2.1直线的倾斜角与斜率 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.1直线的倾斜角与斜率 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 658.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-22 17:21:59 | ||
图片预览
文档简介
2.1直线的倾斜角与斜率同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，则直线斜率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．2 B． C． D．2或
4．设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若，，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知直线：与直线：垂直，则的值为0
B．已知直线：与直线：平行，则的值为±1
C．点到直线：（m为任意实数）的距离的最大值是
D．已知，点，直线：上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为
10．已知直线，则（ ）
A．直线的斜率为
B．直线的倾斜角为
C．直线不经过第三象限
D．直线与直线垂直
11．已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线，点，，下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直
三、填空题
13．过点，两点的直线与直线l垂直，直线l的斜率为-1，则 ．
14．已知直线的斜率为6，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率为 .
15．直线，，若则 .
16．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为 ，若直线的倾斜角为，则其斜率为 ．
四、解答题
17．已知直线，直线．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
18．已知点，.
(1)若点在轴上，且为直角，求点的坐标；
(2)若点，且点在同一条直线上，求的值.
19．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中，点P的坐标为，点Q是图象上的最低点且坐标为，点R是图象上的最高点.
(1)求函数的解析式；
(2)记，（α，β均为锐角），求的值.
20．如图，在正弦曲线上取两点，，求直线AB的斜率．
21．已知坐标平面内两点．
(1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值．
22．已知平面直角坐标系中的四条直线如图所示，设它们的倾斜角分别为，而且斜率分别为．分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解.
【详解】因为直线过，两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2．A
【分析】根据直线斜率公式及二次函数性质可得最值.
【详解】，
当时，直线的斜率取得最小值，且最小值为，
故选：A.
3．C
【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解.
【详解】当直线与直线不相交时，，解得，
当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去；
当时，直线，即与直线平行，
所以实数的值为.
故选：C
4．D
【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围.
【详解】由于，所以，
又，所以.
故选：D
5．A
【分析】根据两直线互相垂直求出的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论.
【详解】当直线和直线垂直时，
有，即，解得或，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件，
故选：A.
6．C
【分析】先根据两直线垂直得到a和b之间的关系：；再利用基本不等式即可求出ab的最大值.
【详解】由直线与直线互相垂直，
所以，即.
又，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以ab的最大值为．
故选：C．
7．B
【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.
【详解】由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为，
又因为，，所以，解得．
故选:B．
8．C
【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】，所以，
故选：C
9．ACD
【分析】直接利用直线垂直的充要条件，直线平行的充要条件，点关于线的对称判断A、B、C、D的结论.
【详解】对于A：已知直线：与直线：垂直，根据直线垂直的充要条件，解得，故A正确；
对于B：已知直线：与直线：平行，故：，解得，当时，两直线重合，故舍去，故B错误；
对于C：直线：，整理得，故，，故恒过点，故，即最大距离，故C正确；
对于D：已知，，设点关于直线的对称点为，
所以，解得，
所以直线的方程为，
故，解得，故P点的坐标为，故D正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】由直线方程确定斜率,倾斜角判断选项；根据直线方程直接判定所过象限判断选项C；由直线垂直的判定判断选项D.
【详解】由题设，倾斜角，
则，A对，B错；
直线斜率为负值，y轴截距为正值，
则直线过第一，二，四象限，不过第三象限，对；
由，可得其斜率为，
由，
可得直线与不垂直，D错.
故选：
11．BC
【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可．
【详解】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，，
当点B在轴上时，设，由，可得，解得，
，
所以点B坐标为或.
故选：BC.
12．CD
【分析】利用直线过定点的求法，结合直线斜率公式逐项分析即可得解.
【详解】直线，故时，，故直线l恒过定点，故A错误；
当时，直线，斜率，故B错误；
当时，直线，斜率，故倾斜角为，故C正确；
当时，直线，斜率，而，
故，故直线与直线垂直，故D正确.
故选：CD.
13．
【分析】根据直线垂直的条件，可得直线的斜率，利用斜率公式列式计算，即得答案.
【详解】过点，两点的直线与直线l垂直，直线l的斜率为-1，
故直线的斜率为1，则，且，
故答案为：1
14．
【分析】根据正切函数的二倍角公式可得.
【详解】设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
又直线的斜率为6，即，
所以，直线的斜率为.
故答案为：
15．或
【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数即可.
【详解】由题设，故或.
故答案为：或
16．
【分析】根据点A的坐标可确定直线OA的倾斜角，由题意可得OB的倾斜角，利用三角函数定义可求得B的坐标，继而求出OB的斜率.
【详解】设点为角终边上一点，如图所示，．
由三角函数的定义可知： ， ，
则，则直线的倾斜角为，
将点绕原点逆时针旋转到点，
得直线的倾斜角为，
且点在角的终边上，由三角函数定义可得点的坐标为，
即，且，则．
故答案为：．
17．(1)0
(2)或
【分析】（1）根据直线平行的必要条件求a，然后验证即可；
（2）根据直线垂直的充要条件求解可得.
【详解】（1）若，则有，
即，解得或，
当时，，，满足；
当时，，，此时重合，不满足.
综上，实数的值为0.
（2）若，则，
即，解得或.
所以，实数的值为或.
18．(1)或
(2)
【分析】（1）设，由为直角，得到，结合斜率列出方程，即可求解；
（2）根据斜率公式，求得，结合，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：设，则.
因为为直角，所以，可得，解得或，
即点的坐标为或.
（2）解：因为，，
因为点在同一条直线上，所以，解得.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由图象可得A，由函数的最小正周期求得的值，利用正弦函数的对称中心结合的取值范围可求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）利用函数周期求得，由两点式斜率公式及诱导公式求得，，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.
【详解】（1）由图象及，可知，，
又函数的最小正周期，所以，
因为点为函数的一个对称中心，所以，即，
又，所以，所以.
（2）由（1）函数周期及最值知，因为，，，，
所以，，即，
所以，
所以.
20．
【分析】由两点的斜率公式计算.
【详解】直线AB的斜率．
21．(1)
(2)
【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得，解方程即可得出答案.
【详解】（1）因为倾斜角为锐角，则，又
即，解得．
（2）直线的方向向量为
22．
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，结合直线的图象，可得，
因为，
又因为正切函数在递增且函数值大于0，在递增且函数值小于0，
所以．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，则直线斜率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．2 B． C． D．2或
4．设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若，，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知直线：与直线：垂直，则的值为0
B．已知直线：与直线：平行，则的值为±1
C．点到直线：（m为任意实数）的距离的最大值是
D．已知，点，直线：上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为
10．已知直线，则（ ）
A．直线的斜率为
B．直线的倾斜角为
C．直线不经过第三象限
D．直线与直线垂直
11．已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线，点，，下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直
三、填空题
13．过点，两点的直线与直线l垂直，直线l的斜率为-1，则 ．
14．已知直线的斜率为6，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率为 .
15．直线，，若则 .
16．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为 ，若直线的倾斜角为，则其斜率为 ．
四、解答题
17．已知直线，直线．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
18．已知点，.
(1)若点在轴上，且为直角，求点的坐标；
(2)若点，且点在同一条直线上，求的值.
19．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中，点P的坐标为，点Q是图象上的最低点且坐标为，点R是图象上的最高点.
(1)求函数的解析式；
(2)记，（α，β均为锐角），求的值.
20．如图，在正弦曲线上取两点，，求直线AB的斜率．
21．已知坐标平面内两点．
(1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值．
22．已知平面直角坐标系中的四条直线如图所示，设它们的倾斜角分别为，而且斜率分别为．分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解.
【详解】因为直线过，两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2．A
【分析】根据直线斜率公式及二次函数性质可得最值.
【详解】，
当时，直线的斜率取得最小值，且最小值为，
故选：A.
3．C
【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解.
【详解】当直线与直线不相交时，，解得，
当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去；
当时，直线，即与直线平行，
所以实数的值为.
故选：C
4．D
【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围.
【详解】由于，所以，
又，所以.
故选：D
5．A
【分析】根据两直线互相垂直求出的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论.
【详解】当直线和直线垂直时，
有，即，解得或，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件，
故选：A.
6．C
【分析】先根据两直线垂直得到a和b之间的关系：；再利用基本不等式即可求出ab的最大值.
【详解】由直线与直线互相垂直，
所以，即.
又，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以ab的最大值为．
故选：C．
7．B
【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.
【详解】由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为，
又因为，，所以，解得．
故选:B．
8．C
【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】，所以，
故选：C
9．ACD
【分析】直接利用直线垂直的充要条件，直线平行的充要条件，点关于线的对称判断A、B、C、D的结论.
【详解】对于A：已知直线：与直线：垂直，根据直线垂直的充要条件，解得，故A正确；
对于B：已知直线：与直线：平行，故：，解得，当时，两直线重合，故舍去，故B错误；
对于C：直线：，整理得，故，，故恒过点，故，即最大距离，故C正确；
对于D：已知，，设点关于直线的对称点为，
所以，解得，
所以直线的方程为，
故，解得，故P点的坐标为，故D正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】由直线方程确定斜率,倾斜角判断选项；根据直线方程直接判定所过象限判断选项C；由直线垂直的判定判断选项D.
【详解】由题设，倾斜角，
则，A对，B错；
直线斜率为负值，y轴截距为正值，
则直线过第一，二，四象限，不过第三象限，对；
由，可得其斜率为，
由，
可得直线与不垂直，D错.
故选：
11．BC
【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可．
【详解】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，，
当点B在轴上时，设，由，可得，解得，
，
所以点B坐标为或.
故选：BC.
12．CD
【分析】利用直线过定点的求法，结合直线斜率公式逐项分析即可得解.
【详解】直线，故时，，故直线l恒过定点，故A错误；
当时，直线，斜率，故B错误；
当时，直线，斜率，故倾斜角为，故C正确；
当时，直线，斜率，而，
故，故直线与直线垂直，故D正确.
故选：CD.
13．
【分析】根据直线垂直的条件，可得直线的斜率，利用斜率公式列式计算，即得答案.
【详解】过点，两点的直线与直线l垂直，直线l的斜率为-1，
故直线的斜率为1，则，且，
故答案为：1
14．
【分析】根据正切函数的二倍角公式可得.
【详解】设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
又直线的斜率为6，即，
所以，直线的斜率为.
故答案为：
15．或
【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数即可.
【详解】由题设，故或.
故答案为：或
16．
【分析】根据点A的坐标可确定直线OA的倾斜角，由题意可得OB的倾斜角，利用三角函数定义可求得B的坐标，继而求出OB的斜率.
【详解】设点为角终边上一点，如图所示，．
由三角函数的定义可知： ， ，
则，则直线的倾斜角为，
将点绕原点逆时针旋转到点，
得直线的倾斜角为，
且点在角的终边上，由三角函数定义可得点的坐标为，
即，且，则．
故答案为：．
17．(1)0
(2)或
【分析】（1）根据直线平行的必要条件求a，然后验证即可；
（2）根据直线垂直的充要条件求解可得.
【详解】（1）若，则有，
即，解得或，
当时，，，满足；
当时，，，此时重合，不满足.
综上，实数的值为0.
（2）若，则，
即，解得或.
所以，实数的值为或.
18．(1)或
(2)
【分析】（1）设，由为直角，得到，结合斜率列出方程，即可求解；
（2）根据斜率公式，求得，结合，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：设，则.
因为为直角，所以，可得，解得或，
即点的坐标为或.
（2）解：因为，，
因为点在同一条直线上，所以，解得.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由图象可得A，由函数的最小正周期求得的值，利用正弦函数的对称中心结合的取值范围可求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）利用函数周期求得，由两点式斜率公式及诱导公式求得，，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.
【详解】（1）由图象及，可知，，
又函数的最小正周期，所以，
因为点为函数的一个对称中心，所以，即，
又，所以，所以.
（2）由（1）函数周期及最值知，因为，，，，
所以，，即，
所以，
所以.
20．
【分析】由两点的斜率公式计算.
【详解】直线AB的斜率．
21．(1)
(2)
【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得，解方程即可得出答案.
【详解】（1）因为倾斜角为锐角，则，又
即，解得．
（2）直线的方向向量为
22．
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，结合直线的图象，可得，
因为，
又因为正切函数在递增且函数值大于0，在递增且函数值小于0，
所以．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页