第二章平面解析几何 综合练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析）
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| 名称 | 第二章平面解析几何 综合练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-22 16:15:33 | ||
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文档简介
第二章平面解析几何综合练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则线段AB的中点坐标为( )
A． B． C． D．
2．设为实数，已知直线：，：，若，则（ ）
A． B．2 C．2或 D．5或
3．已知圆的圆心在直线上，且圆与两坐标轴都相切，则圆的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆与椭圆必定有（ ）
A．相等的长轴长 B．相等的焦距
C．相等的短轴长 D．相等的离心率
6．如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则菱形的面积与矩形的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为（ ）
A．7 B．10 C．8 D．9
8．已知椭圆（）的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线必过定点
D．过点在和轴上的截距相等的直线只有
10．已知圆，则（ ）
A．点在圆的内部 B．圆的直径为2
C．过点的切线方程为 D．直线与圆相离
11．已知曲线的方程为，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线关于轴对称 B．曲线关于原点中心对称
C．若动点在曲线上，则的最大值为 D．曲线与坐标轴交点围成四边形面积是2
12．已知曲线：是长轴与短轴分别在直线与上的椭圆.整点指的是横、纵坐标均为整数的点.则（ ）
A．的短轴长为
B．的焦距为
C．若点在上，则且
D．经过6个整点
三、填空题
13．已知椭圆的左顶点为，左焦点为F，过作轴的垂线在轴上方交椭圆于点B，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为 .
14．已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是
15．以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 .
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，的中点为，以为直径的圆与轴交于，两点，则有 值（填最大或最小），此时 ．
四、解答题
17．已知直线和圆．
(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
18．已知圆，点．
(1)直线l过点P且与圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)若动圆D经过点P且与圆C外切，求动圆的圆心D的轨迹方程；
(3)是否存在异于点P的点Q，使得对于圆C上任意一点M，均有为常数？若存在，求出点Q坐标和常数的值；若不存在，也请说明理由．
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知过右焦点的直线与交于两点，在轴上是否存在一个定点，使？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
20．已知点，在双曲线：上，过点作直线交双曲线于点，（不与点，重合）.证明：
(1)记点，当直线平行于轴，且与双曲线的右支交点为时，，，三点共线；
(2)直线与直线的交点在定圆上，并求出该圆的方程.
21．已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，.求抛物线的方程，并证明:.
22．已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作不与两坐标轴重合的直线，与交于不同的两点，，线段的中垂线与轴相交于点，求（为原点）的最小值，并求此时直线的方程.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由，，
利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标，即.
故选：A.
2．D
【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，求出的值，再代入检验即可.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，解得或，
当时直线：与直线：平行，符合题意；
当时直线：与直线：平行，符合题意.
综上可得：或.
故选：D
3．C
【分析】依题意可知圆方程可表示成的形式，逐一对比选项即可得出答案.
【详解】根据题意可设圆心坐标为，则半径，
所以圆的方程为，
显然A错误，C正确；
易知选项B可化为，可知B错误；
选项D可化为，可知D错误；
故选：C
4．C
【分析】设的中点为，根据中点坐标公式可得，进而将点的坐标代入曲线方程即可求解.
【详解】设的中点为，
因为，则，
因为点P在曲线上，
所以将代入曲线，
则，即，
所以的中点的轨迹方程是.
故选：C.
5．B
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得，再由椭圆的几何性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
所以椭圆中，，故AC错误；
且椭圆中的，
椭圆中的，
所以两椭圆的相等，即有相等的焦距，故B正确；
又离心率，两椭圆的不相等，相等，所以椭圆的离心率不相等，故D错误；
故选：B
6．C
【分析】根据几何关系列出有关的方程，再将面积比转化为的形式即可.
【详解】虚轴两端点为，两焦点为，
所以菱形的面积，
以为直径的圆内切于菱形，切点分别为
所以且
在中，用等面积法得：
，即，
所以，，
所以即，解得（负值舍去），
设矩形，
在中，用等面积法得：，所以，
且，即，.
所以矩形的面积，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中四边形面积相关问题的求解，解题关键是能够利用直线和圆相切的知识和等面积法，求得四边形的边长和之间的等量关系以及双曲线的离心率，从而将所求面积比转化为的形式，从而求得结果.
7．C
【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果.
【详解】根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以到轴的距离为．
故选：C
8．B
【分析】由题意可求得椭圆方程为，由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】由题意得，则，，
所以椭圆方程为，
因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点，
因为，即点为线段的中点，
设，显然，则，
，可得，
则，即，
所以，即直线的斜率，
所以直线为，即，
因为M为直线上任意一点，
所以的最小值为点到直线的距离，
故选：B.
9．AC
【分析】利用直线的相关知识，逐个选项分析即可.
【详解】对于A选项，当时，，故正确；
对于B选项，易知斜率为，故倾斜角为，故错误；
对于C选项，过定点需要和变量无关，令，解得即可，故正确；
对于D选项，这样的直线还有，举反例即可，故错误.
故选：AC
10．ACD
【分析】利用圆的标准方程，找到圆心和半径，利用直线和圆的位置关系判断即可.
【详解】A:将点代入圆：，所以点在圆内，故A正确；
B:圆的半径为，所以直径为，故B错误；
C:将代入圆：，所以点在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，当斜率不存在时，此时过点的直线为，满足，故只有唯一的切线方程，故C正确；
D:圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】对于：根据对称理解运算即可判断；对于：设，根据基本不等式求解即可判断；对于D，求得交点后即可判断.
【详解】对：曲线的上任一点关于原点的对称点为，
则，即在曲线上，
曲线关于原点中心对称，正确；
对：曲线的上任一点关于轴的对称点为，
则，即不在曲线上，
曲线不关于轴对称，错误；
对C：设，则，，
而，所以，
当且仅当或时，等号成立，即，C正确；
对D：由令，得，令，得，
则曲线与轴的交点为，与轴的交点为，
所以曲线与坐标轴交点围成四边形面积为，D正确.
故选：BCD．
12．ACD
【分析】求解椭圆的端点可得短轴长和焦距，根据方程配方可得范围，求出所有整点可得经过的整点数.
【详解】首先把这个椭圆“复原”为标准的椭圆方程.因为曲线的长轴在上，
由得，所以长轴的两个端点为，.
同理，短轴的两个端点为和.所以长轴长为，短轴长为，
在标准的椭圆方程()中，，，故，焦距为4，
从而A正确，B错误；
若在曲线上，则，得，所以，得.同理，，故C正确；
椭圆经过，，，，，这6个整点，故D正确，
故选：ACD.
13．
【分析】根据椭圆的性质，结合直线的斜率求解即可；
【详解】
由题意知，，
令，解得：，所以，
，
结合椭圆的性质，，
代入得：，
两边同时除以得：，
又因为，
解得：.
故答案为：.
14．
【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.
【详解】由题意可知，
代入双曲线方程有，
又的面积为，即，
所以双曲线方程为：，
设，
则，
同理，
因为，则，
故答案为：.
15．
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用圆过原点求出圆的半径即可求出圆的方程.
【详解】因为抛物线的焦点为的标准方程为，所以，所以焦点坐标是，
所以所求圆的圆心为，又圆过原点，所以圆的半径为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
16． 最大
【分析】首先作辅助线于点，并设，利用坐标表示，并求的最小值，结合几何关系，即可求解.
【详解】如图，由，可知，设，，，易知，
所以，过点作于点．设，
则,
所以当取最小值时，最小，
因为，所以当最小时，最小，最大，又得最小值为1，
所以，所以，所以，
所以．
故答案为：最大；
17．(1)相交，截得的弦长为2.
(2)或.
【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.
【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为.
（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
18．(1)或
(2)
(3)存在
【分析】（1）设直线方程为，由，结合可得圆心到直线的距离为，从而可求的，即可得解；
（2）设动圆的圆心D的坐标为，由动圆D经过点P且与圆C外切，可得，从而可得出所求；
（3）设，由点Q异于点P，得，根据两点之间的距离公式及已知化简整理即可得出结论.
【详解】（1）由题意知，直线的斜率必存在，设为k，
则直线方程为，
∵，∴，
又，则圆心到直线的距离为，
则，
则直线l的方程为或；
（2）设动圆的圆心D的坐标为，
由题意知，∴，
化简得：，即，
由于，所以，所以，解得，
所以动圆的圆心D的轨迹方程为；
（3）设，则，
因为点Q异于点P，则，
，
∵为常数且为任意一点，则，∴，
∴，∵，∴，
∴，
则当Q的坐标为时，为常数．
19．(1)
(2)存在，
【分析】（1）由离心率与定点代入椭圆方程，建立方程组待定系数即可；
（2）由条件转化为，设直线的方程为，将斜率坐标化，利用韦达定理代入，得到的等式，不论如何变化，等式恒成立求值即可.
【详解】（1）因为，所以.
所以椭圆的方程为.
因为点在椭圆上，所以，解得，
所以.
所以椭圆的标准方程为.
（2）存在定点，使.理由如下：
由（1）知，，则点.
设在轴上存在定点，使成立.
当直线斜率为时，直线右焦点的直线即轴与交于长轴两端点，
若，则，或.
当直线斜率不为时，设直线的方程为，.
由消去并整理，得，
则.
因为，所以，
所以，即.
所以，
即，
恒成立，
即对，恒成立，则，即.
又点满足条件.
综上所述，故存在定点，使.
20．(1)证明见解析.
(2)证明见解析；.
【分析】（1）根据题意求出点坐标，求出直线、的斜率相等，得证.
（2）根据题意可求出为定值，也为定值，所以在过的圆上，根据条件确定圆心和半径即可.
【详解】（1）由题意，当直线平行于轴时，方程为，
且与双曲线的右支交点为，则，
的斜率，
的斜率，
所以，，三点共线.
（2）
由题知直线斜率存在，且过，
设，
与双曲线联立得：
，且
则，
设直线与直线的交点为，斜率分别为，
则
，
，
在中，，，
由正弦定理得外接圆半径，
所以在过且半径为的圆上，设其圆心为，
因为，，在线段的中垂线上，
所以在轴上，设，
则由或舍，
所以定圆方程为.
21．，证明见解析.
【分析】根据给定的条件，利用抛物线定义求出p值，再结合斜率坐标公式计算推理即得.
【详解】点在抛物线上，且，而抛物线的准线为，
由抛物线的定义，得，解得，
所以抛物线的方程为，且点，
设点，得，同理，
，
于是，，即，
所以.
22．(1)
(2)24，或.
【分析】（1）利用长轴长及给定的点求出a，b即可作答.
（2）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，求出弦中点坐标及弦长，再求出点T的纵坐标并列式，借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）因为椭圆E：的长轴长为4，所以，
又点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，，设直线l的方程为，，
由消去x并整理得：，则，，
，
线段MN的中点，则线段的中垂线方程为：，
令，得，即点，，
当且仅当，即时取“=”，所以当时，取得最小值24，
此时直线l的方程为或.
答案第1页，共2页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则线段AB的中点坐标为( )
A． B． C． D．
2．设为实数，已知直线：，：，若，则（ ）
A． B．2 C．2或 D．5或
3．已知圆的圆心在直线上，且圆与两坐标轴都相切，则圆的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆与椭圆必定有（ ）
A．相等的长轴长 B．相等的焦距
C．相等的短轴长 D．相等的离心率
6．如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则菱形的面积与矩形的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为（ ）
A．7 B．10 C．8 D．9
8．已知椭圆（）的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线必过定点
D．过点在和轴上的截距相等的直线只有
10．已知圆，则（ ）
A．点在圆的内部 B．圆的直径为2
C．过点的切线方程为 D．直线与圆相离
11．已知曲线的方程为，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线关于轴对称 B．曲线关于原点中心对称
C．若动点在曲线上，则的最大值为 D．曲线与坐标轴交点围成四边形面积是2
12．已知曲线：是长轴与短轴分别在直线与上的椭圆.整点指的是横、纵坐标均为整数的点.则（ ）
A．的短轴长为
B．的焦距为
C．若点在上，则且
D．经过6个整点
三、填空题
13．已知椭圆的左顶点为，左焦点为F，过作轴的垂线在轴上方交椭圆于点B，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为 .
14．已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是
15．以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 .
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，的中点为，以为直径的圆与轴交于，两点，则有 值（填最大或最小），此时 ．
四、解答题
17．已知直线和圆．
(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
18．已知圆，点．
(1)直线l过点P且与圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)若动圆D经过点P且与圆C外切，求动圆的圆心D的轨迹方程；
(3)是否存在异于点P的点Q，使得对于圆C上任意一点M，均有为常数？若存在，求出点Q坐标和常数的值；若不存在，也请说明理由．
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知过右焦点的直线与交于两点，在轴上是否存在一个定点，使？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
20．已知点，在双曲线：上，过点作直线交双曲线于点，（不与点，重合）.证明：
(1)记点，当直线平行于轴，且与双曲线的右支交点为时，，，三点共线；
(2)直线与直线的交点在定圆上，并求出该圆的方程.
21．已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，.求抛物线的方程，并证明:.
22．已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作不与两坐标轴重合的直线，与交于不同的两点，，线段的中垂线与轴相交于点，求（为原点）的最小值，并求此时直线的方程.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由，，
利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标，即.
故选：A.
2．D
【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，求出的值，再代入检验即可.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，解得或，
当时直线：与直线：平行，符合题意；
当时直线：与直线：平行，符合题意.
综上可得：或.
故选：D
3．C
【分析】依题意可知圆方程可表示成的形式，逐一对比选项即可得出答案.
【详解】根据题意可设圆心坐标为，则半径，
所以圆的方程为，
显然A错误，C正确；
易知选项B可化为，可知B错误；
选项D可化为，可知D错误；
故选：C
4．C
【分析】设的中点为，根据中点坐标公式可得，进而将点的坐标代入曲线方程即可求解.
【详解】设的中点为，
因为，则，
因为点P在曲线上，
所以将代入曲线，
则，即，
所以的中点的轨迹方程是.
故选：C.
5．B
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得，再由椭圆的几何性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
所以椭圆中，，故AC错误；
且椭圆中的，
椭圆中的，
所以两椭圆的相等，即有相等的焦距，故B正确；
又离心率，两椭圆的不相等，相等，所以椭圆的离心率不相等，故D错误；
故选：B
6．C
【分析】根据几何关系列出有关的方程，再将面积比转化为的形式即可.
【详解】虚轴两端点为，两焦点为，
所以菱形的面积，
以为直径的圆内切于菱形，切点分别为
所以且
在中，用等面积法得：
，即，
所以，，
所以即，解得（负值舍去），
设矩形，
在中，用等面积法得：，所以，
且，即，.
所以矩形的面积，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中四边形面积相关问题的求解，解题关键是能够利用直线和圆相切的知识和等面积法，求得四边形的边长和之间的等量关系以及双曲线的离心率，从而将所求面积比转化为的形式，从而求得结果.
7．C
【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果.
【详解】根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以到轴的距离为．
故选：C
8．B
【分析】由题意可求得椭圆方程为，由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】由题意得，则，，
所以椭圆方程为，
因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点，
因为，即点为线段的中点，
设，显然，则，
，可得，
则，即，
所以，即直线的斜率，
所以直线为，即，
因为M为直线上任意一点，
所以的最小值为点到直线的距离，
故选：B.
9．AC
【分析】利用直线的相关知识，逐个选项分析即可.
【详解】对于A选项，当时，，故正确；
对于B选项，易知斜率为，故倾斜角为，故错误；
对于C选项，过定点需要和变量无关，令，解得即可，故正确；
对于D选项，这样的直线还有，举反例即可，故错误.
故选：AC
10．ACD
【分析】利用圆的标准方程，找到圆心和半径，利用直线和圆的位置关系判断即可.
【详解】A:将点代入圆：，所以点在圆内，故A正确；
B:圆的半径为，所以直径为，故B错误；
C:将代入圆：，所以点在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，当斜率不存在时，此时过点的直线为，满足，故只有唯一的切线方程，故C正确；
D:圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】对于：根据对称理解运算即可判断；对于：设，根据基本不等式求解即可判断；对于D，求得交点后即可判断.
【详解】对：曲线的上任一点关于原点的对称点为，
则，即在曲线上，
曲线关于原点中心对称，正确；
对：曲线的上任一点关于轴的对称点为，
则，即不在曲线上，
曲线不关于轴对称，错误；
对C：设，则，，
而，所以，
当且仅当或时，等号成立，即，C正确；
对D：由令，得，令，得，
则曲线与轴的交点为，与轴的交点为，
所以曲线与坐标轴交点围成四边形面积为，D正确.
故选：BCD．
12．ACD
【分析】求解椭圆的端点可得短轴长和焦距，根据方程配方可得范围，求出所有整点可得经过的整点数.
【详解】首先把这个椭圆“复原”为标准的椭圆方程.因为曲线的长轴在上，
由得，所以长轴的两个端点为，.
同理，短轴的两个端点为和.所以长轴长为，短轴长为，
在标准的椭圆方程()中，，，故，焦距为4，
从而A正确，B错误；
若在曲线上，则，得，所以，得.同理，，故C正确；
椭圆经过，，，，，这6个整点，故D正确，
故选：ACD.
13．
【分析】根据椭圆的性质，结合直线的斜率求解即可；
【详解】
由题意知，，
令，解得：，所以，
，
结合椭圆的性质，，
代入得：，
两边同时除以得：，
又因为，
解得：.
故答案为：.
14．
【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.
【详解】由题意可知，
代入双曲线方程有，
又的面积为，即，
所以双曲线方程为：，
设，
则，
同理，
因为，则，
故答案为：.
15．
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用圆过原点求出圆的半径即可求出圆的方程.
【详解】因为抛物线的焦点为的标准方程为，所以，所以焦点坐标是，
所以所求圆的圆心为，又圆过原点，所以圆的半径为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
16． 最大
【分析】首先作辅助线于点，并设，利用坐标表示，并求的最小值，结合几何关系，即可求解.
【详解】如图，由，可知，设，，，易知，
所以，过点作于点．设，
则,
所以当取最小值时，最小，
因为，所以当最小时，最小，最大，又得最小值为1，
所以，所以，所以，
所以．
故答案为：最大；
17．(1)相交，截得的弦长为2.
(2)或.
【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.
【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为.
（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
18．(1)或
(2)
(3)存在
【分析】（1）设直线方程为，由，结合可得圆心到直线的距离为，从而可求的，即可得解；
（2）设动圆的圆心D的坐标为，由动圆D经过点P且与圆C外切，可得，从而可得出所求；
（3）设，由点Q异于点P，得，根据两点之间的距离公式及已知化简整理即可得出结论.
【详解】（1）由题意知，直线的斜率必存在，设为k，
则直线方程为，
∵，∴，
又，则圆心到直线的距离为，
则，
则直线l的方程为或；
（2）设动圆的圆心D的坐标为，
由题意知，∴，
化简得：，即，
由于，所以，所以，解得，
所以动圆的圆心D的轨迹方程为；
（3）设，则，
因为点Q异于点P，则，
，
∵为常数且为任意一点，则，∴，
∴，∵，∴，
∴，
则当Q的坐标为时，为常数．
19．(1)
(2)存在，
【分析】（1）由离心率与定点代入椭圆方程，建立方程组待定系数即可；
（2）由条件转化为，设直线的方程为，将斜率坐标化，利用韦达定理代入，得到的等式，不论如何变化，等式恒成立求值即可.
【详解】（1）因为，所以.
所以椭圆的方程为.
因为点在椭圆上，所以，解得，
所以.
所以椭圆的标准方程为.
（2）存在定点，使.理由如下：
由（1）知，，则点.
设在轴上存在定点，使成立.
当直线斜率为时，直线右焦点的直线即轴与交于长轴两端点，
若，则，或.
当直线斜率不为时，设直线的方程为，.
由消去并整理，得，
则.
因为，所以，
所以，即.
所以，
即，
恒成立，
即对，恒成立，则，即.
又点满足条件.
综上所述，故存在定点，使.
20．(1)证明见解析.
(2)证明见解析；.
【分析】（1）根据题意求出点坐标，求出直线、的斜率相等，得证.
（2）根据题意可求出为定值，也为定值，所以在过的圆上，根据条件确定圆心和半径即可.
【详解】（1）由题意，当直线平行于轴时，方程为，
且与双曲线的右支交点为，则，
的斜率，
的斜率，
所以，，三点共线.
（2）
由题知直线斜率存在，且过，
设，
与双曲线联立得：
，且
则，
设直线与直线的交点为，斜率分别为，
则
，
，
在中，，，
由正弦定理得外接圆半径，
所以在过且半径为的圆上，设其圆心为，
因为，，在线段的中垂线上，
所以在轴上，设，
则由或舍，
所以定圆方程为.
21．，证明见解析.
【分析】根据给定的条件，利用抛物线定义求出p值，再结合斜率坐标公式计算推理即得.
【详解】点在抛物线上，且，而抛物线的准线为，
由抛物线的定义，得，解得，
所以抛物线的方程为，且点，
设点，得，同理，
，
于是，，即，
所以.
22．(1)
(2)24，或.
【分析】（1）利用长轴长及给定的点求出a，b即可作答.
（2）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，求出弦中点坐标及弦长，再求出点T的纵坐标并列式，借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）因为椭圆E：的长轴长为4，所以，
又点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，，设直线l的方程为，，
由消去x并整理得：，则，，
，
线段MN的中点，则线段的中垂线方程为：，
令，得，即点，，
当且仅当，即时取“=”，所以当时，取得最小值24，
此时直线l的方程为或.
答案第1页，共2页
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