为：C.
【分析】本题考查一元二次方程与根的关系，根满足方程，代入可得关于a的等式，求出a的值，但要考虑一元二次方程有意义的条件，二次项系数不为零，正确求出a的值。
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于的方程的两个根是和
∴ -n=0+（-2）=-2，-m=0×（-2）=0
∴ n=2，m=0
∴ m+n=2
故答案为：2.
【分析】本题考查一元二次方程两根之和、两根之积。对于关于x的一元二次方程，
14．【答案】0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程是一元二次方程
∴|m-2|=2且m-4=0，
解之：m1=0，m2=4，m≠4，
∴m=0.
故答案为：0.
【分析】利用一元二次方程的定义可知最高次数为2，二次项系数不为0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
15．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD，
∴ AB∥DC，AB=BC=5
∴ ∠B+∠BCD=180
∵ ∠B：∠BCD=1：2
∴ ∠B=60°
∴为等边三角形
∴ AC=5
故答案为：5.
【分析】本题考查菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的对边平行，可得∠B+∠BCD=180，根据∠B：∠BCD=1：2可得∠B度数，根据菱形邻边相等，可得等边三角形，可得AC长。
16．【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OMCDAB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BOAC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
【分析】利用勾股定理先求出AC=13，再求出BOAC＝6.5，最后计算求解即可。
17．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设小路的宽为xm，则绿化区域的长为64-2x，宽为40-x，
可得（64-2x）（40-x）=64×40×80％
故答案为：（64-2x）（40-x）=64×40×80％ .
【分析】本题考查一元二次方程的应用---面积问题。此类型题在求绿化区域面积时，直接找出绿化区域的长和宽，则可得方程。
18．【答案】30
【知识点】菱形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为菱形，OA=5
∴ AC⊥BD，BO=DO=，AC=2AO=10
∵ DH⊥AB，OH=3
∴ OH== BO=3
∴ BD=6
故答案为：30.
【分析】本题考查菱形的性质和面积及直角三角形的性质。菱形的面积=对角线积的一半。直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。
19．【答案】（1）解：∵
∴，
∴，
解得，；
（2）解：
移项，得，
方程两边同加上，得，
即，
，
解得，；
（3）解：，
即，
，
解得；
（4）解：∵，
∴，
，
∴，
∴或，
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：可以将方程转化为x2=a（a≥0），因此利用直接开平方法解方程即可.
（2）先移项，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后用直接开平方法解方程.
（3）观察方程特点：右边为0，左边时完全平方式，因此利用因式分解法解方程.
（4）将方程右边分解因式，可知方程两边含有公因式（2x-5），因此利用因式分解法解方程即可.
20．【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：将代入原方程得：，
∴，
∴原方程为，
，
∵，
∴方程的另一个根为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac，再证明b2-4ac≥0即可.
（2）将x=1代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，然后将m的值代入方程，利用一元二次方程根与系数求出方程的另一个根.
21．【答案】（1）证明：∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，再根据垂直结合平行线的判定得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，，进而即可得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而运用勾股定理即可求解。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF，O F＝ DC，OE＝ BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中， ，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质，易证∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，根据线段中点的定义，可证得BE=DF；再利用SAS可证得两三角形全等。
（2）根据线段的中点可证OE，OF是△ABC和△ACD的中位线，利用中位线定理就可推出AE=OE=OF=AF，即可证得四边形AEOF是菱形，要证此四边形是正方形，因此只需证这个四边形的一个角是直角，因此添加条件：菱形ABCD一组相邻的两边互相垂直即可。
23．【答案】（1）解：当时，．
答：当每件售价元时，每天的利润是元
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每件商品的售价应定为元；
（3）解：该商场销售这种商品每天不能获得元的利润，理由如下：
假设能，根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
假设不成立，即该商场销售这种商品每天不能获得元的利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用---销售问题。（1）根据“总利润=单件商品的利润×数量”列出利润的方程，求解即可；（2）结合利润表达式和所给数据，求方程解，结合题目对售价的要求，注意根的取舍；（3）对于利润900元，判断对应方程根的情况，计算根的判别式，可知所给数据是否成立。此题掌握总利润的计算公式是解题关键。
24．【答案】（1）解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌．
解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
（2）证明：将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
由可知：≌，．
由知≌，
．
，
、、均为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、三角形的全等判定、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质。（1）根据四边形ABCD是正方形得AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°， 则∠ABG=∠D ，根据AG⊥AF得，可证 ≌．根据，得，结合AD∥BC得，得 ；（2） 将绕着点A顺时针旋转90°，得到，连接GM．由（1）≌，≌，得DF=BG，EG=EF． 根据∠CEF=45°得、、均为等腰直角三角形，则CE=CF，BE=BM，，得，结合EG=EF，，则．
1 / 1山东省枣庄市滕州市张汪中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八下·杭州月考）如果方程，，那么方程必有一个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程，，
∴a-b+c=0，
∴当x=-1时a-b+c=0，
∴方程必有一个根为x=-1.
故答案为：B
【分析】将已知等式转化为a-b+c=0，观察可知当x=-1时a-b+c=0，即可求解.
2．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：k＜1且k≠0
故答案为：C.
【分析】本题考查一元二次方程根与a，b，c的关系和根的判别式。当，一元二次方程 有两个不相等的实数根；当，一元二次方程 有两个相等的实数根；当，一元二次方程 无实数根；当，一元二次方程 有实数根。
3．（2023八下·上城期中）用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】首先对方程进行移项，移项后再对方程进行配方，已知的系数为1，的系数为-8，则可对方程进行配方，然后即可得出选项.
4．已知关于的一元二次方程有两根为和，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程有两根为和
∴
∴
故答案为：B.
【分析】本题考查一元二次方程两根之和、两根之积。一元二次方程的两个根为，则.
5．（2023九上·滕州开学考）如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD
∴ DC∥AB，AD=BC=3，∠A=90°
∴ ∠CDB=∠DBF
∵将沿折叠到位置
∴ ∠CDB=∠FDB
∴ ∠FDB=∠DBF
∴ DF=BF
∴ AF=5-BF=5-DF
在Rt中，
即
解得：DF=
故答案为：B.
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定、勾股定理的计算。根据折叠和矩形，得出DF=BF，根据勾股定理，求解即可。
6．（2023九上·池州开学考）如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BO=DO=BD，
∵E为OD的中点，
∴DE=OD=BD，
∴S△AED=S△ABD=×AB×AD=××6×8=6，
故答案为：A.
【分析】先利用矩形的性质及E为OD的中点，求出DE=OD=BD，再利用三角形的面积公式求出S△AED=S△ABD=×AB×AD=××6×8=6即可.
7．已知多项式，下列说法正确的个数为（ ）
若，则代数式的值为； 当时，代数式的最小值为； 当时，若，则的取值范围是．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】多项式；公式法解一元二次方程；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】
解：∵ =0
∴，x=
∴代数式则错误，不合题意；
a=-3时， M-N =（ ）- （）=-6x-5，则错误，不合题意；
当时，
∴
∴
∴，则 错误，不合题意；
综上，正确的个数是0
故答案为：A.
【分析】本题考查解一元二次方程、多项式计算、二次函数与不等式综合，理清题意，整体代入求解，熟悉一元二次方程的公式法求根，结合二次函数求不等式的解集，利用图象求解是解题关键。
8．（2023九上·滕州开学考）一个菱形的边长为，一条对角线长是，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：
如图所示
由题知：菱形ABCD中，AC=5，AD=6
∴ AD⊥BC，AO=
由勾股定理得，∴ OC=4
∴ BC=8
∴
故答案为：D.
【分析】本题考查菱形的性质与面积公式和勾股定理的计算。根据菱形的性质，可得对角线长，结合菱形面积=对角线的积，可得正确答案。
9．（2023九上·滕州开学考）某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：原价121，连续两次降价a％后，售价为100，则可列
故答案为：B.
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用---平均增长率平均降低率。熟悉平均增长率的公式是解题关键。 ：a (1+x)n=b。 (a 为起始量，b为终止量，n 为增长的次数，x 为平均增长率）
10．如图，四边形是正方形，以为边作等边，与相交于点，则下列结论中：
； ； 的度数是≌≌．
正确的有个．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AD=AB=DC=BC，∠DAM=∠BAM=∠DCM=∠BCM=45°，∠ABC=∠ADC=90°，
∵ AM=AM，MC=MC
∴，
∴ DM=BM································· 故选项正确；
由 得：∠MDC=∠MBC
∵ 等边
∴ CD=CE，∠DCE=60°
∴ BC=CE，∠BCE=150°，
∴ ∠BEC=∠MBC=∠MDC=15°···························· 故选项正确；
∴∠AMD=∠DCM+∠MDC=45°+15°=60°················ 故选项错误；
∵ AD=DE,∠ADM=∠EDM=75°，DM=DM
∴
∴··························· 故选项正确；
综上，正确，共3个
故答案为：C.
【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质。熟练掌握这些知识是解题关键。
11．现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵对于任意实数、，都有
∴，
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查定义运算和一元二次方程的解法。根据定义运算，列出一元二次方程，根据方程特点，恰当运用因式分解法求根更简便。当然，解此方程，也可用配方法或者公式法。
12．关于的一元二次方程有一个实数根是，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程有一个实数根是
∴ 把x=0代入方程，得：
∴
∴ a=-4或a=1
∵ a-1≠0
∴ a≠1
∴ a=-4
故答案为：C.
【分析】本题考查一元二次方程与根的关系，根满足方程，代入可得关于a的等式，求出a的值，但要考虑一元二次方程有意义的条件，二次项系数不为零，正确求出a的值。
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13．已知关于的方程的两个根是和，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于的方程的两个根是和
∴ -n=0+（-2）=-2，-m=0×（-2）=0
∴ n=2，m=0
∴ m+n=2
故答案为：2.
【分析】本题考查一元二次方程两根之和、两根之积。对于关于x的一元二次方程，
14．（2023九上·西安开学考）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程是一元二次方程
∴|m-2|=2且m-4=0，
解之：m1=0，m2=4，m≠4，
∴m=0.
故答案为：0.
【分析】利用一元二次方程的定义可知最高次数为2，二次项系数不为0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
15．如图，在菱形中，，：：，则对角线等于 ．
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD，
∴ AB∥DC，AB=BC=5
∴ ∠B+∠BCD=180
∵ ∠B：∠BCD=1：2
∴ ∠B=60°
∴为等边三角形
∴ AC=5
故答案为：5.
【分析】本题考查菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的对边平行，可得∠B+∠BCD=180，根据∠B：∠BCD=1：2可得∠B度数，根据菱形邻边相等，可得等边三角形，可得AC长。
16．（2022八下·通榆期末）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 ．
【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OMCDAB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BOAC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
【分析】利用勾股定理先求出AC=13，再求出BOAC＝6.5，最后计算求解即可。
17．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设小路的宽为xm，则绿化区域的长为64-2x，宽为40-x，
可得（64-2x）（40-x）=64×40×80％
故答案为：（64-2x）（40-x）=64×40×80％ .
【分析】本题考查一元二次方程的应用---面积问题。此类型题在求绿化区域面积时，直接找出绿化区域的长和宽，则可得方程。
18．（2023九上·滕州开学考）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为 ．
【答案】30
【知识点】菱形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为菱形，OA=5
∴ AC⊥BD，BO=DO=，AC=2AO=10
∵ DH⊥AB，OH=3
∴ OH== BO=3
∴ BD=6
故答案为：30.
【分析】本题考查菱形的性质和面积及直角三角形的性质。菱形的面积=对角线积的一半。直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·西安开学考）计算
（1）
（2）（配方法）
（3）
（4）
【答案】（1）解：∵
∴，
∴，
解得，；
（2）解：
移项，得，
方程两边同加上，得，
即，
，
解得，；
（3）解：，
即，
，
解得；
（4）解：∵，
∴，
，
∴，
∴或，
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：可以将方程转化为x2=a（a≥0），因此利用直接开平方法解方程即可.
（2）先移项，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后用直接开平方法解方程.
（3）观察方程特点：右边为0，左边时完全平方式，因此利用因式分解法解方程.
（4）将方程右边分解因式，可知方程两边含有公因式（2x-5），因此利用因式分解法解方程即可.
20．（2023九上·西安开学考）已知关于的一元二次方程
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：将代入原方程得：，
∴，
∴原方程为，
，
∵，
∴方程的另一个根为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac，再证明b2-4ac≥0即可.
（2）将x=1代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，然后将m的值代入方程，利用一元二次方程根与系数求出方程的另一个根.
21．（2023八下·怀化期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，再根据垂直结合平行线的判定得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，，进而即可得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而运用勾股定理即可求解。
22．（2019八下·博白期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF，O F＝ DC，OE＝ BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中， ，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质，易证∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，根据线段中点的定义，可证得BE=DF；再利用SAS可证得两三角形全等。
（2）根据线段的中点可证OE，OF是△ABC和△ACD的中位线，利用中位线定理就可推出AE=OE=OF=AF，即可证得四边形AEOF是菱形，要证此四边形是正方形，因此只需证这个四边形的一个角是直角，因此添加条件：菱形ABCD一组相邻的两边互相垂直即可。
23．（2023九上·滕州开学考）某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量件与每件售价元之间符合一次函数的关系．
（1）当每件售价元时，每天的利润是多少元？
（2）该商场销售这种商品要想每天获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）该商场销售这种商品每天是否能获得元的利润？请说明理由．
【答案】（1）解：当时，．
答：当每件售价元时，每天的利润是元
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每件商品的售价应定为元；
（3）解：该商场销售这种商品每天不能获得元的利润，理由如下：
假设能，根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
假设不成立，即该商场销售这种商品每天不能获得元的利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用---销售问题。（1）根据“总利润=单件商品的利润×数量”列出利润的方程，求解即可；（2）结合利润表达式和所给数据，求方程解，结合题目对售价的要求，注意根的取舍；（3）对于利润900元，判断对应方程根的情况，计算根的判别式，可知所给数据是否成立。此题掌握总利润的计算公式是解题关键。
24．（2023九上·滕州开学考）已知正方形，点，分别在边，上．
（1）如图，过点作交的延长线于点，平分交于点．
求证：≌；
试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图，若，直线与，的延长线分别交于点，，求证：．
【答案】（1）解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌．
解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
（2）证明：将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
由可知：≌，．
由知≌，
．
，
、、均为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、三角形的全等判定、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质。（1）根据四边形ABCD是正方形得AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°， 则∠ABG=∠D ，根据AG⊥AF得，可证 ≌．根据，得，结合AD∥BC得，得 ；（2） 将绕着点A顺时针旋转90°，得到，连接GM．由（1）≌，≌，得DF=BG，EG=EF． 根据∠CEF=45°得、、均为等腰直角三角形，则CE=CF，BE=BM，，得，结合EG=EF，，则．
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