1.4空间向量的应用 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析）

1.4空间向量的应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若两异面直线与的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ）
A．
B．点D到平面的距离为
C．点D到直线的距离为
D．平面与平面夹角的余弦值为
4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
5．设三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，，，，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四棱雉的底面是边长为3的正方形，，且，为上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，点在线段上运动，以下四个命题中正确的是（ ）

A．平面截正方体所得的截面图形是五边形
B．直线到平面的距离是
C．存在点，使得
D．面积的最小值是
11．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若是直线l的方向向量，是直线m的方向向量，则l与m垂直
B．若）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则
C．若，分别为平面，的法向量，则
D．若存在实数x，y，使，则P，M，A，B共面
12．下列说法，不正确的是（ ）
A．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量
B．若是直线的方向向量，则（）也是直线的方向向量
C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
D．对空间任意一点和不共线的三点，若，则，，，四点共面
三、填空题
13．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成的角是 .

14．已知圆台的体积为，且其上、下底面半径分别为1，2，若为下底面圆周的一条直径，为上底面圆周上的一个动点，则 ．
15．如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点．那么异面直线AF和CE所成角的余弦值等于 .

16．在空间直角坐标系中，已知，，，，，，，均在球的表面上.若点在平面内，且，平面，则 ；球的半径为 .
四、解答题
17．如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.
18．在如图所示的多面体MNABCD中，四边形ABCD是边长为的正方形，其对角线的交点为Q，平面ABCD，，，点P是棱DM 的中点.

(1)求证：；
(2)求直线CN和平面AMN所成角的正弦值.
19．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．

(1)证明：平面；
(2)求到面的距离．
20．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．

(1)求证：平面平面．
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．
21．如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．

(1)若平面，求证：为的中点；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
22．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为菱形，，，．

(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)若点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】设异面直线与所成的角为，根据，即可求解.
【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，，
可得，，，
设异面直线与所成的角为，则，
又因为，所以，
即直线与的夹角为.
故选：A.
2．B
【分析】根据点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】，则点到直线的距离为：
.
故选：B
3．C
【分析】根据给定条件，求出图1中点 A,B,D,M的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答.
【详解】在图1中，由，得，，，，
在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，得，A正确．
设平面的法向量为，，
则，即，取，则，，
所以平面的一个法向量，
所以点D到平面的距离为，B正确．
取，，
则，，所以点D到直线的距离为，C错误．
平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为，D正确.
故选：C.
4．C
【分析】根据线面垂直，可知，由此可得两向量坐标之间有倍数关系，即可求得答案.
【详解】当时，，所以，
则，解得，．
故选：C．
5．A
【分析】根据题意以SA，SB，SC为棱构造长方体，建系，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】因为三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，且，，，
以SA，SB，SC为棱构造长方体，则，解得，
如图，以A为原点，AE为x轴，AG为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
可知球心O是SF的中点，则，
可得，，.
设平面ABC的法向量，则，
令，则，可得，
所以球心O到平面ABC的距离为.
故选：A.
6．B
【分析】根据向量法即可建立空间直角坐标系求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则,
所以，则，
故与所成的角的余弦值为，
故选：B
7．C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】由于，
所以，由于平面，
所以平面，而四边形是正方形，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：C

8．B
【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据垂直关系得到，确定平面的法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设， ，即，
平面的一个法向量为，
则，
，当时，最大为，，此时最大为.
故选：B
9．AD
【分析】由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的垂直与平行．
【详解】，则，，即，A正确，B错误；
，则，，解得，C错误，D正确．
故选：AD．
10．ACD
【分析】作出截面图形判断A；利用等积法可判断B，利用坐标法可判断CD.
【详解】对于A，如图直线与、的延长线分别交于、，
连接、分别交、于、，连接、，

则五边形即为所得的截面图形，故A正确；
对于B，由题可知，平面，平面，
所以平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，

设点到平面的距离为，由正方体的棱长为，
可得，，，
所以，
，
所以由，可得，
所以直线到平面的距离是，故B错误；
对于C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，

设，其中，所以，
又、、，
所以，，，
假设存在点，使得，
，整理得，
所以（舍去）或，
故存在点，使得，故C正确；
对于D ，由上知，所以点在的射影为，
所以点到的距离为：
，
所以当时，，
故面积的最小值是，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：本题C选项考查直线到平面的距离，一般转化为点到平面的距离来求解，求点到平面的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
11．AD
【分析】根据空间向量的坐标运算和相关概念结合空间中线面关系逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，
可知，所以l与m垂直，故A正确；
对于选项B：因为，
可知，所以或∥，故B错误；
对于选项C：因为，
所以平面，不相互垂直，故C错误；
对于选项D：若存在实数x，y，使，
则为共面向量，所以P，M，A，B共面，故D正确；
故选：AD.
12．BD
【分析】根据法向量的定义即可判断A；根据直线的方向向量的定义即可判断B；根据平面向量共面定理结合空间向量基本定理即可判断C；根据共面向量定理的推论即可判断D.
【详解】对于A，因为垂直平面，
所以是坐标平面的一个法向量，故A正确；
对于B，当时，不是直线的方向向量，故B错误；
对于C，因为为空间的一个基底，所以不共面，
假设共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，
所以，方程组无解，
所以不存在实数对，使得，
所以不共面，
所以构成空间的另一个基底，故C正确；
对于D，若，
则当且仅当时，，，，四点共面，
而，，
所以，，，四点不共面，故D错误.
故选：BD.
13．/
【分析】建立空间坐标系，利用向量垂直即可求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，
则,
所以,
故，
所以，故异面直线ON，AM所成的角为，
故答案为：

14．12
【分析】先根据体积公式求高再根据两点间距离计算即可.
【详解】设圆台的高为，则，解得，
以AB所在直线为x轴，过O垂直AB为y轴，过O垂直下底面为z轴,
则，则，
所以．

故答案为：12.
15．/
【分析】设，，，结合题意可得，，进而利用空间向量的数量积定义及运算性质求解即可.
【详解】设，，，
因为点E，F分别是AB，CD的中点，
所以，
，
因为，且，所以，
又，则，
所以，即，
又，，
所以，
，
，
所以,
所以异面直线AF和CE所成角的余弦值为.
故答案为：.
16． /
【分析】根据已知可推得点是的中心，根据重心定理得出点坐标.根据线面垂直列出方程组，求出的值，即可得出.根据已知确定球心的位置，进而根据正弦定理得出即外接圆的半径，然后根据勾股定理列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，，
所以，，即为等边三角形.
又点在平面内，且，
所以，点为的外心，也是的中心，
所以，点为的重心.
由重心定理可得，，.
又平面，
所以有，即，
解得，
所以，.

如图，由已知可推得，球心在线段上，设半径为，外接圆的半径为.
由正弦定理可得，，则.
又，所以有.
又，
所以有，解得.
故答案为：；.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，点为中点，证明见解析
【分析】（1）先利用面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）设，由求出，再利用空间向量法求解即可.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面,
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直，
以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，，
所以，.
则，，,，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取得，
因为平面，所以为平面的一个法向量，，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值．
（3）线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下：
设，
因为，
所以，
由（2）知平面的一个法向量为，
因为平面，
所以，解得，
所以线段上存在点，点为中点，满足平面.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面ABCD可得，结合可得平面，进而求证；
（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：因为，所以四点共面．
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面，而平面，
所以．
（2）由题意，，，互相垂直，
所以分别以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
则，，，
设平面的法向量为，
所以由，得，
令，可得，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线CN和平面AMN所成角的正弦值为.

19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可；
（2）利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可.
【详解】（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以，
又因为，所以，
所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量为，
又因为，
所以到面的距离为．
20．(1)证明见解析
(2)不存在满足条件的点M，理由见解析点
【分析】（1）利用面面垂直的判断定理可证平面平面；
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量法可判断是否存在.
【详解】（1）平面，平面，
平面平面．
（2）设的中点为，连接，
因为是正三角形，故，
而平面平面，平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
由四边形为正方形且分别为的中点得，
故可以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
故，，，
，，．
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，
且，则，
，．
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
，
整理可得，方程无解，
故假设不成立，即不存在满足条件的点．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据平面，利用线面平行的性质定理得到，再根据是线段的中点证明；
（2）取的中点，连接，则，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，
设，得到，再由得， 设平面的一个法向量为，求得点到平面的距离，然后由求解．
【详解】（1）证明：如图所示：

连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，因为是线段的中点，所以为的中点
（2）取的中点，连接，则，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，所以，
取，
设，则，
则，整理得，
解得或舍去，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以
取，又，
则点到平面的距离即点到平面的距离为：
，
由已知条件，在中，，
可得，
，
所以，．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明即可；
（2）先证明两两垂直建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量，再设出动点坐标，最后根据线面角求出边长即可.
【详解】（1）因为底面是菱形，
所以，
因为平面，平面
所以平面，
因为平面与平面的交线为，且平面，
所以.
（2）取中点，连接，，则 ，
所以，
所以，
因为侧面为等边三角形，
所以 ，
因为 ，且平面，平面，
所以平面 ，
以点 为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，，
设平面的法向量为 ，则
，
令，，所以 ，
设，其中，
则，
所以，所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，解得，
所以，即.
答案第1页，共2页
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