2023-2024第一学期期中质量检测初四数学答题卡
姓名： 考号： 班级： 考场： 座号： 考号填涂区
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1234 5678 910
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
三、解答题（共72分）
18.（7分）
19.（8分）
17(7分)
11. 12. 13.
14. 15. 16.
20.（8分）
24.（12分）
23. （11分）
22. （10分）
21. （9分）
AD的长为 ．2023-2024 第一学期期中质量检测初四数学答题卡 18.（7 分）
考号填涂区
姓名：
考号：
班级：
考场：
座号：
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分）
1 5 9
2 6 10 19.（8 分）
3 7
4 8
二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18分）
11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、解答题（共 72分）
17(7 分)
20.（8 分）
21. （9 分）
AD 的长为 ．
24.（12 分）
22. （10 分）
23. （11 分）2023——2024第一学期初四数学期中质量检测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≠1 D．x＞1
2．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB＝（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（ ）
A．200米 B．米 C．米 D．米
4．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝（x＜0）的函数图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．﹣32 B．32 C．﹣12 D．16
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C．D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y＝ax2+|b|x+c，其对称轴为x＝﹣1，若，，（3，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3
10．如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（﹣）﹣1+（π﹣3）0+|1﹣|+sin45°sin30°＝ ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝ ．
（第12题） （第13题） （第15题）
13．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程x2+bx+c＝﹣8的根是 ．
14．已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
15．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，AO＝2BO，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k的值是 ．
16．把二次函数：y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为：y＝a（x+2）2+（a﹣1）2，若（b+c）取得最小值，则此时a＝ ．
三、解答题（共72分）
17．(7分)如图，一艘执法船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行30min到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周20km内有暗礁，问这艘执法船向东航行是否有触礁的危险？
18．（7分）如图，已知二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴，并写出该函数的解析式；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
19．（8分）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）
20．（8分）如图，一次函数y=kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（－4，0）.
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值.
21．（9分）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=4，BC=，求AD的长．小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：AD的长为 ．
（2）参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求BC和AD的长．
22．（10分）已知y=x2-4x+3，当时，函数y的最小值为，求m的值.
23．（11分）如图所示，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．初四数学期中试题答案
一、选择题：（30分）
1. D 2. B 3. C 4. A 5. A 6. A 7. D 8. B 9. A 10. A
二、填空题（18分）：
11. 12. 13. x1＝x2＝﹣2
14. k＜1且k≠0 15. ﹣1 16. 1
三、解答题：
17.（7分）
解：这艘执法船继续向东航行有触礁的危险， 1分
理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 2分
由题意得：AB＝40×＝20（千米），∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∵∠CBD是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB＝30°，
∴BA＝BC＝20千米，
在Rt△CBD中，CD＝BC sin60°＝20×＝10（千米）， 6分
∵10千米＜20千米，
∴这艘执法船继续向东航行有触礁的危险． 7分
18．（7分）解：（1）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
解得：h＝1，a＝﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 1分
∴该函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+； 3分
（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B， 4分
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，
在Rt△A′OB中，∠OA′B＝30°，
∴OB＝OA′＝1，
∴A′B＝OB＝，
∴A′点的坐标为（1，）， 6分
∴点A′为抛物线y＝﹣（x﹣1）2+的顶点． 7分
19．（8分）解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E， 1分
∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D两点的高度差为9m． 3分
（2）过点D作DF⊥AB于F ， 4分
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，
解得DF＝x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°＝＝，
解得， 7分
∴AB＝++9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m． 8分
20．（8分）
21.（9分）
（1）.AD的长为 6 ． 3分
（2）如图，延长AB与DC相交于点E． 4分
∵∠ABC＝∠BCD＝135°，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴BE＝CE，∠E＝90°．
设BE＝CE＝x，则BC＝x，AE＝9+x，DE＝3+x． 6分
在Rt△ADE中，∠E＝90°，
∵tanA＝，
∴＝，即＝，
∴x＝3． 8分
∴BC＝3，AE＝12，DE＝6，
∴AD＝＝＝6． 9分
22.（10分）
23．（11分）解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，）．
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c，得
，
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4． 2分
配方，得y＝﹣（x﹣6）2+10，
于是可得点D的坐标为（6，10）．
答：拱顶D到地面OA的距离为10m． 3分
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6， 6分
所以这辆货车能安全通过． 7分
（3）令y＝8，则﹣（x﹣6）2+10＝8， 8分
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2， 10分
于是有x1﹣x2＝4，
即两排灯的水平距离最小是4米．
答：两排灯的水平距离最小是4米． 11分
24．（12分）解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a＝﹣．
则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2． 2分
由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）； 4分
（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G， 5分
∴CD∥EG，
∴＝．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1． 6分
∴＝EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2． 8分
设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．
∴＝﹣（t﹣2）2+2． 10分
∵＜0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2， 11分
此时点E的坐标是（2，3）． 12分
