1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（含解析）

1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点、，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ）

A． B． C． D．
3．已知，，则=（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，已知点，，若与方向相反，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知空间向量，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正四棱柱的底面边长为，高为，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
8．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．与是共线向量
C．和夹角的余弦值是0 D．与同向的单位向量是
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则在上的投影向量为
B．若G是四面体OABC的底面的重心，则
C．若，则A，B，C，G四点共面
D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底 下的坐标为，则在基底下的坐标为
11．已知，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．棱长为1的正四面体内有一点，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 .
14．已知向量，，若，则 ．
15．在空间直角坐标系中，的坐标为，的坐标为，关于轴的对称点为，则 ．
16．空间两点，间的距离是 ，点关于面的对称点坐标为 ．
四、解答题
17．在空间直角坐标系中，已知、、.
(1)若点满足，求；
(2)求的面积.
18．已知空间三点，，，设，，．
(1)判断的形状；
(2)若，求的值．
19．已知向量，，为坐标原点，点，.
(1)求
(2)若点在直线上，且，求点的坐标．
20．已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：.
(1)求；
(2)若，求x的值；
(3)若D点在平面ABC上，直接写出x的值.
21．如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．

(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
22．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．

(1)是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
(2)若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积；
(3)求三棱锥的外接球半径的最小值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】由终点坐标减去起点坐标可得结果.
【详解】因为、，
所以，
故选：C.
2．C
【分析】以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系,从而在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量.
【详解】∵平面,，
∴,,
故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令.

则，
则，
∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为.
故选：C.
3．C
【分析】根据给定条件，用空间向量的减法运算即可求.
【详解】由，，可得.
故选：C
4．B
【分析】向量的坐标与模长运算，直接求即可.
【详解】依题意，，
设，
则，
解得舍去，
则
故选：B
5．D
【分析】利用空间向量的数量积和夹角的坐标表示求解即可.
【详解】因为，
且，所以，
故选:D.
6．A
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积可得，即可得答案.
【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、、、、、，
因为
则对任意，，
均有，
所以集合，只有一个元素.
故选：A.
7．C
【分析】求出关于平面的对称点的坐标，然后可得光线所走的路程.
【详解】点关于平面的对称点，
一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是.
故选：C.
8．D
【分析】根据投影向量的公式计算.
【详解】.
故选：D.
9．ACD
【分析】根据空间距离、空间向量共线、夹角、单位向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，
所以，A选项正确.
，所以与是不共线，B选项错误.
，所以和夹角的余弦值是0，C选项正确.
与同向的单位向量是，D选项正确.
故选：ACD
10．BD
【分析】对于A：根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解；对于B：根据重心坐标公式分析判断；对于C：根据四点共面的结论分析判断；对于D：根据空间向量基本定理分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即是单位向量，
且，所以在上的投影向量为，故A错误；
对于选项B：设，，，，
则，，，
又因为G是底面的重心，则，
所以成立，故B正确；
对于选项C：因为，但，
所以A，B，C，G四点不共面，故C错误；
对于选项D：设在基底下的坐标为，则，
因为在基底下的坐标为，所以，解得，
所以在基底下的坐标为，即D正确.
故选：BD.
11．ABD
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，以及空间向量垂直的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由向量，可得，
所以向量与不共线，所以A不正确；
对于B中，由向量，可得，
所以向量与不共线，所以B不正确；
对于C中，由向量，可得，
所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，
所以向量与不垂直，所以D不正确.
故选：ABD.
12．ABC
【分析】将正四面体放进正方体中，则是正方体的中心，求出点的坐标，利用空间向量法计算可得.
【详解】如图将正四面体放进正方体中，则是正方体的中心，
又正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为，
所以，，，，，

所以，，，
，
所以，故A正确；
又，所以，故B正确；
因为，所以，
所以，故C正确；
，故D错误；
故选：ABC
13．
【分析】先求出向量，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算、模的坐标运算公式求解即可得出结果.
【详解】根据题意可得，所以，
则；
因此向量在上的投影向量为，
因此投影向量的坐标为.
故答案为：
14．
【分析】根据向量的垂直的数量积运算求解.
【详解】因为，
所以，
解得，
故答案为：
15．
【分析】根据题意，求得关于轴的对称点的坐标，结合空间中两点间距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为的坐标为，则关于轴的对称点，
所以.
故答案为：
16．
【分析】根据空间两点间的距离公式、空间点对称等知识求得正确答案.
【详解】，两点间的距离为.
点关于面的对称点坐标为.
故答案为：；
17．(1)
(2)
【分析】（1）设点，由可得出关于、、的方程组，可解出点的坐标，可得出向量，再利用空间向量的模长公式可求得的值；
（2）利用空间向量数量积的坐标运算求出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：设点，因为，则，
所以，，解得，即点，
所以，，故.
（2）解：，，
所以，，则为锐角，
所以，，
因此，.
18．(1)△ABC为直角三角形
(2)2
【分析】(1)利用空间中两点的距离公式结合勾股定理知识可判断三角形形状；
(2)由空间向量的坐标运算求出的坐标，再结合求出k值即可.
【详解】（1）由题意得，，，
，所以为直角三角形；
（2）由题意得，，，
，
因为，所以，
解得.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由空间向量坐标运算计算可得，
（2）根据题意先求出，在利用，计算可得.
【详解】（1），
故．
（2）由题意，可设．
由，得，
所以，解得．
因此点的坐标为.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据空间向量的模求得正确答案.
（2）根据向量垂直列方程，化简求得的值.
（3）根据向量共面列方程，从而求得的值.
【详解】（1）.
（2），
由于，所以，
解得.
（3），
设，即，
所以，解得.
21．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由条件列式可求得点坐标；
（2）利用空间向量的数量积的坐标运算证明即可．
【详解】（1）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则．
设，，,
∵，∴，
解得，，，故点的坐标为．

（2）由（1）知，，
∵，∴．
22．(1)存在点G为的中点，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）存在一点G，当点G为的中点，连接，利用三角形中位线和平行线的传递性得到，再利用线面平行的判定即可证明结论；
（2）首先根据题意得到，再求出，根据计算即可；
（3）建立空间直角坐标系，首先确定球心在上，设外接球球心为，设，，得出的坐标，设，由，得出，求出的范围，再由即可求出的最小值．
【详解】（1）存在一点G，当点G为的中点，使得面，
连接，如图所示：

∵点分别是的中点，，
又，且，
∴四边形是平行四边形，，，
又∵平面，且平面EFG，∴平面．
（2）取的中点，连接，，由题意可知，平面，且，
是直线与平面所成的角，即，

在中，，
∴在中，，
又
，
．
（3）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，

则，
所以，，
因为，，
所以，即，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球球心为，
设，，则的坐标为，
设，
则，即，
所以，
设，则，则，
而，当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以，
三棱锥的外接球的半径
，
因为，所以，所以，
三棱锥的外接球半径的最小值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页