第一章空间向量与立体几何 练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析）
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| 名称 | 第一章空间向量与立体几何 练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-22 15:30:27 | ||
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文档简介
第一章空间向量与立体几何练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，，则（ ）
A．20 B． C． D．8
2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
3．如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．空间四边形中，设，，，点在棱上，且，是棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面平面，，的一个法向量分别为，，直线的方向向量为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知正方体，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正方体的中心为，，则满足的可以是（ ）
A． B． C． D．
11．直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面的夹角大小为
12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，面，则（ ）
A．
B．与平面所成角为
C．二面角的余弦值为
D．直线与所成角的余弦值为
三、填空题
13．在长方体中，，则 ．
14．已知点、，若，则点的坐标是 .
15．如图，在四棱锥中，，，，，平面，则异面直线与之间的距离为 .
16．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，若，分别为,中点，求 ；满足平面，则线段的最小值为 .
四、解答题
17．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
(1)若，求的值；
(2)求线段的长．
18．如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.
(1)证明：；
(2)求.
19．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
(1)设，，，用表示；
(2)若，求．
20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.
(1)若点，分别为，的中点，求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21．如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由.
22．如图1，矩形中，，点为的中点，现将沿折起，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，点为棱上一点.
(1)证明：；
(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】直接利用向量的运算法则计算得到答案.
【详解】.
故选：C
2．BC
【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，，所以、、共面；
对于B选项，假设、、共面，
则存在、使得，
因为构成空间的一个基底，则，无解，
假设不成立，故、、不共面；
对于C选项，假设、、共面，
则存在、，使得，
所以，，则、、共面，与题设矛盾，
故、、不共面；
选项D，因为，则、共线，则、、共面.
故选：BC.
3．B
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可.
【详解】三棱锥中，过作平面，由，知，
以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，
由平面，得，则，
令，则，设，
于是，
当且仅当时取等号，所以线段的最小值为.
故选：B
4．C
【分析】根据空间向量的运算结合基底可得答案.
【详解】由题意.
故选：C
5．B
【分析】根据线面、面面位置关系判断对应方向向量与法向量、法向量与法向量的关系，由此判断出正确说法.
【详解】平面与平面的法向量平行等价于平面与平面平行，故①正确；
平面与平面的法向量垂直等价于平面与平面垂直，故②正确；
直线方向向量与平面法向量平行等价于直线垂直于平面，故③错误；
直线方向向量与平面法向量垂直等价于直线平行于平面或线在面内，故④错误；
故选：B.
6．A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】因为平面，且为正方形，
如图建立空间直角坐标系，则、、，
所以，，
设平面的法向量为，则，取，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
又，所以.
故选：A
7．C
【分析】利用余弦定理可求得，根据，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角公式可求得所求余弦值.
【详解】连接，
在中，由余弦定理得：，；
在中，由余弦定理得：；
，
，即异面直线夹角的余弦值为.
故选：C.
8．B
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示，求出并逐项判断即可.
【详解】依题意，，则，解得，
因此，，，，ACD正确，B错误.
故选：B
9．AC
【分析】根据正方体图形直观的判断选项A正确；根据三个向量的共面的判断方法即可判断选项B、D错误，选项 C正确.
【详解】空间中的一组基底由3个不共面的向量构成.
对于A选项，两两正交，所以可以成为空间中一组基底，A正确；
对于B选项，因为，所以，所以，，共面，故不能成为空间中的一组基底，B错误；
对于C选项，，在平面上，而与平面不平行，所以，，不共面，可以成为空间中的一组基底，C正确；
对于D选项，因为，所以，故不能成为空间中的一组基底，D错误，
故选：AC.
10．AC
【分析】由正方体的结构特征，结合向量数量积的几何意义判断满足条件的即可.
【详解】由，正方体如下图示，
根据向量数量积的几何意义有，，
，
综上，满足的可以是、.
故选：AC
11．ABD
【分析】根据空间向量判断线面关系，即可判断AB，由空间向量计算空间角度，即可判断CD.
【详解】若，则，故A正确；
若，则，故B正确；
因为直线与平面所成角的范围为，若，则与的夹角为，所以直线与平面所成角的大小为，故C错误；
因为两平面夹角的范围为，若，则平面的夹角大小为，故D正确.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐项计算ABCD后可判断它们的正误.
【详解】如图，连接，设，则，
因为，故，故，
故，故，
而平面，平面，故，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中，
故，而，故，故A正确.
，而平面的法向量为，
设与平面所成的角为，则，
因为，故，故B正确.
又，设平面的法向量为，
则即，取，则，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
故，但二面角的平面角为钝角，
故其余弦值为，故C错误.
又，故，
故直线与所成角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
13．3
【分析】根据给定的几何体，用空间向量的基底表示向量，再利用向量数量积运算律计算即得.
【详解】在长方体中，，
所以.
故答案为：3
14．
【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得出点的坐标.
【详解】设，由可得，
则，解得.
故点的坐标为.
故答案为：.
15．/
【分析】建立空间直角坐标系，给出各点坐标，用向量方法即可算出距离.
【详解】以点 为坐标原点， , , 所在的直线分别为轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 , , , ,
所以 ，，，
设向量 同时垂直于 ，
则，
令 ，则 ， .
所以异面直线 与 间的距离.
故答案为：.
16．
【分析】建立空间直角坐标系，当，分别为,中点时，求出两点坐标，利用两点间的距离公式求解即可；对于第二空，设出点，的坐标，利用线面垂直得到关系式，利用的表达式可求出最小值.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则,
当，分别为,中点时，
则;
当在上运动，点在侧面上运动时，
设
所以
因为平面，
所以，
故
故，
又，
故，
故当时，
此时满足条件，
所以线段的最小值为
故答案为：；.
17．(1)0
(2)
【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可.
【详解】（1），
（2）
，
．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建系，利用空间向量的坐标运算证明线线垂直；
（2）根据空间向量的坐标运算求，进而可得结果.
【详解】（1）由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
因为，，
所以，因此.
（2）因为，，
则，，
可得，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：如图所示，连接，可得，
因为为的中点，则，
所以，
所以
.
（2）解：因为，
所以
，
因为平面，平面，且平面,平面，
所以，
又因为，
所以，
所以.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线、线面平行的判定定理即可得证.
（2）利用空间直角坐标系、平面的法向量、空间夹角的向量求法运算即可得解.
【详解】（1）证明：
如上图，取的中点，连接，，
由题意，点，分别为，的中点，
∴，，
又∵底面矩形中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，则，
又∵平面，平面，
∴直线平面.
（2）解：
∵平面，平面，平面，
∴，，又知在矩形中，
∴以，，为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系如上图，
则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，
即，取，解得：，，
∴平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
21．(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由题意和勾股定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，进而建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出该面面角；
（3）假设存在这样的点Q，则存在使得.利用线面平行和空间向量的坐标表示建立关于的方程，解得，即可下结论.
【详解】（1）在中，
所以，即.
又因为，在平面中，，
所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，由平面，得.
由（2）知，且已知，
故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，.
所以
因为为中点，所以.
由知，.
设平面的法向量为，
则即
令，则.于是.
由（1）知平面，所以平面的法向量为.
所以，
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为；
（3）设是线段上一点，则存在使得.
因为，
所以.
因为平面，所以平面，当且仅当，
即.
即.解得.
因为，
所以线段上不存在使得平面.
22．(1)证明见解析；
(2)存在，的值为.
【分析】（1）运用面面垂直的性质和线面垂直的性质即得；
（2）通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设出比值，利用线面所成角的空间向量公式计算即得.
【详解】（1）证明：在矩形中，，，，
∴，∴.
∵平面平面，平面平面，，平面
∴平面，∵平面，∴.
（2）
如图，取的中点，连接，作交于点，则，
∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∴，，，，
设平面的法向量为，则
令，则，，∴
设（），则，
则
设直线与平面所成角为，
则，解得，
所以存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，此时的值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，，则（ ）
A．20 B． C． D．8
2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
3．如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．空间四边形中，设，，，点在棱上，且，是棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面平面，，的一个法向量分别为，，直线的方向向量为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知正方体，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正方体的中心为，，则满足的可以是（ ）
A． B． C． D．
11．直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面的夹角大小为
12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，面，则（ ）
A．
B．与平面所成角为
C．二面角的余弦值为
D．直线与所成角的余弦值为
三、填空题
13．在长方体中，，则 ．
14．已知点、，若，则点的坐标是 .
15．如图，在四棱锥中，，，，，平面，则异面直线与之间的距离为 .
16．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，若，分别为,中点，求 ；满足平面，则线段的最小值为 .
四、解答题
17．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
(1)若，求的值；
(2)求线段的长．
18．如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.
(1)证明：；
(2)求.
19．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
(1)设，，，用表示；
(2)若，求．
20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.
(1)若点，分别为，的中点，求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21．如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由.
22．如图1，矩形中，，点为的中点，现将沿折起，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，点为棱上一点.
(1)证明：；
(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】直接利用向量的运算法则计算得到答案.
【详解】.
故选：C
2．BC
【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，，所以、、共面；
对于B选项，假设、、共面，
则存在、使得，
因为构成空间的一个基底，则，无解，
假设不成立，故、、不共面；
对于C选项，假设、、共面，
则存在、，使得，
所以，，则、、共面，与题设矛盾，
故、、不共面；
选项D，因为，则、共线，则、、共面.
故选：BC.
3．B
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可.
【详解】三棱锥中，过作平面，由，知，
以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，
由平面，得，则，
令，则，设，
于是，
当且仅当时取等号，所以线段的最小值为.
故选：B
4．C
【分析】根据空间向量的运算结合基底可得答案.
【详解】由题意.
故选：C
5．B
【分析】根据线面、面面位置关系判断对应方向向量与法向量、法向量与法向量的关系，由此判断出正确说法.
【详解】平面与平面的法向量平行等价于平面与平面平行，故①正确；
平面与平面的法向量垂直等价于平面与平面垂直，故②正确；
直线方向向量与平面法向量平行等价于直线垂直于平面，故③错误；
直线方向向量与平面法向量垂直等价于直线平行于平面或线在面内，故④错误；
故选：B.
6．A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】因为平面，且为正方形，
如图建立空间直角坐标系，则、、，
所以，，
设平面的法向量为，则，取，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
又，所以.
故选：A
7．C
【分析】利用余弦定理可求得，根据，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角公式可求得所求余弦值.
【详解】连接，
在中，由余弦定理得：，；
在中，由余弦定理得：；
，
，即异面直线夹角的余弦值为.
故选：C.
8．B
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示，求出并逐项判断即可.
【详解】依题意，，则，解得，
因此，，，，ACD正确，B错误.
故选：B
9．AC
【分析】根据正方体图形直观的判断选项A正确；根据三个向量的共面的判断方法即可判断选项B、D错误，选项 C正确.
【详解】空间中的一组基底由3个不共面的向量构成.
对于A选项，两两正交，所以可以成为空间中一组基底，A正确；
对于B选项，因为，所以，所以，，共面，故不能成为空间中的一组基底，B错误；
对于C选项，，在平面上，而与平面不平行，所以，，不共面，可以成为空间中的一组基底，C正确；
对于D选项，因为，所以，故不能成为空间中的一组基底，D错误，
故选：AC.
10．AC
【分析】由正方体的结构特征，结合向量数量积的几何意义判断满足条件的即可.
【详解】由，正方体如下图示，
根据向量数量积的几何意义有，，
，
综上，满足的可以是、.
故选：AC
11．ABD
【分析】根据空间向量判断线面关系，即可判断AB，由空间向量计算空间角度，即可判断CD.
【详解】若，则，故A正确；
若，则，故B正确；
因为直线与平面所成角的范围为，若，则与的夹角为，所以直线与平面所成角的大小为，故C错误；
因为两平面夹角的范围为，若，则平面的夹角大小为，故D正确.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐项计算ABCD后可判断它们的正误.
【详解】如图，连接，设，则，
因为，故，故，
故，故，
而平面，平面，故，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中，
故，而，故，故A正确.
，而平面的法向量为，
设与平面所成的角为，则，
因为，故，故B正确.
又，设平面的法向量为，
则即，取，则，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
故，但二面角的平面角为钝角，
故其余弦值为，故C错误.
又，故，
故直线与所成角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
13．3
【分析】根据给定的几何体，用空间向量的基底表示向量，再利用向量数量积运算律计算即得.
【详解】在长方体中，，
所以.
故答案为：3
14．
【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得出点的坐标.
【详解】设，由可得，
则，解得.
故点的坐标为.
故答案为：.
15．/
【分析】建立空间直角坐标系，给出各点坐标，用向量方法即可算出距离.
【详解】以点 为坐标原点， , , 所在的直线分别为轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 , , , ,
所以 ，，，
设向量 同时垂直于 ，
则，
令 ，则 ， .
所以异面直线 与 间的距离.
故答案为：.
16．
【分析】建立空间直角坐标系，当，分别为,中点时，求出两点坐标，利用两点间的距离公式求解即可；对于第二空，设出点，的坐标，利用线面垂直得到关系式，利用的表达式可求出最小值.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则,
当，分别为,中点时，
则;
当在上运动，点在侧面上运动时，
设
所以
因为平面，
所以，
故
故，
又，
故，
故当时，
此时满足条件，
所以线段的最小值为
故答案为：；.
17．(1)0
(2)
【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可.
【详解】（1），
（2）
，
．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建系，利用空间向量的坐标运算证明线线垂直；
（2）根据空间向量的坐标运算求，进而可得结果.
【详解】（1）由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
因为，，
所以，因此.
（2）因为，，
则，，
可得，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：如图所示，连接，可得，
因为为的中点，则，
所以，
所以
.
（2）解：因为，
所以
，
因为平面，平面，且平面,平面，
所以，
又因为，
所以，
所以.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线、线面平行的判定定理即可得证.
（2）利用空间直角坐标系、平面的法向量、空间夹角的向量求法运算即可得解.
【详解】（1）证明：
如上图，取的中点，连接，，
由题意，点，分别为，的中点，
∴，，
又∵底面矩形中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，则，
又∵平面，平面，
∴直线平面.
（2）解：
∵平面，平面，平面，
∴，，又知在矩形中，
∴以，，为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系如上图，
则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，
即，取，解得：，，
∴平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
21．(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由题意和勾股定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，进而建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出该面面角；
（3）假设存在这样的点Q，则存在使得.利用线面平行和空间向量的坐标表示建立关于的方程，解得，即可下结论.
【详解】（1）在中，
所以，即.
又因为，在平面中，，
所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，由平面，得.
由（2）知，且已知，
故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，.
所以
因为为中点，所以.
由知，.
设平面的法向量为，
则即
令，则.于是.
由（1）知平面，所以平面的法向量为.
所以，
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为；
（3）设是线段上一点，则存在使得.
因为，
所以.
因为平面，所以平面，当且仅当，
即.
即.解得.
因为，
所以线段上不存在使得平面.
22．(1)证明见解析；
(2)存在，的值为.
【分析】（1）运用面面垂直的性质和线面垂直的性质即得；
（2）通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设出比值，利用线面所成角的空间向量公式计算即得.
【详解】（1）证明：在矩形中，，，，
∴，∴.
∵平面平面，平面平面，，平面
∴平面，∵平面，∴.
（2）
如图，取的中点，连接，作交于点，则，
∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∴，，，，
设平面的法向量为，则
令，则，，∴
设（），则，
则
设直线与平面所成角为，
则，解得，
所以存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，此时的值为.
答案第1页，共2页
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