1.2空间向量基本定理 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2空间向量基本定理 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-22 16:17:14 | ||
图片预览
文档简介
1.2空间向量基本定理同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知在三棱锥中，M，N分别是AB和PC的中点．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是空间的一个基底，，，若，则（ ）
A． B．0 C．5 D．6．
3．在平行六面体中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
6．平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，四棱柱：的各个面都是平行四边形，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四面体OABC中，．点M在OA上，，N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若是空间的一个基底，则下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
10．下列各选项中，不正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．对于非零向量
C．若共线，则
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得
D．如果，是两个单位向量，则
12．如图，在四棱锥中，，，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 .
14．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的体对角线的长为 ．
15．如图，空间四边形OABC中，点M，N分别在OA，BC且，若，则 ．
四、双空题
16．手工课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，底边和侧棱长均为4，则该正四棱锥的高为 ；过点作一个平面进行切割，分别交于点、、，得到四棱锥，若，则的值为 .
五、解答题
17．如图，在三棱锥中，，，点M，N分别是，的中点
(1)求的值；
(2)求异面直线，所成角的余弦值.
18．如图，平行六面体中，，，，，E是BC的中点．令，，．
(1)用，，表示向量；
(2)求的长．
19．在四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．
(1)用表示；
(2)用向量方法证明：E，F，G，H四点共面
20．如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求的值.
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.
(1)利用空间向量证明；
(2)求的长.
22．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面.
(1)设，，，试用基底表示向量；
(2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据向量的线性运算法则求解．
【详解】因为，M，N分别是PC和AB的中点，
所以，
故选：C．
2．D
【分析】利用空间向量基底的概念及共线定理计算即可.
【详解】易知，
因为，所以存在实数，使得，
所以，
所以，所以．
故选：D．
3．B
【分析】根据空间向量基本定理可得答案．
【详解】.
故选：B.
4．B
【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底.
【详解】因为平面，平面，
所以，．
因为,即两两垂直，
又，，，
所以空间的一个单位正交基底可以为．
故选：B.
5．B
【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案.
【详解】正方体中，点为上底面的中心，
所以，
故，
因为，所以，.
故选：B.
6．C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意
，
又，所以，.
故选：C
7．B
【分析】由空间向量加减法则，结合几何体对应线段的位置关系用表示出即可.
【详解】由.
故选：B
8．B
【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.
【详解】
.
故选：B.
9．BC
【分析】利用空间向量基底的概念判断可得出结论.
【详解】因为是空间的一个基底，
对于A选项，，则、、共面，A不满足；
对于B选项，假设、、共面，则存在、，
使得，
所以，、、共面，矛盾，假设不成立，
所以，、、可以构成空间中的一组基底，B满足；
对于C选项，假设、、共面，
则存在、，使得，
因为是空间的一个基底，则，该方程组无解，
所以，假设不成立，故、、可以构成空间中的一组基底，C满足；
对于D选项，因为，则、、共面，D不满足.
故选：BC.
10．ACD
【分析】由空间向量的概念和运算对选项逐一判断.
【详解】解：A选项：若是空间任意四点，则有，故A错误；
B选项：因为，且向量夹角范围为，所以，故B正确；
C选项：若共线，则或四点共线，故C错误；
D选项：对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），
则,即
当时，，此时四点共面，
当时，此时四点不共面，故D错误.
故选：ACD
11．BD
【分析】根据共线向量、空间向量的基本定理、基底、单位向量概念等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】对于，因为是空间的一组基底，所以,,为不共线的非零向量，故选项错误;
对于，因为,所以与共线，故,与任何向量都不能构成空间的一个基底，故选项正确;
对于，当为空间的一组基底时，对于空间任一向量，则存在唯一的有序实数组，使得，故选项错误;
对于，若,都是单位向量，则模长都为，故，故选项正确.
故选：.
12．BC
【分析】利用空间向量的基本定理可得出、、、关于的表达式.
【详解】对于A选项，
，故A错误；
对于B选项，
，故B正确；
对于C选项，，
故C正确；
对于D选项，，故D错误.
故选：BC.
13．/
【分析】根据给定条件，可得点在平面内，再求出正四面体的高即可.
【详解】由点满足，其中，得点在平面内，
因此的最小值即为正四面体的底面上的高，令点在底面上的射影为，
则为正的中心，，
所以的最小值为.
故答案为：
14．
【分析】在晶胞各顶点标上字母，由空间向量基本定理得出，将两边平方，结合空间向量数量积的运算法则，计算即可．
【详解】在晶胞各顶点标上字母，如图所示，
则，
由题可知，，，，，
所以
，
故，
故答案为：．
15．
【分析】结合图形，利用向量加减法的多边形与三角形法则即可得出．
【详解】
，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】第一空，作辅助线作出四棱锥的高，并利用勾股定理求出其长；第二空，用向量表示，结合已知可得，根据空间四点共面的结论可得，求得，继而求得答案.
【详解】设，交于点，连接，
由于为正四棱锥，故为四棱锥的高，
由底边和侧棱长均为可得，，
所以；
第二空，，
设，则，
由于、、、四点共面，故，解得，
故，则.
故答案为：；
17．(1)-14
(2)
【分析】（1）由余弦定理求出，，利用表达出，从而求出；
（2）方法一：在（1）的基础上，求出，利用求出答案；
方法二：作出辅助线，找到异面直线，所成角为或其补角，求出各边，利用余弦定理求出答案.
【详解】（1）选取一个基底，
由题意得，，
，
，
因为，
所以
.
（2）方法一：由（1）知，，
所以
所以
，
所以.
即异面直线，所成角的余弦值为.
方法二：取的中点E，连接，，如图，
因为点M是的中点，所以，且，
故异面直线，所成的角为或其补角.
因为，，点M，N分别是，的中点，
所以，⊥，⊥，⊥，
由勾股定理得，
所以，，
由勾股定理得，
在中，，
即异面直线，所成角的余弦值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量基本定理求出答案；
（2）先计算出，，，从而利用求出答案.
【详解】（1）；
（2）因为，，
，，
所以，，同理，
．
19．(1)，
(2)证明过程见解析
【分析】（1）运用空间向量基本定理进行求解即可；
（2）根据空间向量共面定理进行证明即可.
【详解】（1）因为E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点，
所以，
；
（2）因为E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点，
所以，，所以，
所以E，F，G，H四点共面.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明；
（2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）证明：
，
∴，，，四点共面.
（2）
，
∴，，，
∴.
21．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论；
（2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案.
【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
22．(1)
(2)为定值
【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解；
（2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值.
【详解】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以，
故；
（2）由（1）知，，又，
所以，
则，
，，
设，又，
则，
因为平面，则存在实数，使得，
故，
所以
，
故，
整理得，，
当时，，解得，
当时，由，
解得或，
综上，，
所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为，
故为定值，.
【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知在三棱锥中，M，N分别是AB和PC的中点．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是空间的一个基底，，，若，则（ ）
A． B．0 C．5 D．6．
3．在平行六面体中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
6．平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，四棱柱：的各个面都是平行四边形，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四面体OABC中，．点M在OA上，，N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若是空间的一个基底，则下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
10．下列各选项中，不正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．对于非零向量
C．若共线，则
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得
D．如果，是两个单位向量，则
12．如图，在四棱锥中，，，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 .
14．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的体对角线的长为 ．
15．如图，空间四边形OABC中，点M，N分别在OA，BC且，若，则 ．
四、双空题
16．手工课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，底边和侧棱长均为4，则该正四棱锥的高为 ；过点作一个平面进行切割，分别交于点、、，得到四棱锥，若，则的值为 .
五、解答题
17．如图，在三棱锥中，，，点M，N分别是，的中点
(1)求的值；
(2)求异面直线，所成角的余弦值.
18．如图，平行六面体中，，，，，E是BC的中点．令，，．
(1)用，，表示向量；
(2)求的长．
19．在四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．
(1)用表示；
(2)用向量方法证明：E，F，G，H四点共面
20．如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求的值.
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.
(1)利用空间向量证明；
(2)求的长.
22．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面.
(1)设，，，试用基底表示向量；
(2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据向量的线性运算法则求解．
【详解】因为，M，N分别是PC和AB的中点，
所以，
故选：C．
2．D
【分析】利用空间向量基底的概念及共线定理计算即可.
【详解】易知，
因为，所以存在实数，使得，
所以，
所以，所以．
故选：D．
3．B
【分析】根据空间向量基本定理可得答案．
【详解】.
故选：B.
4．B
【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底.
【详解】因为平面，平面，
所以，．
因为,即两两垂直，
又，，，
所以空间的一个单位正交基底可以为．
故选：B.
5．B
【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案.
【详解】正方体中，点为上底面的中心，
所以，
故，
因为，所以，.
故选：B.
6．C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意
，
又，所以，.
故选：C
7．B
【分析】由空间向量加减法则，结合几何体对应线段的位置关系用表示出即可.
【详解】由.
故选：B
8．B
【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.
【详解】
.
故选：B.
9．BC
【分析】利用空间向量基底的概念判断可得出结论.
【详解】因为是空间的一个基底，
对于A选项，，则、、共面，A不满足；
对于B选项，假设、、共面，则存在、，
使得，
所以，、、共面，矛盾，假设不成立，
所以，、、可以构成空间中的一组基底，B满足；
对于C选项，假设、、共面，
则存在、，使得，
因为是空间的一个基底，则，该方程组无解，
所以，假设不成立，故、、可以构成空间中的一组基底，C满足；
对于D选项，因为，则、、共面，D不满足.
故选：BC.
10．ACD
【分析】由空间向量的概念和运算对选项逐一判断.
【详解】解：A选项：若是空间任意四点，则有，故A错误；
B选项：因为，且向量夹角范围为，所以，故B正确；
C选项：若共线，则或四点共线，故C错误；
D选项：对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），
则,即
当时，，此时四点共面，
当时，此时四点不共面，故D错误.
故选：ACD
11．BD
【分析】根据共线向量、空间向量的基本定理、基底、单位向量概念等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】对于，因为是空间的一组基底，所以,,为不共线的非零向量，故选项错误;
对于，因为,所以与共线，故,与任何向量都不能构成空间的一个基底，故选项正确;
对于，当为空间的一组基底时，对于空间任一向量，则存在唯一的有序实数组，使得，故选项错误;
对于，若,都是单位向量，则模长都为，故，故选项正确.
故选：.
12．BC
【分析】利用空间向量的基本定理可得出、、、关于的表达式.
【详解】对于A选项，
，故A错误；
对于B选项，
，故B正确；
对于C选项，，
故C正确；
对于D选项，，故D错误.
故选：BC.
13．/
【分析】根据给定条件，可得点在平面内，再求出正四面体的高即可.
【详解】由点满足，其中，得点在平面内，
因此的最小值即为正四面体的底面上的高，令点在底面上的射影为，
则为正的中心，，
所以的最小值为.
故答案为：
14．
【分析】在晶胞各顶点标上字母，由空间向量基本定理得出，将两边平方，结合空间向量数量积的运算法则，计算即可．
【详解】在晶胞各顶点标上字母，如图所示，
则，
由题可知，，，，，
所以
，
故，
故答案为：．
15．
【分析】结合图形，利用向量加减法的多边形与三角形法则即可得出．
【详解】
，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】第一空，作辅助线作出四棱锥的高，并利用勾股定理求出其长；第二空，用向量表示，结合已知可得，根据空间四点共面的结论可得，求得，继而求得答案.
【详解】设，交于点，连接，
由于为正四棱锥，故为四棱锥的高，
由底边和侧棱长均为可得，，
所以；
第二空，，
设，则，
由于、、、四点共面，故，解得，
故，则.
故答案为：；
17．(1)-14
(2)
【分析】（1）由余弦定理求出，，利用表达出，从而求出；
（2）方法一：在（1）的基础上，求出，利用求出答案；
方法二：作出辅助线，找到异面直线，所成角为或其补角，求出各边，利用余弦定理求出答案.
【详解】（1）选取一个基底，
由题意得，，
，
，
因为，
所以
.
（2）方法一：由（1）知，，
所以
所以
，
所以.
即异面直线，所成角的余弦值为.
方法二：取的中点E，连接，，如图，
因为点M是的中点，所以，且，
故异面直线，所成的角为或其补角.
因为，，点M，N分别是，的中点，
所以，⊥，⊥，⊥，
由勾股定理得，
所以，，
由勾股定理得，
在中，，
即异面直线，所成角的余弦值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量基本定理求出答案；
（2）先计算出，，，从而利用求出答案.
【详解】（1）；
（2）因为，，
，，
所以，，同理，
．
19．(1)，
(2)证明过程见解析
【分析】（1）运用空间向量基本定理进行求解即可；
（2）根据空间向量共面定理进行证明即可.
【详解】（1）因为E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点，
所以，
；
（2）因为E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点，
所以，，所以，
所以E，F，G，H四点共面.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明；
（2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）证明：
，
∴，，，四点共面.
（2）
，
∴，，，
∴.
21．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论；
（2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案.
【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
22．(1)
(2)为定值
【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解；
（2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值.
【详解】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以，
故；
（2）由（1）知，，又，
所以，
则，
，，
设，又，
则，
因为平面，则存在实数，使得，
故，
所以
，
故，
整理得，，
当时，，解得，
当时，由，
解得或，
综上，，
所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为，
故为定值，.
【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页