河南省实验中学2023--2024高二数学上期中考试答案
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D B B A C D B BC BCD ACD ABD
13．-1 14． 15． 16．
16.根据题意，有，设，，则，
即，，，，
也即，，，
也即，，，
从而可得，，
从而离心率的取值范围为，，
17.解：(1)因为边上的高所在的直线方程为，
所以直线的斜率为，又因为的顶点，
所以直线的方程为：，即；......................5分
(2)因为边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，，所以点，......................6分
设点，，则的中点在直线上，
所以，即，又点，在直线上，所以，........8分
所以，所以直线的方程为，
即直线的方程为．......................10分
解：(1)由题设点，又也在直线上，
，，，......................2分
由题，过点切线方程可设为．即，
则，解得：，，所求切线为或．......................6分
(2)设点，，，，，，
，即， ......................9分
又点在圆上，
两圆有公共点，，解得：．......................12分
19.解：(1)由，，得，，
所以，所以；......................4分
(2)设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，
①，
所以．......................7分
②因为，所以，
则，
因为，
所以，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．......................12分
20.解：(1)设弦的两端点为，，，，
则，两式相减得到，
又，，所以直线斜率．
故求得直线方程为．......................6分
设，，，，，当时，
按照(1)的解法可得，①
由于，，，四点共线，得，②
由①②可得，整理得，
检验当时，，也满足方程，
故的中点的轨迹方程是．......................12分
21.证明：(1)连接，，，为中点．，
又，，
与 均为等边三角形，，
，，又平面 平面，
平面，．......................5分
(2)设，，，，
，，
又，，又平面平面，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，0，，，
，，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
则，令，解得，
，令，解得，，
故，1，，，1，，......................10分
设二面角的平面角为，则，
故，所以二面角的正弦值为．......................12分
22.解：(1)由题意，，解得．椭圆的方程为；.......4分
证明：(2)易得，要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且大于0，
设，即，，，，，，
联立，得．
△．，，......................7分
计算得，，于是，
，为定值-4．........12分河南省实验中学 2023--2024 学年上学期期中
试卷
年级:高二 科目：数学 命题人：宋苗珂 审题人：郭来鹏
（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.已知直线 l1 : y 3 2(x 2)，则 l1 在 y轴上的截距为 ( )
A． (0,1) B． (0, 1) C．1 D． 1
2.已知点M (1，2，3)，N (2，3，4)，P( 1，2，3)，若 PQ 3MN ，则Q的坐标是 ( )
A． ( 3， 2， 5) B． (3，4，1) C． ( 4， 1， 0) D． (2，5， 6)
3.已知三点 A(1,0)， B(0, 3)，C(2, 3)则 ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ( )
A 5 B 21 C 2 5． ． ． D 4．
3 3 3 3
x2 y24.双曲线C : 2 2 1的离心率为 2，且过点 ( 2 ， 3)，则双曲线的方程为 ( )a b
2 2 2
A． 2x2 y2 1 B． x2 y x y 1 C． 5x2 3y2 1 D． 1
3 2 6
5. F (1,0) x
2 y2
已知 为椭圆 1的焦点，P为椭圆上一动点，A(1,1)，则 | PA | | PF |的最
9 m
大值为 ( )
A． 6 5 B．6 C． 6 2 5 D． 6 3
6.若 a ( 1, x 1, x)，b (2 x,0,3)，且 a 与 b的夹角为钝角，则 x的取值范围是 ( )
A 1 1． ( , ) B． ( , ) C． ( , 1) ( 1, 1) D． (1 ,3) (3, )2 2 2 2
2 2
7. x y双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1， Fa b 2
．过 F2 作其中一条渐近线的
2
垂线，垂足为 P．已知 PF2 2，直线 PF1的斜率为 ，则双曲线的方程为 ( )4
x2A y
2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
． 1 B． 1 C． 1 D． 1
8 4 4 8 4 2 2 4
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8.已知 C : x2 y2 2x 2y 2 0，直线 l : x 2y 2 0，M 为直线 l上的动点，过点M
作 C的切线MA，MB，切点为 A， B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线 AB
的方程为 ( )
A． x 2y 1 0 B． x 2y 1 0 C． x 2y 1 0 D． x 2y 1 0
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）
2 2
9. x y已知椭圆C : 1,F1,F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点 P25 9
是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有 ( )
A．短轴长是 3 B．若 F1PF2 90 ，则△ F1PF2 的面积为 9
C e 4．离心率 D．△ F1PF2 的周长为 155
10.给出下列命题正确的是 ( )
A．直线 l a (3 1 2) b (2,1, 1的方向向量为 ， ， ，平面 的法向量为 )，则 l与 平
2
行
B 3 ．直线 xsin y 2 0的倾斜角 的取值范围是 [0, ] , 4 4
C．点 P(2,1)到直线的 ax (a 1)y a 3 0的最大距离为 2 10
D 2 1 2．已知 A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若OP OA OB OC，
5 5 5
则 P， A， B，C四点共面
11.已知点 P在圆 (x 5)2 (y 5)2 16上，点 A(4,0)， B(0,2)，则 ( )
A．点 P到直线 AB的距离小于 10 B．点 P到直线 AB的距离大于 2
C．当 PBA最小时， | PB | 3 2 D．当 PBA最大时， | PB | 3 2
12.若正方体的棱长为 2，点 P是正方体 ABCD A1B1C1D1 的底面 A1B1C1D1 上的一个动点
（含边界），Q是棱CC1的中点，则下列结论正确的是 ( )
A．若保持 PQC1 60
o 3 ，则点 P在底面 A1B1C1D1 内运动路径的长度为 2
B D PBQ 4．三棱锥 1 体积的最大值为 3
C 15．若 PQ BD，则二面角 B1 PQ C1的余弦值的最大值为 5
D．若 PQ BD，则 AB 2与 PQ所成角的余弦值的最大值为
3
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三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知直线 l1 : x ay 1， l2 : ax y 1，若 l1 / /l2 ，则 a ．
14.已知 A(1，2， 0)， B(3，1， 2)，C(2，0， 4)，则点O到平面 ABC的距离为 ．
15.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A， B是圆 x2 y2 6x 5 0上的两个动点，且满足
| AB | 2，记 AB中为M ，则 |OM |的最小值为 ．
2
16.设 B x是椭圆C : y22 1(a 1)的上顶点，若C上的任意一点 P都满足 | PB | 2，则Ca
的离心率的取值范围是 ．
四、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 题 10 分，其
余试题每题 12 分）
17.已知 ABC的顶点 B( 2,0)， AB边上的高所在的直线方程为 x 3y 26 0．
(1)求直线 AB的方程；
(2)若 BC边上的中线所在的直线方程为 y 3，求直线 AC 的方程．
18.已知点 A(0,3)，直线 l : y 2x 4．设圆C的半径为 1，圆心在 l上．
(1)若圆心C也在直线 y x 1上，过点 A作圆C的切线，求切线的方程：
(2)若圆C上存在点M ，使 |MA | 2 |MO |，求圆心C的横坐标 a的取值范围．
19.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为 60 ，我们将这种坐标系称为“斜
60 坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 60 坐标系”下向量的斜 60 坐标：
i , j ,k分别为“斜 60 坐标系”下三条数轴 (x轴、 y轴、 z轴）正方向的单位向量，若向
量 n xi yj zk ，则 n与有序实数组 (x， y， z)相对应，称向量 n的斜 60 坐标为 [x，
y， z] ，记作 n [x, y, z]．
(1) a 若 [1,2,3]， b [ 1,1,2]，求 a b 的斜 60 坐标；
(2)在平行六面体 ABCD ABC1D1中， AB AD 2， AA1 3， BAD BAA1 DAA1
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60 ，N为线段D1C1的中点．如图，以{AB, AD, AA1}为基底建立“空间斜 60 坐标系”．
①求 BN 的斜 60 坐标； ②若 AM [2, 2,0]，求 AM 与 BN 夹角的余弦值．
y220.给出双曲线 x2 1．
2
(1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；
(2)若过点 A(2,1)的直线 l与所给双曲线交于 P1， P2 两点，求线段 P1P2 的中点 P的轨迹方
程．
21.如图，三棱锥 A BCD中，DA DB DC， BD CD， ADB ADC 60 ， E为
BC中点．
(1)证明 BC DA；
(2)点 F 满足 EF DA，求二面角D AB F的正弦值．
2 2
22. x y 3已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，点 A(0,1)在C上．a b 2
(1)求C的方程；
(2) 1 1过点 E(2,1)的直线交C于点 P，Q两点，证明： 为定值．
kAP kAQ
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