(共30张PPT)
第七章 随机变量及其分布
章末知识梳理
知识结构·理脉络
要点梳理·晰精华
素养突破·提技能
知识结构 · 理脉络
要点梳理 · 晰精华
条件概率与事件的独立性
知识点 1
随机变量
知识点 2
素养突破 · 提技能
要点一
条件概率
在100件产品中，有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取1件产品．试求：
(1)第一次取到不合格品的概率；
(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．
典例 1
求离散型随机变量ξ的分布列、均值、方差的方法
(1)理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；
(2)求ξ取每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)根据均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
注意：如果ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．
要点二
离散型随机变量的分布列、期望与方差
为创建文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行“爱心送考”的次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
典例 2
[规律方法] 离散型随机变量的期望与方差的关注点
(1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算．
(2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布)．
(3)注意期望与方差的性质．
(4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达．
n重伯努利试验和二项分布、超几何分布是概率中的重要模型，是学习方差、均值的基础．高考中是常考内容，以选择、填空题的形式出现．有时在解答题中有所涉及，题目难度不大属低档题，二项分布的实际应用是常考题型．
要点三
二项分布与超几何分布
典例 3
[规律方法] 1.关于二项分布的实际应用
熟悉常见的n重伯努利试验的特点，涉及“多次”“多人”“多局”等的事件，每次事件发生的概率相同，随机变量往往符合二项分布，可以利用公式计算概率、期望．
2．关于超几何分布的实际应用
涉及不放回抽取，只含有两类元素抽取，或者多类元素，但抽取只涉及两个限定条件的事件，随机变量往往符合超几何分布，确定基本量n，M，N后可以利用公式求概率、期望．
正态分布是概率统计的重要内容，也是高考的重要内容．既可以以选择题、填空题的形式单独考查，难度较小，又可以与离散型随机变量的均值、方差及实际应用问题综合考查，难度中等偏上．求正态分布的概率主要有两种方法：
(1)注意“3σ原则”的应用．记住正态总体在三个区间内取值的概率．
(2)注意数形结合．由于正态密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
要点四
正态分布
某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请你判断考生成绩X在550～600分的人数．
典例 4
[规律方法] 正态分布的实际应用
(1)求概率
①利用P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值直接求；
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解．
(2)3σ原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值．第七章 7.1 7.1.1
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由P(B|A)＝，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
2．随着2023年中考顺利结束，考生静待分数出炉的同时，也已经根据估分确定了自己心仪的高中．甲、乙两位学生心仪安庆市田家炳中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼、教学北楼、青少年活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件A：甲和乙至少一人选择青少年活动中心考察参观，事件B：甲和乙选择的地点不同，则P(B|A)＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 甲、乙两人从四个地点中随机选择一个考察参观，共有4×4＝16种选择，甲和乙均不选择青少年活动中心考察参观共有3×3＝9种选择，所以甲和乙至少一人选择青少年活动中心考察参观有16－9＝7种选择，所以P(A)＝，事件AB：甲、乙只有一人选择青少年活动中心考察参观，故共有1×3＋3×1＝6种选择，所以P(AB)＝，因此P(B|A)＝＝.
3．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( A )
A．0.8 B．0.6
C．0.5 D．0.4
[解析] 同时爱好两项的概率为0.5＋0.6－0.7＝0.4，
记“该同学爱好滑雪”为事件A，记“该同学爱好滑冰”为事件B，
则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，
所以P(B|A)＝＝＝0.8.故选A．
4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( B )
A． B．
C． D．
[解析] P(A)＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝.故选B.
5．2024年6月10日是中国的传统佳节“端午节”，这天人们会悬菖蒲，吃粽子，赛龙舟，喝雄黄酒．现有7个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，记事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则P(B|A)＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意不妨设三个腊肉粽为：a，b，c，豆沙粽为：1,2,3,4.事件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的基本事件为：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，故n(A)＝9；
事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，对应的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，故n(B)＝6.显然B＝AB＝“取到的两个粽子是同一种馅，且都是豆沙馅”．
所以P(B|A)＝＝＝＝＝.故选B.
二、填空题
6．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝ ，P(B|A)＝ .
[解析] P(A|B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.
7．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为 .
[解析] 方法一：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，共12种，∴所求概率P＝.
方法二：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
8．某班级的学生在寒假中是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.
男生 女生
有参加滑雪运动打算 8 10
无参加滑雪运动打算 10 12
从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为 ；若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为 .
[解析] 该班级共有学生8＋10＋10＋12＝40(人)．
记“抽到的是男生”为事件A，“有参加滑雪运动打算”为事件B，则由题意得n(Ω)＝40，n(A)＝18，n(AB)＝8，
∴P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
三、解答题
9．袋子中放有大小、形状均相同的小球若干．其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n个．从袋子中任取两个小球，取到的标号都是2的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球的标号是1，求另一个小球的标号也是1的概率．
[解析] (1)由题意得＝＝，解得n＝2.
(2)记“其中一个小球的标号是1”为事件A，“另一个小球的标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝＝＝.
10．(2023·北京顺义)已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．
[解析] 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)由题可得所求概率为P(A|C)＝＝＝.
B 组·能力提升
一、选择题
1．袋中有大小、形状完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A，“摸出的两球同色”为事件B，则P(B|A)为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题可得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
则P(B|A)＝＝＝，故选A．
2．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 甲不跑第一棒共有A·A＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类情况：
(1)乙跑第一棒，共有A＝6(种)情况；
(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A＝8(种)情况．所以甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝.
3．(多选)甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件．则下列结论正确的是( ABC )
A．A1，A2，A3两两互斥 B．P(B|A1)＝
C．P(B|A2)＝ D．P(B|A3)＝
[解析] 因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，故A正确；因为P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，所以P(B|A1)＝＝＝，故B正确；同理P(B|A2)＝＝＝，P(B|A3)＝＝＝，故C正确，D错误．
二、填空题
4．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是 .
[解析] 记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)＝A，n(AB)＝A，P(B|A)＝＝.
5．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．
(1)取出球的最大号码为6的概率为 .
(2)已知取出4号球的条件下，取出球的最大号码为6的概率为 .
[解析] 令事件A＝{取出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}，
(1)P(B)＝＝.
(2)方法一：依题意知P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝.
方法二：依题意知n(A)＝C＝84，n(AB)＝C＝6，
所以P(B|A)＝＝＝.
三、解答题
6．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人做学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
[解析] 设事件A表示“选到第一组学生”，
事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，P(A)＝＝.
(2)方法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.
方法二：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
C 组·创新拓展
(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)．
[解析] (1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．
(2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)设从该地区任选一人，年龄位于区间[40,50)为事件A，患这种疾病为事件B，则P(A)＝16%，
由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40,50)的概率为0.023×10＝0.23，
结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.00023，
所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40,50)，则此人患这种疾病的概率为P(B|A)＝＝≈0.001 4.(共44张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养目标 定方向
1．通过具体实例，了解离散型随机变量的概念．
2．理解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列．
1．通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，培养数学抽象素养．
2．借助分布列的求法，培养数学运算素养.
必备知识 探新知
离散型随机变量
知识点 1
(1)随机变量：对于随机试验样本空间_____中的每一个样本点ω，都有_____________________与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为_________或可以
___________的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
(3)离散型随机变量的特征：
①可用数值表示；
②试验之前可以判断其出现的所有值；
③在试验之前不能确定取何值；
④试验结果能一一列出．
Ω
唯一的实数X(ω)
有限个
一一列举
(4)表示：随机变量用大写英文字母表示，如X，Y，Z；随机变量的取值用小写英文字母表示，如x，y，z.
(5)本质：通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化．
练一练：
下列变量，其中不是离散型随机变量的是( )
A．某机场候机室中一天的旅客数量为X
B．某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X
C．某水电站观察到一天中长江的水位为X
D．某立交桥一天内经过的车辆数为X
[解析] ABD中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；C中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故它不是离散型随机变量．
C
离散型随机变量的分布列
知识点 2
(1)定义：设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的____________，简称_________.
(2)表示：表格
(3)性质：①pi_______，i＝1,2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝_____.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
概率分布列
分布列
≥0
1
练一练：
随机变量X的分布列如表所示：
则P(X≤2)＝( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
[解析] 由分布列的性质可得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，可得m＝0.2，
所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3.
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
C
两点分布
知识点 3
X 0 1
P _________ _____
1－p
p
想一想：若随机变量X的分布列为
那么X服从两点分布吗？
提示：不服从两点分布，X的取值只能是0,1.
练一练：
设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于( )
C
[解析] 设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为
ξ 0 1
P p 2p
关键能力 攻重难
(1)(多选)抛掷一枚均匀硬币一次，不能作为随机变量的是( )
A．抛掷硬币的次数
B．出现正面的次数
C．出现正面或反面的次数
D．出现正面和反面的次数之和
题|型|探|究
题型一
随机变量的概念
典例 1
ACD
(2)(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A．从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数
B．一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数
C．某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D．某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
[分析] 判断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能，则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
AB
[解析] (1)抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ 的取值是0,1，故B项为随机变量；而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为抛掷硬币的次数，也不是随机变量．
(2)A项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B项，从10个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正品，2个正品和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
[规律方法] 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的试验结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球
D．至少取到1个红球的概率
[解析] A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．
对点训练
B
题型二
分布列及其性质的应用
典例 2
[规律方法] 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)求参数的取值或范围．
(2)求随机变量在某个范围内取值的概率．
(3)验证分布列是否正确．
(1)设ξ是一个随机变量，其分布列如下表所示：
对点训练
D
(3,4]
题型三
离散型随机变量的分布列
一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．
(1)求X的分布列；
(2)求X的取值不小于4的概率．
典例 3
[解析] (1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，
所以随机变量X的分布列为
[规律方法] 求离散型随机变量的分布列应注意的问题
(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．
(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概型及互斥事件、对立事件的概率等知识．
甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．
(1)求“两球颜色相同”的概率；
(2)设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．
对点训练
题型四
求离散型随机变量η＝f(ξ)的分布列
已知离散型随机变量X的分布列为
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
典例 4
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
[分析] 先由分布列的性质求出m的值，然后求出X取每一个值时对应的2X＋1，|X－1|的值，再分别把2X＋1，|X－1|取相同的值时所对应的概率相加，列出分布列．
[解析] 由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.
由题意列表如下．
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(1)易得2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)易得|X－1|的分布列为
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
[规律方法] 已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f(ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．
已知随机变量ξ的分布列为
对点训练
课堂检测 固双基
1．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝10，表示的试验结果是( )
A．第10次击中目标 B．第10次未击中目标
C．前9次未击中目标 D．第9次击中目标
[解析] 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝10，则说明前9次均未击中目标，第10次击中目标或未击中目标．
C
2．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
[解析] ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．
D
3．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中c＝2b－a，则P(|X|＝1)等于( )
X －1 0 1
P a b c
D
4．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定，每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是______________________________________.
[解析] 若答对0个问题得分－300；若答对1个问题得分－100；若答对两个问题得分100；若问题全答对得分300.
－300，－100，100，300(共44张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7．3.2 离散型随机变量的方差
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养目标 定方向
1．通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
3．掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差．
1．通过离散型随机变量的方差的学习，培养数学抽象素养．
2．借助方差解决实际问题，提升数学运算素养．
必备知识 探新知
离散型随机变量的方差、标准差
知识点
(1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如表所示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋
(xn－E(X))2pn
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的离散程度，方差和标准差越小，随机变量的取值越_______；方差与标准差越大，随机变量的取值越_______.
(3)性质：D(aX＋b)＝_______________.
集中
分散
a2D(X)
想一想：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？
提示：(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化；(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．( )
(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平．( )
(3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．( )
(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )
×
×
√
×
1
3．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )
A．0.25；0.5 B．0.5；0.75
C．0.5；0.25 D．1；0.75
[解析] E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.
C
关键能力 攻重难
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，随机变量X表示所取球的标号．求X的分布列、均值和方差．
[分析] 已知标数字n的有n个，即标数字1的有1个、标数字2的有2个，标数字3的有3个，标数字4的有4个，从而可以明确随机变量X的取值及各个取值对应的概率，进而写出X的分布列、求出X的均值，即可求得X的方差．
题|型|探|究
题型一
定义法求离散型随机变量的方差
典例 1
编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
对点训练
题型二
利用方差的性质求随机变量的方差(标准差)
已知随机变量X的分布列如下：
典例 2
(1)求随机变量X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若随机变量Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
[规律方法] (1)方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较容易计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－(E(X))2不失为一种比较实用的方法．
(2)若变量间存在Y＝aX＋b(a≠0)的关系，应注意均值与方差性质的应用，即利用E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
若随机变量X的分布列为
对点训练
X 0 1
P 0.2 m
已知随机变量Y＝aX＋b(a，b∈R，a>0)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为( )
A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10
C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5
C
[解析] 因为0.2＋m＝1，所以m＝0.8，
所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝0.2×0.8＝0.16.
因为Y＝aX＋b(a，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝4，
所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，解得a＝5，b＝6.
题型三
均值与方差的综合应用
A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
典例 3
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))
[解析] (1)由题设可知Y1和Y2(单位：万元)的分布列分别为
Y1 5 10
P 0.8 0.2
Y2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
[规律方法] 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论．依据方差的几何意义做出结论．
以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：
对点训练
X1(甲得分) 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
欲从甲、乙两运动员中选一人参加奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？
[解析] 由题意，E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，
E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，
所以E(X1)＝E(X2)．
D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，
D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，
所以D(X1)
所以甲运动员的技术更稳定，应选派甲参加．
易|错|警|示
要准确理解随机变量取值的含义
某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．
典例 4
[辨析] 首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了．其次X＝k的含义是前(k－1)把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门．
课堂检测 固双基
1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( )
A．0.6和0.7 B．1.7和0.09
C．0.3和0.7 D．1.7和0.21
[解析] E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.
D
[解析] 随机变量ξ服从两点分布，E(ξ)＝m，所以D(ξ)＝(1－m)2·m＋(0－m)2(1－m)＝m(1－m)．
D
D
4．已知随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则p＝______，D(2X－3)＝______.
4第七章 7.5
A组·基础自测
一、选择题
1．某工厂生产的零件外直径(单位：cm)服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm，则可认为( B )
A．上午生产情况异常，下午生产情况正常
B．上午生产情况正常，下午生产情况异常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
[解析] ∵零件外直径X～N(10,0.04)，∴根据3σ原则，产品外直径在(10－3×0.2,10＋3×0.2)即(9.4，10.6)之外时为异常．∵9.4<9.75<10.6，9.35<9.4，∴可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B.
2．已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，若X落在区间(－2，－1)和(1,2)的概率分别为p1，p2，则( C )
A．p1>p2 B．p1C．p1＝p2 D．不确定
[解析] 易知标准正态分布密度曲线关于直线x＝0对称，因此p1＝p2.
3．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>m－1)＝P(X<2m＋1)，则m＝( B )
A. B．
C． D．2
[解析] ∵P(X>m－1)＝P(X<2m＋1)，∴m－1＋2m＋1＝4，解得m＝，故选B.
4．(多选)已知随机变量X服从正态分布N(3,9)，则下列结论正确的是( AD )
A．X的均值为3
B．X的标准差为9
C．P(X≤0)＝
D．P(0≤X≤3)＝P(3≤X≤6)
[解析] 因为随机变量X服从正态分布N(3,9)，所以均值μ＝3，故A正确，X的标准差为3，故B错误，P(X≤3)＝，故C错误，P(0≤X≤3)＝P(3≤X≤6)，故D正确．
5．某市高三学生有30 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ( 单位：分)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤100)＝0.45，若用分层抽样的方法取200份试卷对成绩进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( B )
A．5份 B．10份
C．15份 D．20份
[解析] 由题意易知P(ξ>100)＝0.5，P(100≤ξ≤120)＝P(80<ξ≤100)＝0.45.∴P(ξ>120)＝P(ξ>100)－P(100<ξ≤120)＝0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的试卷的份数为200×0.05＝10.
二、填空题
6．若随机变量ξ服从正态分布N(9,16)，则P(－3＜ξ≤13)＝_0.84__.
(参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
[解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(9,16)，
∴对称轴方程为x＝μ＝9，σ＝4，
则P(－3＜ξ≤13)＝P(μ－3σ＜ξ≤μ＋σ)
＝[P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)]
≈(0.997 3＋0.682 7)＝0.84.
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为 1 .
[解析] 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义是数学期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.
8．某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在 505 分(已知Φ(0.25)＝0.6)．
[解析] ∵平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，∴X～N(480,1002)．设重点录取分数线可能划在f分，则P(X≥f)＝1－P(X又Φ(0.25)＝0.6，
∴＝0.25，
∴f＝505分．
三、解答题
9．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，其正态曲线在(－∞，80)上为增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72≤X≤88)≈0.682 7.
(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64[解析] (1)因为正态曲线在(－∞，80)上为增函数，在(80，＋∞)上为减函数，
所以正态曲线关于直线x＝80对称，所以μ＝80.
又P(72≤X≤88)≈0.682 7，
结合P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7可知σ＝8.
(2)因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
且P(X<64)＝P(X>96)．
所以P(X<64)≈×(1－0.954 5)＝×0.045 5＝0.022 75，
所以P(X≥64)＝0.977 25.
又P(X≤72)＝[1－P(72≤X≤88)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，
所以P(6472)＝0.977 25－(1－0.158 65)＝0.135 9.
10．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：μm)．
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
(1)计算平均值μ与标准差σ；
(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，测量其内径分别为(单位：μm)86,95,103,109,118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997,0.9543≈0.87,0.9974≈0.99,0.0462≈0.002.
[解析] (1)利用测量数据，即可计算平均值μ与标准差σ.
μ＝＝105.
σ2＝＝36，∴σ＝6.
(2)需要进一步调试．∵Z服从正态分布N(105,36)，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997，
∴内径在(87,123)之外的概率为0.003，而86 (87,123)，根据3σ原则，需要进一步调试．
B组·能力提升
一、选择题
1．(多选)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－(x∈R)，则下列正确的是( ACD )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为10
[解析] ∵其密度函数为f(x)＝e－(x∈R)，
∴该市这次考试的数学平均成绩为80分，该市这次考试的数学标准差为10.
从图形上看，它关于直线x＝80对称，
且50与110也关于直线x＝80对称，
故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同．故选ACD.
2．(多选)设随机变量X服从正态分布N(3,4)，且P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，则实数a的值可为( CD )
A．－1 B．
C．1 D．2
[解析] 因为随机变量X服从正态分布N(3,4)，所以正态曲线关于直线X＝3对称．由P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，得(1－3a) ＋ (a2 ＋7) ＝2×3，解得a＝1或a＝2.
3．某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走的步数(单位：千步)的频率分布直方图如图所示．该单位员工日均健步走的步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25.由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走的步数在2千步至4.5千步的人数约为(附：P(μ－σA．103 B．105
C．107 D．108
[解析] 由频率分布直方图估计日均健步走的步数的平均值μ＝1×0.04＋3×0.08＋5×0.16＋7×0.44＋9×0.16＋11×0.1＋13×0.02＝6.96≈7.
设随机变量日均健步走的步数为X，则X～N(7，6.25)，∴μ＝7，σ＝2.5，则μ－σ＝4.5，μ－2σ＝2，∴P(2≤X≤4.5)＝×(0.954－0.683)＝0.135 5.
∵800×0.135 5≈108，
∴日均健步走的步数在2千步至4.5千步的人数约为108.故选D.
二、填空题
4．研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.1，从中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，假设X服从二项分布，则X的方差为_2.4__.
[解析] ∵x～N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.1，
∴P(90＜x＜110)＝0.5－0.1＝0.4，
∴X～B(10,0.4)，
X的方差为10×0.4×(1－0.4)＝2.4.
5．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X～N(100,100)，且110参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
[解析] 根据X～N(100,100)知，μ＝100，σ＝10，所以P(90≤X≤ 110)＝P(μ－σ≤X≤ μ＋σ)≈0.682 7，P(80≤X≤120)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
由正态曲线的对称性可得
P(110≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
又110所以估计该批次检测的产品数量为5 436÷0.135 9＝40 000.
三、解答题
6．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(不含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少？
(2)若成绩在80分以上(不含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约有多少人？
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤ μ＋3σ)≈0.997 3.
[解析] (1)设参赛学生的竞赛成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.
则P(X>90)＝P(X<50)
＝[1－P(50≤X≤90)]
＝[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]
≈×(1－0.954 5)＝0.022 75，
12÷0.022 75≈527.
因此，此次参赛学生的总人数约为527.
(2)由P(X>80)＝P(X<60)＝[1－P(60≤X≤80)]＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65,527×0.158 65≈84.
因此，此次竞赛成绩为优的学生约有84人．
C组·创新拓展
(多选)若随机变量X，Y的正态密度函数分别为f(x)＝e，g(x)＝e，f(x)，g(x)的图象如图所示，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)(σ1>0，σ2>0)，则下列结论正确的是( AC )
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．P(X>1)＝P
B．σ1<σ2
C．P(X>2)＝0.158 65
D．P(0.7[解析] 由解析式可得，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，故A选项正确；B选项错误，P(X>2)＝[1－P(0A组·基础自测
一、选择题
1．(多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则( ABD )
A．p＝ B．E(ξ)＝
C．D(η)＝1 D．P(η≥2)＝
[解析] ∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，
∴C(1－p)2＋＝1，∴p＝.
∴E(ξ)＝2×＝，D(η)＝3××＝.
P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)＝＋＝.
2．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是( C )
A．C4× B．C5
C．C4×＋C5 D．1－C3×2
[解析] 用X表示该生做对的题数，则X～B，该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形故所求概率为P(X＝4)＋P(X＝5)＝C4×＋C5.
3．已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则p＝( C )
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
[解析] 某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则1－[Cp(1－p)2＋Cp0(1－p)3]＝0.784，解得p＝0.7.
4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( A )
A．[0.4,1) B．(0,0.4]
C．[0.6,1) D．(0,0.6]
[解析] 由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，
∴Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
∴2(1－p)≤3p，∴p≥0.4，又0≤p<1，∴0.4≤p<1.
5．随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝20，则D(2X－1)＝( A )
A．64 B．128
C．256 D．32
[解析] 由于X～B(100，p)，且E(X)＝20，则100p＝20，得p＝0.2，D(X)＝100p(1－p)＝20×(1－0.2)＝16，D(2X－1)＝22D(X)＝64.
二、填空题
6．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0[解析] 所有同学都不通过的概率为(1－p)n，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n.
7．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝1，且ξ～B(8，p)，E(ξ)＝2，则E(η)＝_－1__；D(η)＝ .
[解析] 因为随机变量ξ，η满足ξ＋η＝1，
且ξ～B(8，p)，E(ξ)＝2，
所以E(ξ)＝8p＝2，解得p＝，
所以D(ξ)＝8××＝，
因为ξ＋η＝1，所以η＝1－ξ，
所以E(η)＝1－E(ξ)＝1－2＝－1，
D(η)＝(－1)2D(ξ)＝D(ξ)＝.
8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝ .
[解析] 考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B.
即有P(ξ＝k)＝Ck×5－k，k＝0,1,2,3,4,5，所以P(ξ＝4)＝C4×＝.
三、解答题
9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为，，且每棵大树是否成活互不影响．求：
(1)移栽的4棵大树中至少有1棵成活的概率；
(2)移栽的4棵大树中两种大树各成活1棵的概率．
[解析] 设Ak表示“第k棵甲种大树成活”，k＝1,2；Bl表示“第l棵乙种大树成活”，l＝1,2.则A1，A2，B1，B2相互独立，
且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1棵成活的概率为1－P(1212)＝1－P(1)·P(2)·P(1)·P(2)＝1－22＝.
(2)由n重伯努利试验中事件发生的概率公式，知所求概率为P＝·＝×＝＝.
10．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，双方出示的手势相同时，不分胜负．假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，假设每次游戏的结果互不影响，求X的分布列和方差．
[解析] (1)玩家甲、乙在1次游戏中出示手势的所有可能结果有3×3＝9(种)，其中玩家甲胜玩家乙的结果有3种，所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率为＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C12＝＝，
P(X＝2)＝C21＝＝，
P(X＝3)＝C3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为X～B，
所以X的方差D(X)＝3××＝.
B组·能力提升
一、选择题
1．随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值为( B )
A．64 B．256
C．259 D．320
[解析] 由X～B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256，故选B.
2．(多选)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点个数，则( ABD )
A．该游客至多游览一个景点的概率为
B．P(X＝2)＝
C．P(X＝4)＝
D．E(X)＝
[解析] X的所有可能取值为0,1,2,3,4.则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝×3＋×C××2＝，所以该游客至多游览一个景点的概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝，故A正确；P(X＝2)＝×C××2＋×C×2×＝，故B正确；P(X＝4)＝×3＝，故C错误；又P(X＝3)＝×C×2×＋×C×3＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确．故选ABD.
3．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( B )
A.5 B．C5
C．C3 D．CC5
[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C32＝C5＝C5.
二、填空题
4．箱子中有标号为1,2,3,4,5,6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为 .
[解析] 获奖的概率为P＝＝，记获奖的人数为ξ，ξ～B，所以4人中恰好有3人获奖的概率为P＝C3·＝.
5．对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为 ；在3轮测试中，通过的次数X的期望是 .
[解析] 由题意可得，一轮测试2次都不合格的概率P1＝×＝，故在一轮测试中，通过的概率为1－＝；在3轮测试中，通过的次数X的所有可能取值为0,1,2,3，各次测试合格与否互不影响，通过的次数X服从二项分布，即X～B.E(X)＝3×＝.
三、解答题
6．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的占60%，参加过计算机培训的占75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．
[解析] (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，则事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P( )＝P()·P()＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1.
所以该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布ξ～B(3,0.9)，P(ξ＝k)＝C0.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，
所以ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
C组·创新拓展
A，B两人下棋，每局均无和棋且A获胜的概率为，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2 700元奖金．
(1)分别求A以3∶0获胜、以3∶1获胜的概率；
(2)若前两局双方战成1∶1后因为其他要事而中止比赛，问，怎么分奖金才公平？
[解析] (1)A以3∶0获胜是指A连胜三局，
概率为P＝3＝，A以3∶1获胜是指A前3局2胜1负，第4局A胜，概率为P＝C×2××＝.
(2)设前两局双方战成1∶1后A胜，B胜的事件分别为E，F，
若A胜，则可能连胜3,4局，或3,4局仅胜1场，第5局胜，故概率P(E)＝×＋C×××＝，
因为两人比赛没有和局，A获胜的概率为，则B获胜的概率为，若B胜，则可能连胜3,4局，或3,4局仅胜1场，第5局胜，故概率为P(F)＝×＋C×××＝，
所以奖金应分给A：2 700×＝2 000(元)，
分给B：2 700×＝700(元).第七章 7.3 7.3.1
A组·基础自测
一、选择题
1．(多选)下列说法不正确的是( ABD )
A．随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化
B．随机变量的均值反映样本的平均水平
C．若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4
D．随机变量X的均值E(X)＝
[解析] A错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．B错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．C正确，由均值的性质可知．D错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
2．已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由分布列的性质得＋＋m＝1，
所以m＝，
所以E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－.
方法一：E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－a＋3＝.所以a＝2.
方法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：
η －a＋3 3 a＋3
P
E(η)＝(－a＋3)×＋3×＋(a＋3)×＝，
所以a＝2.
3．春节期间，发微信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给他发微信拜年的概率为1,0.8,0.5,0的人数分别为8,15,14,3，则通常情况下，小李应收到同事的拜年微信数为( A )
A．27 B．37
C．38 D．8
[解析] 通常情况下，小李应收到同事拜年微信的条数为1×8＋0.8×15＋0.5×14＋0×3＝27.
4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：
ξ 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
η 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
据此判定( A )
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
[解析] E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
因为E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好．
5．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表，则m的值为( A )
X 1 2 3 4
P m n
A. B．
C． D．
[解析] 由Y＝12X＋7，得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而得E(X)＝，所以E(X)＝1×＋2m＋3n＋4×＝，即2m＋3n＝，m＋n＝1－－＝，所以解得
二、填空题
6．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知X的期望E(X)＝8.9，则y的值为_0.4__.
[解析] ∵x＋y＝0.6,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，
解得
7．在“学习强国”APP中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分．如果甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分期望为 .
[解析] 首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分．甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，甲作答两局的得分X的可能取值为2,3,4,5，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝，
P(X＝4)＝×＝，
P(X＝5)＝×＝，
∴甲作答两局的得分期望为：
E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
故答案为.
8．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X 0 1 2
P －p p
则E(X)的最大值为 .
[解析] 由表可得从而得p∈，期望值E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
三、解答题
9．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[解析] (1)X的所有可能取值为6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
10．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
[解析] (1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛
甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8
乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为P1＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为P2＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44，
所以甲学校获得冠军的概率为P＝P1＋P2＝0.6.
(2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30，其概率分别为P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，
则X的分布列：
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
X的期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
B组·能力提升
一、选择题
1．现有一项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为( A )
A．1.18 B．3.55
C．1.23 D．2.38
[解析] 因为X的所有可能取值为1.2,1.18，1.17，P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，所以X的概率分布列为
X 1.2 1.18 1.17
P
则E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
2．(多选)离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则( BC )
A．a＝10 B．a＝
C．b＝0 D．b＝1
[解析] 易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
3．(多选)(2023·浙江丽水高二月考)设0ξ 0 1 2
P p－p2 p2 1－p
A.E(ξ)随着p的增大而增大
B．E(ξ)随着p的增大而减小
C．P(ξ＝0)D．P(ξ＝2)的值最大
[解析] 由题意E(ξ)＝p2＋2(1－p)＝(p－1)2＋1，由于0，D错，故选BC.
二、填空题
4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表：
t 1 2 3
P(ξ＝t) ？ ！ ？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝ 2 .
[解析] 设“？”处为x，“！”处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，所以期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2.
5．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝ ；E(ξ)＝ 1 .
[解析] 由题知，随机取出红球的概率为，随机取出绿球的概率为，随机取出黄球的概率为，ξ的取值情况共有0,1,2，P(ξ＝0)＝＋×＝，P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＋××＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
三、解答题
6．在一次购物抽奖活动中，已知某10张奖券中有6张有奖，其余4张没有奖，且有奖的6张奖券每张均可获得价值10元的奖品．某顾客从此10张奖券中任意抽取3张．
(1)求该顾客中奖的概率；
(2)若约定抽取的3张奖券都有奖时，还要另奖价值6元的奖品，求该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列和均值．
[解析] (1)设顾客从此10张奖券中任意抽取3张不中奖的事件为A，
则P(A)＝＝＝，
所以，该顾客中奖的概率为1－P(A)＝1－＝.
(2)随机变量X的所有可能值是0,10,20,36.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，
P(X＝36)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 10 20 36
P
E(X)＝0×＋10×＋20×＋36×＝19.
C组·创新拓展
某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据下面的盈利表进行决策：
盈利状况 方案盈利 (万元)概率 购买股票 投资房地产
巨大成功 0.3 10 8
中等成功 0.5 3 4
失败 0.2 －5 －4
那么应选择的决策方案是_投资房地产__.
[解析] 设购买股票的盈利为X，投资房地产的盈利为Y，
则购买股票的盈利的均值为E(X)＝10×0.3＋3×0.5＋(－5)×0.2＝3＋1.5－1＝3.5.
投资房地产的盈利的均值为E(Y)＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6.
因为E(Y)>E(X)，所以投资房地产的平均盈利高，即应选择投资房地产．(共39张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养目标 定方向
1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．
2．通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征．
3．了解正态分布的均值、方差及其含义．
4．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．
1．通过学习正态分布，培养数学抽象和直观想象素养．
2．借助“3σ”原则解题，提升数学运算素养．
必备知识 探新知
正态分布
知识点 1
(1)正态密度函数，刻画随机误差的函数f(x)＝________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．
对任意的x∈R，f(x)＞0，它的图象在x轴的上方，x轴和曲线之间的区域为面积_____，我们称f(x)为正态密度函数．
(2)正态密度曲线：正态密度函数的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
1
(3)正态分布：①定义：若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布；
②记作：X～N(μ，σ2)；
③特例：当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从___________分布．
想一想：若X～N(μ，σ2)，怎样表示上图中阴影A，B的面积？
提示：阴影A的面积P(X≤x)；阴影B的面积P(a≤X≤b)．
标准正态
练一练：
(多选)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有( )
A．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交
B．曲线关于直线x＝μ对称
C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状
D．曲线与x轴之间的面积为1
[解析] 正态密度曲线与x轴永远不相交，A错，其余均正确．
BCD
正态曲线的特点
知识点 2
(1)曲线是单峰的，它关于直线_________对称．
(2)曲线在x＝μ处达到峰值______.
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近于_______.
想一想：μ，σ取值不同对正态曲线有何影响？
提示：当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移；当μ取定值时，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦小”，表示随机变量x的分布比较集中，当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量x分布比较分散．
x＝μ
x轴
[解析] 因为正态曲线函数f(x)关于直线x＝1对称，故选D.
D
X～N(μ，σ2)在区间[μ－kσ，μ＋kσ](k∈N*)上的概率
知识点 3
(1)概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________________.
(2)3σ原则：通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值．
0.997 3
练一练：
关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件
D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件
[解析] 因为P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，
所以P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.997 3＝0.002 7.
所以随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件．
D
关键能力 攻重难
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
C．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
题|型|探|究
题型一
正态分布和正态曲线的性质
典例 1
D
(2)如图是一条正态曲线，试根据该图象写出相应正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
[规律方法] 由正态曲线确定均值与方差的方法
正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形状与位置．
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
对点训练
C
A．曲线y＝f(x)与x轴围成的几何图形的面积小于1
B．函数f(x)的图象关于直线x＝μ对称
C．P(X>μ－σ)＝2P(μD．函数F(x)＝P(X>x)在R上单调递减
BCD
[解析] (1)由正态曲线关于直线x＝μ对称，且σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”，知μ1<μ2，σ1<σ2，故A、B均不正确；由P(X≤a)为x轴、直线x＝a及x≤a时的曲线所围成的面积知C正确，D错误．故选C.
题型二
利用正态分布的对称性求概率
设X～N(10,1)．
(1)求证：P(1(2)若P(X≤2)＝a，求P(10[解析] (1)证明：∵X～N(10,1)，
∴正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称，
即P(1典例 2
[规律方法] 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)熟记P(μ－σ(3)注意概率值的求解转化：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
③若b<μ，
特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称．
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
(2)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)等于( )
A．a B．1－a
C．2a D．1－2a
对点训练
C
B
[解析] (1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.
(2)对称轴x＝2，
∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a.
题型三
实际问题中的正态分布
(1)数学考试试卷满分是150分，设在一次考试中，某班学生的分数X近似服从正态分布，且均值为110，标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率；
(2)某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
[分析] (3)判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．
典例 3
[解析] (1)由题意可知，分数X～N(110,202)，μ＝110，σ＝20，
P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)，
因为P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)
＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，
所以P(X≤μ－σ)＝0.158 5，
所以P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.158 5＝0.841 5.
(2)由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4，0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.002 7.而5.7 (2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．
[规律方法] 解答正态分布的实际应用题的关注点
(1)方法：转化法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
(2)理论基础：①正态曲线的对称性；②曲线与x轴之间的面积为1；③P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值．
(1)已知某批零件的长度(单位：毫米)服从正态分布N(100,32)，从中随机抽取一件，其长度落在区间(103,106)内的概率为( )
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
(2)现有1 000名学生参加数学测试，测试成绩X(满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，已知120分及以上的人数为160人，那么通过以上信息推测这次数学成绩140分以上者人数约为( )
A．20 B．25
C．30 D．40
对点训练
B
B
课堂检测 固双基
[解析] 正态曲线函数的图象关于直线x＝μ>0对称，故选D.
D
B
3．某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
D
[解析] 对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D.
4．(2022·新高考Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝___________.
[解析] 因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(20.14(共45张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.2 超几何分布
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养目标 定方向
1．通过具体实例，了解超几何分布及其均值，能够判断随机变量是否服从超几何分布．
2．能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决简单的实际问题，会求服从超几何分布的随机变量的均值与方差．
1．借助对超几何分布概念的理解，培养数学抽象素养．
2．通过对超几何分布的应用，提升数学建模与数学运算素养.
必备知识 探新知
超几何分布
知识点
想一想：不放回抽取和有放回抽取有何不同？
提示：抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个；概率模型不同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项分布．
练一练：
1．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝______.
2．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，
则E(X)＝______.
关键能力 攻重难
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
题|型|探|究
题型一
超几何分布的概率及其分布列
典例 1
[规律方法] 求超几何分布的分布列的步骤：
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列．
超几何分布的关注点：
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，其实质是古典概型．
(2)超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体数的分布列．
袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
[解析] (1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.
对点训练
题型二
二项分布与超几何分布
设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个零件，共取3次，用X表示取出的3个零件中次品的个数．
(1)若每次取出后不放回，求X的分布列；
(2)若每次取出后重新放回，求X的分布列．
[分析] (1)每次取出后不放回为超几何分布；
(2)每次取出后重新放回，可看作n重伯努利试验，即为二项分布．
典例 2
[规律方法] 区别二项分布与超几何分布的方法
一般地，超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型则是“独立重复试验”，对于抽样，则是有放回抽样．当产品的数量充分大，且抽取数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布，解题时应从本质上给予区分，切忌混淆．
瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某地区为了对12岁儿童的瞬时记忆能力进行调查，随机抽取了该地区40名12岁的儿童，其调查结果如下表所示，例如表中听觉记忆能力为中等且视觉记忆能力偏高的人数为3.
对点训练
视觉 听觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常
听觉 记忆 能力 偏低 0 7 5 1
中等 1 8 3 b
偏高 2 a 0 1
超常 0 2 1 1
题型三
超几何分布的综合应用
目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境．垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失．某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%.
典例 3
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
A小区 B小区 C小区 D小区 E小区
废纸投放量(吨) 5 5.1 5.2 4.8 4.9
塑料品投放量(吨) 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．
[规律方法] 超几何分布的应用
(1)超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等．
(2)这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等．
(3)在实际问题中需通过关注的实际对象来确定M的值．
(4)注意超几何分布问题涉及三个参数的特征和顺序．如产品问题中，H(n，M，N)的意义是“超几何分布(取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数)”．
某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如表：
对点训练
摸出的5个球中带“奖”字球的个数 奖品
0 无
1 无
2 肥皂一块
(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率；
(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率．
摸出的5个球中带“奖”字球的个数 奖品
3 洗衣粉一袋
4 雨伞一把
5 自行车一辆
易|错|警|示
对超几何分布的概念理解不透致错
盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X的分布列．
典例 4
[点评] 本题易错认为X～H(3,3,12)，得到取出的次品数X.
课堂检测 固双基
1．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A．N＝10，M＝4，n＝6
B．N＝10，M＝6，n＝4
C．N＝14，M＝10，n＝4
D．N＝14，M＝4，n＝10
[解析] 根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6.
A
D
B
4．现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝______，E(ξ)＝______.(共33张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.2 全概率公式
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养目标 定方向
1．了解全概率公式和贝叶斯公式的概念．
2．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率，*了解贝叶斯公式.
3．能利用全概率公式解决生活中一些简单的实际问题．
1．通过对全概率公式和贝叶斯公式概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助全概率公式和贝叶斯公式求解概率，提升数学运算和逻辑推理素养.
必备知识 探新知
全概率公式
知识点 1
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪… ∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝
___________________.
提醒：全概率公式可借助图形来理解：
想一想：在全概率公式的推导过程中用到了哪些概率知识？
提示：互斥事件，互斥事件概率的加法公式．
0.82
贝叶斯公式
知识点 2
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝
_______________＝_______________________，i＝1,2，…，n.
练一练：
设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A．0.8 B．0.5
C．0.67 D．0.875
A
关键能力 攻重难
假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示.
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．
题|型|探|究
题型一
全概率公式的应用
典例 1
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 95% 90% 70%
[解析] 用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，
且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%.
因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.
[规律方法] 关于全概率公式
(2)意义：如果把Bi看成导致事件A发生的各种可能“原因”，那么事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的概率的加权平均值．
设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱，3箱，2箱，三厂产品的废品率依次为0.1,0.2,0.3.从这10箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率．
对点训练
题型二
贝叶斯公式的应用
若一位朋友从外地来看望小文，已知该朋友坐火车、轮船、汽车、飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1,0.4，且他坐火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别是0.25，0.3,0.1,0.若该朋友迟到了，推测他坐哪种交通工具的可能性大．
典例 2
[解析] 设A1＝“坐火车来”，A2＝“坐轮船来”，A3＝“坐汽车来”，A4＝“坐飞机来”，B＝“该朋友迟到了”，则P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1，P(A4)＝0.4，P(B|A1)＝0.25，P(B|A2)＝0.3，P(B|A3)＝0.1，P(B|A4)＝0.
由贝叶斯公式分别可以算得
比较以上四个概率值，可见他坐火车和轮船的概率较大，且坐火车的可能性最大，坐汽车的可能性很小，且不可能是坐飞机过来的．
[规律方法] 关于贝叶斯公式的应用
(1)若随机试验可以看成分两个阶段进行，如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率．
(2)利用贝叶斯公式求概率的步骤
第二步：计算P(ABi)，可利用P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)求解；
用血清诊断肝癌，临床实践表明，患肝癌的病人中有95%试验呈阳性，也有2%的非肝癌患者化验呈阳性．若将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率0.2%，现某人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌的概率．
对点训练
[解析] 设A：被化验者确患肝癌症，B：被化验者结果呈阳性，则P(B|A)＝0.95，
易|错|警|示
概率计算公式理解不清而致误
(多选)若0典例 3
BCD
[错解] BC 由条件概率的计算公式知A、D错误，B、C显然正确．
[辨析] 记忆公式时要抓住公式的结构特性，同时还要正确理解各个随机事件的含义．
[正解] 由条件概率的计算公式知A错误；B，C显然正确；D选项中，因为P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)，故D正确．
课堂检测 固双基
A．0.08 B．0.8
C．0.6 D．0.5
C
2．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为( )
A．0.6 B．0.85
C．0.868 D．0.88
C
[解析] 设B：从仓库中随机提出的一台是合格品，Ai提出的一台是第i车间生产的，i＝1,2，
则有B＝A1B∪A2B，由题意，
由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6× 0.88＝0.868.
3．某校高二年级组织春游，已知该校1～8班每班30人，9～20班每班40人，且1～8班前往“庐山”景区，9～20班前往“武功山”景区．若游客对“庐山”景区的满意度为80%，对“武功山”景区的满意度为75%，现从该校随机抽取一名高二学生，则对所游景区感到满意的概率为( )
D第七章 7.1 7.1.2
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.若A＝BA＋CA，其中BA，CA互斥，则P(A)＝( C )
A．0.72 B．0.96
C．0.86 D．0.84
[解析] 由全概率公式得P(A)＝P(BA)＋P(CA)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.86.
2．已知甲在上班途中要经过两个路口，第一个路口遇见红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( C )
A．0.6 B．0.7
C．0.8 D．0.9
[解析] 设事件A表示“甲在第一个路口遇到红灯”，事件B表示“甲在第二个路口遇到红灯”．
由题意得P(AB)＝0.4，P(A)＝0.5，
所以P(B|A)＝＝＝0.8.
3．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 设Ai：取到第i号袋子，i＝1,2,3,4,5.
B：取到白球，
由贝叶斯公式得
P(A1|B)＝＝＝.
4．某大学决定从甲、乙两个学院分别抽取100人、60人参加演出活动，其中甲学院中女生占，乙学院中女生占.求从中抽取一人恰好是女生的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 用A和分别表示取一人是来自甲学院与乙学院，B表示抽取一人恰好是女生，则根据已知有P(A)＝＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝＋＝.
5．(多选)已知有两副相同的扑克牌，分别有数字2,3,4,5,6,7,8,9,10的36张，有字母J，Q，K，A的16张，大小王2张，现将两幅扑克牌分别打乱，从其中一副扑克牌中随机取一张，放入另一副扑克牌中，分别以A1，A2，A3表示从此扑克牌抽取的是“数字”“字母”和“大小王”，将其打乱，然后随机取一张，以B表示最后抽取的为数字，则下列结论正确的有( ABD )
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1是互斥事件
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
[解析] 由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝.事件B与事件A1不是互斥事件．
二、填空题
6．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人、二级射手8人、三级射手7人、四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别为0.9，0.7,0.5,0.2，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为_0.645__.
[解析] 设任选一名射手，分别为一、二、三、四级射手的事件分别为A1，A2，A3，A4，
设一、二、三、四级射手进入比赛的事件分别为B1，B2，B3，B4，
P(A1)＝＝0.2，P(A2)＝＝0.4，
P(A3)＝＝0.35，P(A4)＝＝0.05，
P(B1|A1)＝0.9，P(B2|A2)＝0.7，P(B3|A3)＝0.5，
P(B4|A4)＝0.2.
则由全概率公式得所求的概率为
P(B)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＋P(A3)P(B3|A3)＋P(A4)P(B4|A4)
＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.35×0.5＋0.05×0.2
＝0.18＋0.28＋0.175＋0.01＝0.645.
7．(2023·山东聊城)某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是 0.175 .
[解析] 设B1＝“他是谨慎的”，B2＝“他是一般的”，B3＝“他是冒失的”，则B1，B2，B3构成了Ω的一个样本空间，设事件A＝“出事故”，由全概率公式得，
P(A)＝(Bi)P(A|Bi)(i＝1,2,3)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.
8．有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球．这6个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为 .若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率为 .
[解析] 设A1＝从甲袋放入乙袋的是白球；A2＝从甲袋放入乙袋的是红球；B＝从乙袋中任取一球是红球；P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝×＋×＝，
P(A1|B)＝＝＝.
三、解答题
9．某药店购进一批消毒液，其品牌、数量和优质率如下表：
品牌 甲 乙 丙
数量(瓶) 240 120 40
优质率 95% 90% 85%
现从该药店任意买一瓶消毒液，求买到优质品的概率．
[解析] 设事件A1，A2，A3分别表示买到的消毒液为甲品牌、乙品牌、丙品牌；事件B表示买到优质品．
由题意得P(A1)＝＝0.6，P(A2)＝＝0.3，P(A3)＝＝0.1，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.85.
由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.6×0.95＋0.3×0.9＋0.1×0.85＝0.925.
故从该药店任意买一瓶消毒液，买到优质品的概率为0.925.
10．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率．
[解析] 设A1＝从甲盒取出2个红球；
A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球，1个红球；B＝从乙盒取出2个红球；
则A1，A2，A3两两互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω，所以B＝(A1∪A2∪A3)B＝A1B∪A2B∪A3B，
P(B)＝P(A1B∪A2B∪A3B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)
＝×＋×＋×＝.
B 组·能力提升
一、选择题
1．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，是合格品的概率为( A )
A．0.95 B．0.75
C．0.05 D．0.35
[解析] 令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1,2.此时，全部的零件构成样本空间Ω，A1，A2构成Ω的一个部分．由全概率公式得：
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95.
2．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱， 其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．
由全概率公式得P(A)＝(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝.
P(B1|A)＝＝＝÷＝.故选B.
3．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%.则( ABC )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
[解析] P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，
由全概率公式得P(S)＝P(Di)P(S|Di)
＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02.
由贝叶斯公式得：
P(D1|S)＝＝＝0.4，
P(D2|S)＝＝＝0.45，
P(D3|S)＝＝＝0.15.
二、填空题
4．某乡镇有甲、乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去甲超市的概率为0.4，若第一次去乙超市，则第二次去甲超市的概率为0.6，则老王第二次去甲超市购物的概率为_0.5__.
[解析] 设A1为“第一次去甲超市购物”，B1为“第一次去乙超市购物”，A2为“第二次去甲超市购物”，则Ω＝A1∪B1且A1与B1互斥，得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0,4，P(A2|B1)＝0.6.
由全概率公式得
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)
＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
∴老王第二次去甲超市购物的概率为0.5.
5．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的，且已知接收信号为0，则发送的信号是1的概率是 .
[解析] 设A表示发送信号为0，B表示接收信号为0，则表示的发送信号为1，表示接收信号为1，
所以P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.05，
由题意知，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.475，
所以P(|B)＝＝.
三、解答题
6．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而正确接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
[解析] 设Ai＝“第i次接通电话”，i＝1,2,3，B＝“拨号不超过3次接通电话”，则事件B的表达式为B＝A1∪1A2∪12A3.利用概率的加法公式和乘法公式得，P(B)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12)＝＋×＋××＝.若已知最后一位数字是奇数，则P(B)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12)＝＋×＋××＝.
C 组·创新拓展
通信中，等可能地传送字符AAAA、BBBB和CCCC三者之一．由于通信中存在干扰，正确接收字母的概率为0.6，接收其他两个字母的概率均为0.2.假定前后字母是否被扭曲互不影响．
(1)求收到字符ABCA的概率；
*(2)若收到字符ABCA，求被传送字符为AAAA的概率是多大？
[解析] 记A4表示事件“发AAAA”，B4表示事件“发BBBB”，C4表示事件“发CCCC”，D表示事件“收ABCA”，
由题意知P(A4)＝P(B4)＝P(C4)＝且P(D|A4)＝0.62×0.22＝0.014 4，
P(D|B4)＝0.6×0.23＝0.004 8＝P(D|C4)．
(1)由全概率公式得，P(D)＝P(A4)P(D|A4)＋P(B4)P(D|B4)＋P(C4)·P(D|C4)＝0.008.
(2)由贝叶斯公式得，P(A4|D)＝＝0.6.第七章 7.3 7.3.2
A组·基础自测
一、选择题
1．若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝0.7，则D(X)的值为( C )
A．0.7 B．0.3
C．0.21 D．0.28
[解析] 两点分布D(X)＝p(1－p)＝0.21.
2．(多选)已知0ξ －1 0 1
P －a a
当a增大时，( AD )
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小
C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大
[解析] 0∴当a增大时，E(ξ)增大；
D(ξ)＝2×＋2×＋2×a＝－a2＋a＋＝－2＋，
∵03．已知随机变量X的取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝( B )
A. B．
C． D．1
[解析] 设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝－a，从而随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a －a
所以E(X)＝0×＋1×a＋2×＝－a，因为E(X)＝1，所以－a＝1，所以a＝，故D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，故选B.
4．(多选)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示，
表1 股票甲收益的分布列
收益X/元 －1 0 2
P 0.1 0.3 0.6
表2 股票乙收益的分布列
收益Y/元 0 1 2
P 0.3 0.4 0.3
则下列结论中正确的是( BC )
A．投资股票甲的期望收益较小
B．投资股票乙的期望收益较小
C．投资股票甲比投资股票乙的风险高
D．投资股票乙比投资股票甲的风险高
[解析] 甲收益的期望E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，
方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，
乙收益的期望E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，
方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，
所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，
则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．
5．已知离散型随机变量ξ1，ξ2的分布列为
ξ1 1 3 5
P a b
ξ2 1 2 4 5
P b a
则下列说法一定正确的是( D )
A．E(ξ1)>E(ξ2) B．E(ξ1)C．D(ξ1)>D(ξ2) D．D(ξ1)[解析] 由题可得a＋b＝，E(ξ1)＝1×a＋3×＋5×b＝a＋5b＋＝4－4a＝2＋4b，
E(ξ2)＝1×b＋2×＋4×＋5×a＝5a＋b＋＝4a＋2＝4－4b，
则E(ξ1)和E(ξ2)的大小不确定．
又因为D(ξ1)＝(1－2－4b)2a＋(3－2－4b)2×＋(5－2－4b)2×b＝－16b2＋8b＋1，
D(ξ2)＝(1－4＋4b)2·b＋(2－4＋4b)2×＋(4－4＋4b)2×＋(5－4＋4b)2×a＝－16b2＋8b＋.则D(ξ1)二、填空题
6．随机变量ξ的分布列是
ξ 2 4
P a b
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝ .
[解析] 由分布列的性质可得，a＋b＝1，①
又因为E(ξ)＝，所以2a＋4b＝，②
联立①②，解得a＝，b＝，
所以D(ξ)＝×2＋×2＝.
7．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝ .
[解析] 设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
8．已知随机变量ξ的分布列如表，且满足E(ξ)＝1，则a＝ ；又η＝3ξ－1，则D(η)＝ .
ξ 0 1 2
P a b
[解析] 根据ξ的分布列得：＋a＋b＝1，①
∵E(ξ)＝1，∴0×＋1×a＋2×b＝1，②
由①②联立得a＝，b＝，
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
∵η＝3ξ－1，∴D(η)＝32D(ξ)＝.
三、解答题
9．已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
(1)求η的方差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
[解析] (1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384.
(2)∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1 536.
10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：
环数 5 6 7 8 9 10
次数 1 1 1 1 2 4
乙射击的概率分布如下表：
环数 7 8 9 10
概率 0.2 0.3 p 0.1
(1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；
(2)比较甲、乙射击水平的优劣．
[解析] (1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4.
设甲，乙击中的环数分别为X1，X2，则
P(X1＝8)＝＝0.1，P(X1＝9)＝＝0.2，
P(X1＝10)＝＝0.4，
P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，
所以甲，乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：
P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.
(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，
乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，
甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，
乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.
因为D(X1)>D(X2)，所以乙比甲技术稳定．
B组·能力提升
一、选择题
1．(多选)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a
则下列式子正确的是( ABC )
A．P(X＝0)＝ B．a＝
C．E(X)＝－ D．D(X)＝
[解析] 由分布列可知，P(X＝0)＝，a＝1－－＝，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
2．随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3
P 0.5 x y
若E(X)＝，则D(X)等于( D )
A. B．
C． D．
[解析] 由题意知，
∴
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
3．(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是( ABC )
A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋1)＝7
C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6
[解析] 因为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，
所以P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，所以＋＋＝1，解得a＝1，P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝，故A正确；因为E(ξ)＝1×＋2×＋5×＝2，所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，故B正确；D(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C正确；D(3ξ＋1)＝32D(ξ)＝9×2＝18，故D错误．
二、填空题
4．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为_0.4__0.1__0.5__.
[解析] 由题意知，－p1＋p3＝0.1，
1．21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.
又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.
5．变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a＋c＝2b，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是 .
[解析] 由条件可知2b＝a＋c，又a＋b＋c＝3b＝1，
∴b＝，a＋c＝.
又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，故ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P
∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
三、解答题
6．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列、期望和方差．
[解析] (1)“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
∵A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，P()＝(1－0.2)3＝0.512，
∴P(A)＝1－P()＝1－0.512＝0.488.
(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件的概率，P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.2，
P(η＝300)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＋0.3＝0.6，
P(η＝400)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝ 0.1＋0.1＝0.2，
故η的分布列为
η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴期望E(η)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴方差D(η)＝(200－300)2×0.2＋(300－300)2×0.6＋(400－300)2×0.2＝4 000.
C组·创新拓展
(多选)随机变量ξ有四个不同的取值，且其分布列如下：
ξ 2sin αsin β 3cos αsin β 3sin αcos β cos αcos β
P t
则E(ξ)的取值可能为( AB )
A. B．1
C．2 D．
[解析] 依题意，t＝1－3×＝，所以E(ξ)＝(2sin αsin β＋3cos αsin β＋3sin αcos β)＋cos αcos β＝(cos αsin β＋sin αcos β)＋(sin αsin β＋cos αcos β)＝sin(α＋β)＋cos(α－β)，所以当α＋β＝＋2k1π，α－β＝2k2π(k1，k2∈Z)时，E(ξ)取得最大值＋＝1.则E(ξ)≤1，故选AB.(共44张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养目标 定方向
1．结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．
2．结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系．
3．结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．
4．能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
1．通过条件概率的学习，提升数学抽象素养．
2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养.
必备知识 探新知
条件概率
知识点 1
(1)定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称
________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)特例：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)．
想一想：P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？
提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同．
概率的乘法公式
知识点 2
对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)．
B
[解析] 设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.
条件概率的性质
知识点 3
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
练一练：
(多选)下列说法正确的是( )
A．P(B|A)≥P(AB)
C．0D．P(A|A)＝0
AB
事件的相互独立性
知识点 4
(1)事件A与事件B相互独立：对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
练一练：
一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
[解析] 事件A1是否发生对事件A2发生的概率没有影响，故A1与A2是相互独立事件．
A
关键能力 攻重难
现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
题|型|探|究
题型一
利用定义求条件概率
典例 1
[解析] 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
[规律方法] 求条件概率P(B|A)的步骤
方法一(定义法)：
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(AB)；
方法二(基本事件法)：
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)对于古典概型，分别计算A事件包含的样本点个数，AB事件包含的样本点个数；
盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；
F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
对点训练
题型二
概率的乘法公式
(1)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)＝___________；
(2)某市场供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率为80%，则买到一个甲厂的合格灯泡的概率为_____________.
典例 2
0.75
0.665
[解析] (1)∵P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，
∴ P (AB)＝ P (B) · P (A|B) ＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记事件A为“买到甲厂产品”，事件B为“买到合格产品”，则P(A)＝70%，P(B|A)＝95%，所以P(AB)＝P(A) ·P(B|A)＝70%×95%＝0.665.
[规律方法] 应用乘法公式的关注点
1．功能：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率，求事件A与B同时发生的概率．
2．推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)．
甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为___________.
[解析] 设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下A发生的条件概率．
对点训练
0.75
题型三
条件概率性的应用
在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次取两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．
典例 3
[规律方法] 1.利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
对点训练
[解析] 设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C.
易|错|警|示
混淆条件概率P(A|B)与积事件的概率P(AB)
一个盒子中有6支铅笔，4支钢笔，任取两次，每次取一支，第一次取后不放回，若已知第一支是铅笔，则第二支也是铅笔的概
率为______.
典例 4
[辨析] 导致上述错误解法的原因：
(1)该事件不是相互独立事件，不能套用概率乘法公式；
(2)该试验为条件概率模型，应用条件概率公式计算；
(3)要正确理解条件概率公式的意义，P(AB)为事件A，B同时发生的概率，P(A|B)表示在B发生的前提下，A发生的概率．
[正解] 设Ai(i＝1,2)表示“第i支是铅笔”．
课堂检测 固双基
D
A
3．已知甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点互不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )
C
4．某人一周值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六值班的概率为______.
[解析] 设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，(共49张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
7．4.1 二项分布
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养目标 定方向
1．通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念．
2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．
1．通过理解n重伯努利试验的概念，培养数学抽象素养．
2．借助二项分布的有关计算及应用，提升数学运算和逻辑推理素养.
必备知识 探新知
n重伯努利试验
知识点 1
(1)伯努利试验：我们把只包含_______可能结果的试验叫做伯努利试验．
(2)定义：我们将一个伯努利试验独立地_______进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(3)特征：①同一个伯努利试验重复做n次；
②各次试验的结果相互独立．
两个
重复
想一想：n重伯努利试验必须具备哪些条件？
提示：(1)每次试验是在同样条件下进行的．
(2)各次试验中的事件互不影响．
(3)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生．
练一练：
下列事件：
①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；
②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
③甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；
④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标．
是n重伯努利试验的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
D
[解析] ①、③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是n重伯努利试验．
二项分布
知识点 2
(1)定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝___________________________，k＝0,1,2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布．
(2)记法：X～B(n，p)．
1
想一想：
二项分布与两点分布有什么关系？
提示：(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．
(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布
是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
B
二项分布的均值与方差
知识点 3
如果，X～B(n，p)，那么E(X)＝_______，D(X)＝_______________.
np
np(1－p)
关键能力 攻重难
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰有2次击中目标且乙恰有1次击中目标的概率；
(3)求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率；
题|型|探|究
题型一
n重伯努利试验的概率
典例 1
(4)求两人各射击2次，甲未击中目标且乙击中目标2次的概率；
(5)假设某人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：甲恰好射击5次后被终止射击的概率是多少？
[规律方法] (1)n重伯努利试验求概率的步骤：
(2)“至多”“至少”问题往往考虑逆向思维法，利用对立事件求解．
对点训练
题型二
二项分布
[分析] (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值，再求η取各值的概率．
典例 2
对点训练
题型三
二项分布的均值与方差
典例 3
对点训练
审题不清致误
9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．
易|错|警|示
典例 4
[辨析] 每粒种子发芽的概率与每坑不需要补种的概率混淆致误．
[点评] 审题不细是解题致误的主要原因之一，审题时要认真分析，弄清条件与结论，发掘一切可用的解题信息.
课堂检测 固双基
1．(多选)下列随机变量X服从二项分布的有( )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
ACD
A
C
10第七章 7.4 7.4.2
A组·基础自测
一、选择题
1．(多选)关于超几何分布，下列说法正确的是( ACD )
A．超几何分布的模型是不放回抽样
B．超几何分布的总体里可以有两类或三类物品
C．超几何分布中的参数是N，M，n
D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
[解析] 由超几何分布的定义可知A、C、D均正确，因超几何分布的总体里只有两类物品，故选项B错误．故选ACD.
2．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( D )
A．1－ B．
C. D．
[解析] 由超几何分布概率公式可知，所求概率为.
3．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣，他收集了4枚凤纹徽章，5枚龙纹徽章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为( B )
A. B．
C． D．
[解析] 从9枚纹样徽章中选择3枚，所有可能事件的数目为C，满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为C，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，所以P＝1－＝1－＝.
4．(2023·江西新余高二期末)有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝( B )
A. B．
C． D．7
[解析] 根据题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.故选B.
5．(多选)已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，则这10件产品的次品数可能为( AD )
A．8 B．6
C．4 D．2
[解析] 设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或x＝8.
二、填空题
6．设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为 .
[解析] 从袋中10个球中任取4个球，共有C种取法，则其中恰有3个红球的取法为CC.
∴从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率P＝＝.
7．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分．设得分为随机变量ξ，则概率P(ξ≥8)＝ .
[解析] 由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝.
8．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽一只，设抽取次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝_3__.
[解析] 方法一：抽取次品数ξ满足超几何分布：P(ξ＝k)＝，
由题意知，ξ＝0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴取得次品数ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
故E(5ξ＋1)＝5×E(ξ)＋1＝3.
方法二：由超几何分布的均值公式可知E(ξ)＝n·＝3×＝.
故E(5ξ＋1)＝5×E(ξ)＋1＝3.
三、解答题
9．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
[解析] (1)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有C＝84种情况，所选3人中恰有一名男生的情况有CC＝40种，
故所选3人中恰有一名男生的概率为＝.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
10.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝＝.
(2)由题意知X所有可能的取值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
B组·能力提升
一、选择题
1．(多选)在4件产品中，有一等品2件，二等品1件(一等品与二等品都是正品)，次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是( ABD )
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
[解析] 对于A，两件都是一等品的概率为＝，正确，对于B，两件中有1件是次品的概率为＝，正确，对于C，两件都是正品的概率为＝，C错误，对于D，两件中至少有1件是一等品的概率为＝，正确．
2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有( C )
A．2本 B．3本
C．4本 D．5本
[解析] 设语文课本n本，则数学课本有7－n本(n≥2)．则2本都是语文课本的概率为＝，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4(负值舍去)．
3．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为( C )
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
[解析] “X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)，
所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.
二、填空题
4．某市有m名男教师和n名女教师(m>n)，从中任取两名教师去西部支教，甲被抽中的概率为，一名男教师和一名女教师被抽中的概率为，则＝ ，记去支教的教师中男教师的人数是ξ，则E(ξ)＝ .
[解析] 由题意可得，＝，
即m＋n＝9，
＝，即mn＝20，且m>n，
故m＝5，n＝4，故＝，
由题意可知，ξ服从超几何分布，
所以E(ξ)＝2×＝.
5．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)，已知成绩在[90,100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50,60)中，则n＝_50__；现从成绩在[50,60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是 .
[解析] 依题意0.016×10n＝8，则n＝50.
成绩在[50,60)的人数为0.012×10×50＝6，其中4个为女生，2个为男生．ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
故E(ξ)＝0×＋×1＋2×＝.
三、解答题
6．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布．
[解析] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝，
因此X的概率分布为
X 0 1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的概率分布为
Y 0 10 20 50 60
P
C组·创新拓展
孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对(p，p＋2)称为孪生素数对．从8个数对(3,5)，(5,7)，(7,9)，(9,11)，(11,13)，(13,15)，(15,17)，(17,19)中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则E(X)＝( C )
A. B．
C． D．3
[解析] 由题意可知，这8个数对中只有(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)是孪生素数对，
则X的可能取值为0,1,2,3，
故P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(共45张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7．3.1 离散型随机变量的均值
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养目标 定方向
1．通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，能计算简单离散型随机变量的均值．
2．理解离散型随机变量的均值的性质．
3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关问题．
1．通过离散型随机变量的均值的学习，培养数学抽象素养．
2．应用随机变量的均值解题，提升数学运算素养.
必备知识 探新知
离散型随机变量的均值
知识点 1
(1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如表所示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝____________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．
(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了随机变量取值的___________.
(3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝_________________.
平均水平
aE(X)＋b
想一想：离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗？
提示：不相同．离散型随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．
练一练：
1．若随机变量X的分布列为
C
2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝_______.
[解析] E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.
35
两点分布的数学期望
知识点 2
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝_____.
练一练：
某彩票3D游戏(以下简称3D)，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票．投注者从000～999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1 000元，反之则获得奖金0元．某人随机投了一注，他获得奖金的期望是_____元．
p
1
关键能力 攻重难
已知随机变量X的分布列如下：
题|型|探|究
题型一
离散型随机变量的均值公式及性质
典例 1
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
[规律方法] 若给出的随机变量Y与X的关系
为Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．
(1)设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝( )
对点训练
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B．0.1
C．－0.2 D．－0.4
C
(2)已知随机变量X的分布列如表：
若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝5，则a的值为________.
15
[解析] (1)由题意得a＋b＋0.1＋0.1＝1，即a＋b＝0.8①.
又0×0.1＋a＋2b＋3×0.1 ＝ 1.6，
∴a＋2b＝1.3②.
②－①，得b＝0.5，
∴a＝0.3，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2.
题型二
求离散型随机变量的均值
某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，只要某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
典例 2
[解析] X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
[规律方法] 关于离散型随机变量的均值
(1)如果随机变量服从两点分布，则直接利用两点分布的均值公式计算．
(2)一般地，先求出随机变量的分布列，再通过分布列计算随机变量的均值．
在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的均值．
对点训练
题型三
均值的实际应用
(全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图(如图)：
典例 3
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
[解析] 由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数可能为8,9,10,11，相应的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
[规律方法] 实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费为3 800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施．
如果你是工地的领导，那么该如何决策呢？
对点训练
[解析] 设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3.
采用方案1，无论有无洪水，都损失3 800元．因此，X1＝3 800.
采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2 000＋60 000＝62 000元；没有大洪水时，总损失为2 000元．
于是，E(X1)＝3 800，
E(X2)＝62 000×0.01＋2 000×0.99＝2 600，
E(X3)＝60 000×0.01＋10 000×0.25＋0×0.74＝3 100.
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2.
易错易混问题——求分布列或均值时，随机变量的取值模糊致错
浙江卫视的《中国好声音(The Voice of China)》节目是大型励志专业音乐评论节目．每期节目有四位导师参加，导师背对歌手，若参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练．已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：
易|错|警|示
典例 4
导师转身人数 4 3 2 1
获得相应导师转身的选手人数 1 2 2 1
现从这6位选手中随机抽取两人考察他们演唱完后导师的转身情况．
(1)求选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的概率；
(2)记选出的2位选手中，为其转身的导师人数之和为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
[辨析] 对离散型随机变量X的意义不明晰，导致X的可能取值出错．
课堂检测 固双基
B
2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
[解析] 出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝ 3 000－800＝2 200(元)．
B
3．(2023·安徽六安高二检测)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2，将这个小
正方体抛掷2次，则向上的数字之积的均值是______.
4．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则E(ξ)＝_________.
3.5第七章检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是( D )
A．第一次出现的点数
B．第二次出现的点数
C．两次出现点数之和
D．两次出现相同点的种数
[解析] 由于两次出现相同点的种数是定值6，故不是随机变量．
2．某班有60名学生，一次考试后数学成绩X～N(110,102)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( A )
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析] 因为数学成绩X～N(110,102)，
所以由P(100≤X≤110)＝0.35可得P(110≤X≤120)＝ 0.35，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为P(X>120)＝1－0.5－0.35＝0.15，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9(人)，故选A.
3．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是( C )
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
[解析] 因为E(ξ)＝n×0.6＝3，所以n＝5.
所以P(ξ＝1)＝C×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.
4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于( A )
A．6 B．4
C．3 D．9
[解析] D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6××＝，所以D(2X＋1)＝4×＝6.
5．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”，事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P(B|A)的值等于( B )
A. B．
C． D．
[解析] 由题意可得事件A：“甲骰子的点数大于3”包含点数为4,5,6三种情况，所以P(A)＝＝.
又事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，
所以事件A与事件B都发生所包含的情况有(4,3)，(5,2)，(6,1)，共3个基本事件；而抛掷甲、乙两颗骰子，共有36种情况，所以事件A与事件B都发生的概率为P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝.
6．随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P的值为( D )
A. B．
C． D．
[解析] ∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，
∴＋＋＋＝1，∴a＝.
∴P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＋×＝，故选D.
7．一批排球中正品有m个，次品有n个，m＋n＝10(m≥n)，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数．若D(X)＝2.1，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率p＝( B )
A. B．
C． D．
[解析] 由题意知抽取10次，每次抽到次品的概率为，则方差D(X)＝10××＝2.1，
又m≥n，则n≤5，∴解得n＝3，
∴所求的概率为p＝1－＝.故选B.
8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为( B )
ξ 0 1 2
P y 0.4 x
A.0.72 B．0.6
C．0.24 D．0.48
[解析] 由分布列的性质，可得x＋y＋0.4＝1，所以y＝0.6－x，又由期望的公式，可得E(ξ)＝0.4＋2x，所以E(ξ2)＝0.4＋4x，则D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝0.4＋4x－(0.4＋2x)2＝－4x2＋2.4x＋0.24＝－4(x－0.3)2＋0.6，所以当x＝0.3时，方差最大值为0.6，故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
则下列结论正确的是( ACD )
A．E(X)＝－ B．E(X＋4)＝－
C．D(3X＋1)＝5 D．P(X>0)＝
[解析] 由已知E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故A正确；
E(X＋4)＝E(X)＋4＝－＋4＝，故B错误；由D(X)＝2×＋2×＋2×＝，可得D(3X＋1)＝32D(X)＝9×＝5，故C正确；由分布列可知P(X>0)＝P(X＝1)＝，故D正确，所以选ACD.
10．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是( AB )
A．P(X＝0)＝ B．P(X＝1)＝
C．P(X＝2)＝ D．E(X)＝
[解析] 由题意得，X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，故A、B正确，C错误，E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故D不正确．
11．已知随机变量X～N(0.4，σ)，Y～N(0.8，σ)，其正态分布曲线如图所示，则下列说法正确的是( ACD )
A．P(X≥0.4)＝P(Y≥0.8)
B．P(X≥0)＝P(Y≥0)
C．X的取值比Y的取值更集中于平均值左右
D．两支密度曲线与x轴之间的面积均为1
[解析] 因为P(X≥0.4)＝，P(Y≥0.8)＝，所以P(X≥0.4)＝P(Y≥0.8)，所以A正确；由题图可得P(X≥0)>P(Y≥0)，所以B错误；由题图可得曲线X在均值0.4附近图象比曲线Y在均值0.8附近图象更陡，所以X的取值比Y的取值更集中于平均值左右，即C正确；两支密度曲线与x轴之间的面积都等于所有概率和，即均为1，所以D正确．
12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( BD )
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
[解析] 由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝＝＝，故B正确；
P(B)＝P(B·A1)＋P(B·A2)＋P(B·A3)＝×＋×＋×＝，故A、C不正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．故选BD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝_0.1__.
[解析] ∵随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，
∴P(0≤X≤2)＝0.4，
∴P(X>2)＝0.5－0.4＝0.1，
故答案为0.1.
14．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖．有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是 .
[解析] 设中奖为事件A，则事件A包含的基本事件个数为(C)3＝8，所有的基本事件共有C＝20，所以中奖概率为P(A)＝＝；
有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X，则X～B，P(X＝1)＝C××2＝.
15．商场每月售出的某种商品的件数X是一个随机变量，其分布列如下表.
X 1 2 3 … 12
P …
每售出一件可获利300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费100元．该商场月初进货9件这种商品，则销售该商品获利的期望为_1_500元__.
[解析] 由题意知E(X)＝(1＋2＋3＋…＋12)×＝6.5.∵每售出一件可获利300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费100元，该商场月初进货9件这种商品，则销售该商品获利的期望为6×300－(9－6)×100＝1 500(元)．
故答案为1 500元．
16．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝_1__，E(ξ)＝ .
[解析] 由题意可得，P(ξ＝2)＝＝＝，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5，取出的两个球一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2.所以m－n＝1，易知ξ的所有可能取值为0,1,2，且P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍且每次试跳成功与否相互之间没有影响．
(1)求甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)求甲在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．
[解析] 设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p，则失败概率为1－p.依题意有p＝4(1－p)，解得p＝.
(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响，所以试跳三次中第三次才成功的概率为(1－p)2p＝2×＝.
(2)甲的三次试跳可看成三次独立重复试验，设甲在三次试跳中恰有两次成功的概率为P，则P＝C×2×＝.
18．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任取3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
[解析] (1)X的所有可能取值为0,1,2.
依题意得P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝＝，∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝＝.
19．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：
空气质量指数 空气质量等级
(0,50] 1级优
(50,100] 2级良
(100,150] 3级轻度污染
(150,200] 4级中度污染
(200,250] 5级重度污染
(250,300] 6级严重污染
该社团将该校区在2020年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图所示，把该直方图所得频率估计为概率．
(1)请估算2020年(以365天计算)全年空气质量优、良的天数(未满一天按一天计算)；
(2)该校2020年某三天举行了一场运动会，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10 000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20 000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列．
[解析] (1)由频率分布直方图可估算2020年(以365天计算)全年空气质量优、良的天数为(0.002×50＋0.004×50)×365＝0.3×365＝109.5≈110.
(2)由题意知，X的所有可能取值为0,10 000，20 000，30 000,40 000, 50 000,60 000，
由频率分布直方图知空气质量指数为(0,200]的概率为，
空气质量指数为(200,250]的概率为，
空气质量指数为(250,300]的概率为，
则P(X＝0)＝3＝，
P(X＝10 000)＝C××2＝，P(X＝20 000)＝C×2×＋C××2＝，
P(X＝30 000)＝3＋C××C××＝，
P(X＝40 000)＝C×2×＋C×2×＝，
P(X＝50 000)＝C×2×＝，
P(X＝60 000)＝3＝.
所以X的分布列为
X 0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000
P
20.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和 ，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发是相互独立的．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望．
[解析] (1)设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为新产品A，B都没有研发成功，因为甲、乙成功的概率分别为，，
则P(B)＝×＝×＝，
再根据对立事件概率之间的概率公式可得
P(A)＝1－P(B)＝，
所以至少有一种新产品研发成功的概率为.
(2)设该企业可获得利润为ξ，
则由题可得ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，
即ξ的取值为0,120,100,220.
则有P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝120)＝×＝；
P(ξ＝100)＝×＝；
P(ξ＝220)＝×＝；
所以ξ的分布列如下：
ξ 0 120 100 220
P
则数学期望E(ξ)＝0× ＋120×＋100×＋220×＝32＋20＋88＝140(万元)．
21．(本小题满分12分)某市举办数学知识竞赛活动，共5 000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
(1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩不低于90分的人数；
(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望．
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
[解析] (1)∵σ2＝144，
∴σ＝12.又μ＝66，
∴μ＋2σ＝66＋2×12＝90，
∴P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝(1－0.954 5)＝0.022 75，
∴估计不低于90分的人数有0.022 75×5 000≈113.
(2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7，
∴P(Y＝0)＝××＝；
P(Y＝2)＝C×××＝＝；
P(Y＝3)＝××＝；
P(Y＝4)＝××＝＝；
P(Y＝5)＝C×××＝＝；
P(Y＝7)＝××＝＝.
∴Y的分布列为
Y 0 2 3 4 5 7
P
∴E(Y)＝0×＋2×＋3×＋4×＋5×＋7×＝.
22．(本小题满分12分)某校设计了一个试验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部试验操作，规定：至少正确完成其中2道题才可通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成，考生乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．
(1)求甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两考生的试验操作能力．
[解析] (1)设考生甲、乙正确完成试验操作的题数分别为X，Y，则X所有可能的取值为1,2,3；Y所有可能的取值为0,1,2,3.
∵P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴考生甲正确完成题数的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
∵P(Y＝0)＝C3＝，
同理P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝.
∴考生乙正确完成题数的分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(2)∵D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(Y)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×
＝，
∴D(X)∵P(X≥2)＝＋＝0.8，P(Y≥2)＝＋≈0.74，
∴P(X≥2)>P(Y≥2)．
从正确完成题数的数学期望考查，两人的水平相当；从正确完成题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确完成2道题的概率考查，甲通过的可能性大，因此可以判定甲的试验操作能力较强．第七章 7.2
A 组·基础自测
一、选择题
1．(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( BCD )
A．抛掷一枚骰子，出现的点数记为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数记为随机变量X
C．从装有5个红球、3个白球的袋中取一个球，令随机变量X＝
D．做一次试验，试验成功的次数记为随机变量X
[解析] 选项A，抛掷一枚骰子，出现的点数有6种情况，故随机变量X有6个取值，不服从两点分布，故A不符合题意；选项B，射击一次，击中目标的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，故B符合题意；选项C，显然服从两点分布，故C符合题意；选项D，做一次试验，试验成功的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，故D符合题意．故选BCD.
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示( D )
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
[解析] 由于赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3分成两种情况，即3＋0＋0或者1＋1＋1，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
则常数a的值为( A )
A． B．
C．或 D．－或－
[解析] 由分布列性质可得：9a2－a＋3－8a＝1，
∴9a2－9a＋2＝0，∴a1＝，a2＝，
当a＝时，3－8a<0不合题意，∴a＝，故选A．
4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，….则P(2A． B．
C. D．
[解析] P(25．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
[解析] 由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X二、填空题
6．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为
.
[解析] 由题意可得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝2××＝，P(X＝2)＝×＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
7．已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若Y＝2X－3，则P(Y＝5)的值为 0.2 .
[解析] 当Y＝5时，由2X－3＝5得X＝4，
所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.2.
8．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝ 0.5 .
[解析] 由离散型随机变量分布列的性质可得0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，
则P(Y＝2)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝0.2＋0.3＝0.5.
三、解答题
9．一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列．
[解析] (1)由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.
所以X的分布列为：
X 0 1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
所以X的分布列为：
X 0 1
P
10．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(1)求3X＋2的分布列；
(2)求|X－1|的分布列．
[解析] (1)由题意，知3X＋2的可能取值为2,5,8,11,14，则3X＋2的分布列为
3X＋2 2 5 8 11 14
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由题意，知|X－1|的可能取值为0,1,2,3，|X－1|的分布列为
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
B 组·能力提升
一、选择题
1．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以P(X≤4)＝＋＋＝.
2．离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y＝0,1,2，…，9)代替，分布列如下：
X＝i 1 2 3 4 5 6
P(X＝i) 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则P等于( B )
A．0.25 B．0.35
C．0.45 D．0.55
[解析] 根据分布列的性质知随机变量的所有取值的概率和为1，因此0.x5＋0.1y＋0.6＝1，即10x＋y＝25，由x，y是0～9间的自然数可解得x＝2，y＝5，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.10＋0.25＝0.35.故选B.
3．(多选)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则( ABC )
A．15a＝1
B．P(0.5<ξ<0.8)＝0.2
C．P(0.1<ξ<0.5)＝0.2
D．P(ξ＝1)＝0.3
[解析] 由题意可得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，即15a＝1，故A正确；P(0.5<ξ<0.8)＝P(ξ＝0.6)＝3a＝＝0.2，故B正确；P(0.1<ξ<0.5)＝P(ξ＝0.2)＋P(ξ＝0.4)＝×1＋×2＝＝0.2，故C正确；P(ξ＝1)＝×5＝≠0.3，故D不正确．
二、填空题
4．已知随机变量η的分布列如表：
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2
则x＝ 0.1 ；P(η>3)＝ 0.45 ；P(1<η≤4)＝ 0.45 .
[解析] 由分布列的性质得0.2＋x＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.1；P(η>3)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；P(1<η≤4)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45.
5．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率是 0.60 .
[解析] 因为X取偶数值时的概率为P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.10＋0.10＋0.20＝0.40.
故X取奇数值的概率为1－0.40＝0.60.
三、解答题
6．某超市计划按月订购一种酸奶，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列．
[解析] 由题意知，X所有可能取值为200,300,500，
由表格数据知
P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.4.
因此X的分布列为：
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
C 组·创新拓展
随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P(ξ≤2)的值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4，则＋＋＋＝＝×＝1，解得c＝，
所以P(ξ≤2)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝×＝×＝.