2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（3×8＝24分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝24，则BC的长为（　　）
A．10 B．24 C．5 D．12
3．（3分）把抛物线先向左平移3个单位再向下平移4个单位，所得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，AB与圆O相切于点A，BO与圆O相交于点C，∠BAC＝35°，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．（3分）如图，把△ABC绕A点顺时针旋转50°，得到△AB'C'，若C'B'⊥AB于点E，则∠B'的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
6．（3分）若A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
7．（3分）如图，点D、E、F在△ABC的边上，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）下列命题：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④不在同一直线上的三个点确定一个圆．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（3×8＝24分）
9．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标是　 　．
10．（3分）在平面直角坐标系中，与点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，CD＝6，则BC的长为　 　．
12．（3分）如图，△ADC为⊙O的内接三角形，连接OA、OC，若∠AOC＝110°，则∠ADC的度数是 　 　°．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED＝3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S△BFC＝　 　．
14．（3分）已知⊙O的半径为13cm，弦AB＝10cm，弦CD＝24cm，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 　 　cm．
15．（3分）行驶中的汽车遇到紧急情况需急刹车时，行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝﹣5t2+20t，紧急刹车后由于惯性汽车要滑行 　 　m才能停下来．
16．（3分）如图，BC是半径为5的⊙O的直径，A，D是圆上的两点，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，AE＝3，DF＝4，点P为BC上的一个动点，AP与DE交于点Q，当PA+PD取最小值时，AQ的长为 　 　．
三、解答题（共72分）
17．（8分）先化简，再求代数式的值，其中x＝tan60°﹣2sin30°．
18．（8分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（5，3）．请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）连接B1B、B1C2，写出∠BB1C2的正切值．
19．（8分）如图，一架无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6米，求该校的旗杆高为多少米．（结果保留根号）
20．（6分）如图，△ABC与△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BED＝90°，AB＝AC，EB＝ED，连接AE、CD．求证：．
21．（8分）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果该隧道内设双行道，一辆货运卡车高4.2m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC交BD于点E，AB＝AC，∠BAC＝2∠CAD．（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AE﹣CE＝2，，求CD的长．
23．（12分）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为 　 　°；
②若CE＝4，则CA的长为 　 　；
【类比探究】如图2所示，等边三角形ABC中，点D在△ABC内部，连接DA、DB、DC，若∠BDA＝150°，BD＝4，DA＝6，求CD的长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠ADC+∠ABC＝90°，AC、BD为对角线，若，AB＝3，，求BC的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC，点D为抛物线的一点，其横坐标为1．
（1）如图1，求点D的纵坐标；
（2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设△CDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，当EG＝BG时，求点E的坐标．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（3×8＝24分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义判断，得到答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝24，则BC的长为（　　）
A．10 B．24 C．5 D．12
【分析】根据直角三角形的边角关系求出AB，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵＝，AC＝24，
∴AB＝26，
∴BC＝＝10．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的前提．
3．（3分）把抛物线先向左平移3个单位再向下平移4个单位，所得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝（x﹣4）2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是y＝（x﹣4+3）2﹣4，即y＝（x﹣1）2﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．（3分）如图，AB与圆O相切于点A，BO与圆O相交于点C，∠BAC＝35°，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】由切线的性质可得∠OAB＝90°，由∠BAC＝35°可得∠OAC＝∠OCA＝55°，即可求出∠O＝70°，进而可求∠B．
【解答】解：∵AB与圆O相切于点A，
∴∠OAB＝90°，
∵∠BAC＝35°，
∴∠OAC＝∠OCA＝55°，
∴∠O＝70°，
∴∠B＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握以上知识是解题关键．
5．（3分）如图，把△ABC绕A点顺时针旋转50°，得到△AB'C'，若C'B'⊥AB于点E，则∠B'的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】利用旋转的性质，得到∠BAB'＝50°，∠B＝∠B'，再利用直角三角形两个锐角互余即可得解．
【解答】解：将△ABC绕A点顺时针旋转50°得到△AB'C'，
∴∠BAB'＝50°，∠B＝∠B'，
∵B'C'⊥AB，
∴∠B＝∠B'＝90°﹣∠BAB'＝40°；
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质．熟练掌握对应点与旋转中心形成的角为旋转角，对应角相等是解题的关键．
6．（3分）若A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】先求得图象开口方向和对称轴，然后利用二次函数的增减性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣3，
∴开口向上，对称轴为x＝﹣2，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数的图象上的三点，且﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用函数的增减性解题是关键．
7．（3分）如图，点D、E、F在△ABC的边上，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质列出比例式，判断即可．
【解答】解：A、∵DE∥BC，
∴＝，本选项比例式正确，不符合题意；
B、∵EF∥AB，
∴＝，
∴＝，本选项比例式正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，本选项比例式错误，符合题意；
D、∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝，本选项比例式正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
8．（3分）下列命题：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④不在同一直线上的三个点确定一个圆．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、确定圆的条件判断即可．
【解答】解：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，命题正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本小题命题错误；
③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故本小题命题错误；
④不在同一直线上的三个点确定一个圆，命题正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（3×8＝24分）
9．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标是　（﹣1，3）　．
【分析】根据顶点式的二次函数解析式，可得二次函数的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标是 （﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．
10．（3分）在平面直角坐标系中，与点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　（﹣2，3）　．
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，填空即可．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握好对称点的坐标规律是关键．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，CD＝6，则BC的长为　3　．
【分析】根据勾股定理得到AC＝＝＝2，根据余角的性质得到∠ACD＝∠B，由相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝4，CD＝6，
∴AC＝＝＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，余角的性质，推出△ACD∽△ABC是解题的关键．
12．（3分）如图，△ADC为⊙O的内接三角形，连接OA、OC，若∠AOC＝110°，则∠ADC的度数是 　125　°．
【分析】先根据圆周角定理得到∠E，然后根据圆内接四边形的性质得到结论．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点E，连接AE，CE，
∵∠AOC＝110°，
∴∠E＝∠AOC＝55°，
∴∠ADC＝180°﹣∠E＝125°．
故答案为：125．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了圆内接四边形的性质．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED＝3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S△BFC＝　9：16　．
【分析】利用平行四边形的性质得出△FAE∽△FBC，进而利用相似三角形的性质得出S△AFE：S△BFC＝（）2＝，进而得出答案．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥BC，AD＝BC，
∴△FAE∽△FBC，
∵AE：ED＝3：1，
∴＝＝，
∴S△AFE：S△BFC＝（）2＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，得出S△AFE：S△BFC＝（）2＝是解题关键．
14．（3分）已知⊙O的半径为13cm，弦AB＝10cm，弦CD＝24cm，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 　17或7　cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】解：过O作OM⊥AB于M，OM交CD于N，连接OD，OB，
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，ON⊥CD，OM⊥AB，
∴BM＝AM＝12cm，DN＝CN＝5cm，
∵OB＝OD＝13cm，
由勾股定理得：OM＝＝＝5（cm），
ON＝＝＝12（cm），
∴MN＝12cm﹣5cm＝7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
MN＝OM+ON＝17cm，
所以AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
故答案为：17或7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．
15．（3分）行驶中的汽车遇到紧急情况需急刹车时，行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝﹣5t2+20t，紧急刹车后由于惯性汽车要滑行 　20　m才能停下来．
【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【解答】解：依题意：该函数关系式化简为s＝﹣5（t﹣2）2+20，
当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．
故惯性汽车要滑行20米．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出紧急刹车后由于惯性汽车要滑行的最大距离即为y的最大值是解题的关键．
16．（3分）如图，BC是半径为5的⊙O的直径，A，D是圆上的两点，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，AE＝3，DF＝4，点P为BC上的一个动点，AP与DE交于点Q，当PA+PD取最小值时，AQ的长为 　　．
【分析】延长DF交⊙于点G，连接OA、OG、PG，则OA＝OG＝5，∠OEA＝∠OFG＝90°，BC垂直平分DG，所以GF＝DF＝4，可求得OE＝＝4，OF＝＝3，连接AG交DE于点I，作AH⊥DF于点H，则AH＝EF＝7，FH＝AE＝3，所以GH＝GF+FH＝7，则AG＝＝7，再证明△AEI∽△GDI，得＝＝，AI＝AG＝，由PA+PG≥AG，且PG＝PD，得PA+PD≥7，所以当点P落在AG上时，PA+PD取得最值7，此时点Q于点I重合，则AQ＝AI＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长DF交⊙于点G，连接OA、OG、PG，
∵BC是半径为5的⊙O的直径，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，
∴OA＝OG＝5，∠OEA＝∠OFG＝90°，BC垂直平分DG，
∵AE＝3，DF＝4，
∴GF＝DF＝4，
∴GD＝2GF＝8，OE＝＝＝4，OF＝＝＝3，
连接AG交DE于点I，作AH⊥DF于点H，
∵∠AHF＝∠EFH＝∠AEF＝90°，
∴四边形AEFH是矩形，
∴AH＝EF＝OE+OF＝4+3＝7，FH＝AE＝3，
∴GH＝GF+FH＝4+3＝7，
∴AG＝＝＝7，
∵AG∥GD，
∴△AEI∽△GDI，
∴＝＝，
∴AI＝AG＝×7＝，
∵PA+PG≥AG，且PG＝PD，
∴PA+PD≥7，
∴当点P落在AG上时，PA+PD取得最值7，此时点Q于点I重合，
∴AQ＝AI＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（8分）先化简，再求代数式的值，其中x＝tan60°﹣2sin30°．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x＝﹣1，再代入求出答案即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝tan60°﹣2sin30°＝﹣2×＝﹣1时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18．（8分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（5，3）．请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）连接B1B、B1C2，写出∠BB1C2的正切值．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）根据锐角三角函数的定义计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）由图可得，tan∠BB1C2＝，
∴∠BB1C2的正切值为．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、旋转变换、解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质、锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
19．（8分）如图，一架无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6米，求该校的旗杆高为多少米．（结果保留根号）
【分析】分别在Rt△ABD和Rt△ACD中利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该旗杆的高度．
【解答】解：在Rt△ABD，
∵AD＝6米，∠BAD＝30°，
∴tan30°＝，
解得：BD＝2（米），
在Rt△ACD，
∵AD＝6米，∠CAD＝60°，
∴tan60°＝，
解得：DC＝6（米），
故该校的旗杆高约为：BC＝BD+DC＝2（米），
答：该校的旗杆高为8米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形中锐角三角函数关系是解题关键．
20．（6分）如图，△ABC与△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BED＝90°，AB＝AC，EB＝ED，连接AE、CD．求证：．
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝∠EBC＝∠ECB＝45°，则∠CBD＝∠ABE＝45°﹣∠CBE，由勾股定理求得BC＝AB，BD＝EB，则＝＝，所以△BCD∽△BAE，得＝＝，则CD＝AE．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠BED＝90°，AB＝AC，EB＝ED，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴∠CBD＝∠ABE＝45°﹣∠CBE，
∵BC＝＝＝AB，BD＝＝＝EB，
∴＝＝，
∴△BCD∽△BAE，
∴＝＝，
∴CD＝AE．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BCD∽△BAE是解题的关键．
21．（8分）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果该隧道内设双行道，一辆货运卡车高4.2m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，顶点式，求抛物线的解析式；
（2）根据题意，把x＝±1.2代入解析式，得到y＝5.64．由于5.64＞4.2，于是得到货运卡车能通过．
【解答】解：（1）根据题意，A（﹣4，2），D（4，2），E（0，6）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+6（a≠0），把A（﹣4，2）或D（4，2）代入得
16a+6＝2．
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6；
（2）根据题意，把x＝±2.4代入解析式，得y＝4.86．
∵4.86＞4.2，
∴货运卡车能通过．
【点评】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC交BD于点E，AB＝AC，∠BAC＝2∠CAD．（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AE﹣CE＝2，，求CD的长．
【分析】（1）设∠CAD＝x，则∠BAC＝2x，证明∠CBE+∠BCE＝90°即可；
（2）在EA上截取ET，使得ET＝CE，设CE＝x．利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：设∠CAD＝x，则∠BAC＝2x，
∴∠CBD＝∠CAD＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∴∠CBE+∠BCE＝x+90°﹣x＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴AC⊥BD；
（2）在EA上截取ET，使得ET＝CE，设CE＝x．
∵∠CAD＝∠CBD，
∴tan∠CBE＝tan∠CAD＝，
∴＝＝，
∴BE＝3x，
∵AE﹣CE＝2，
∴AE﹣ET＝AT＝2，
∴AE＝2+x，AB＝AC＝2x+2，
∵∠AEB＝90°，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴（2x+2）2＝（3x）2+（x+2）2，
∴x＝或x＝0（舍弃），
∴AE＝+2＝，DE＝AE＝，
∴CD＝＝＝．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．（12分）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为 　45　°；
②若CE＝4，则CA的长为 　2　；
【类比探究】如图2所示，等边三角形ABC中，点D在△ABC内部，连接DA、DB、DC，若∠BDA＝150°，BD＝4，DA＝6，求CD的长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠ADC+∠ABC＝90°，AC、BD为对角线，若，AB＝3，，求BC的长．
【分析】【问题发现】①证△CAE是等腰直角三角形，即可得出答案；
②由等腰直角三角形的性质即可得出结论；
【类比探究】将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE，则EA＝DA，CE＝BD＝4，∠CEA＝∠BDA＝150°，∠DAE＝60°，证△ADE是等边三角形，得DE＝DA＝6，∠AED＝60°，再证∠CED＝90°，即可解决问题；
【拓展延伸】将△ABD绕D逆时针旋转至△ECD，连接BE，则AB＝CE＝3，BD＝ED，∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠ECD，再证△ADC∽△BDE，得出BE＝7，然后证∠BCE＝90°，即可解决问题．
【解答】解：【问题发现】①将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠DAB＝∠CAE＝90°，CA＝EA，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝45°，
故答案为：45；
②∵△CAE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE＝×4＝2，
故答案为：2；
【类比探究】如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE，
由旋转的性质得：EA＝DA，CE＝BD＝4，∠CEA＝∠BDA＝150°，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝DA＝6，∠AED＝60°，
∴∠CED＝∠CEA﹣∠AED＝150°﹣60°＝90°，
在Rt△CED中，由勾股定理得：CD＝＝＝2；
【拓展延伸】如图3，将△ABD绕D逆时针旋转至△ECD，连接BE，
由旋转的性质得：AB＝CE＝3，BD＝ED，∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠ECD，
∴∠ADC＝∠BDE，
∵DA＝DC，
∴＝＝，
又∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴＝＝，
∴BE＝AC＝×＝7，
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣90°＝270°，
∵∠BAD＝∠ECD，
∴∠ECD+∠BCD＝270°，
∴∠BCE＝360°﹣270°＝90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC，点D为抛物线的一点，其横坐标为1．
（1）如图1，求点D的纵坐标；
（2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设△CDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，当EG＝BG时，求点E的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S＝CE×xD，即可求解；
（3）证明△END≌△DMF（AAS），得到MF＝ND＝1，DM＝NE＝2﹣m，求出点G（，），进而求解．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣2ax﹣3a＝0，则x＝﹣1或3，
即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），
由OB＝2OC得，点C（0，），
则﹣3a＝，则a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；
当x＝1时，y＝﹣x2+x+＝2，即点D（1，2），
即点D纵坐标为2；
（2）设点P（t，﹣t2+t+），
由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y＝﹣（t+1）（x﹣3），
则点E（0，），则CE＝﹣＝﹣，
则S＝CE×xD＝﹣t；
（3）由（2）点E（0，），设m＝，则点E（0，m），
过点D作y轴的垂线，垂足为点N，交过点F和y轴的平行线于点M，
由题意知，∠EDF＝90°，DE＝DF，
则∠EDN+∠MDF＝90°，
∵∠MDF+∠DFM＝90°，
∴∠EDN＝∠DFM，
∵∠END＝∠DMF＝90°，
∴△END≌△DMF（AAS），
∴MF＝ND＝1，DM＝NE＝2﹣m，
则点F的坐标为：（，1），
由点B、F的坐标得，直线BF的表达式的表达式为：y＝﹣（x﹣3）＝﹣（x﹣3）①，
同理可得，直线AE的表达式为：y＝m（x+1）②，
联立①②得：﹣（x﹣3）＝m（x+1），
解得：x＝，则y＝，
即点G（，），
令x＝，y＝，
由点B、E、G的坐标得，EG2＝x2+（y﹣m）2，BG2＝（x﹣3）2+y2，
∵EG＝BG，则x2+（y﹣m）2＝（x﹣3）2+y2，
化简得：m4﹣22m2+9＝0，
解得：m＝﹣+2（不合题意的值已舍去），
即点E（0，﹣+2）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，三角形全等判定和性质，一次函数的性质等知识，运算能力是解题的关键．