2.2.4 二次函数的图象与性质（第4课时） 同步课件（共27张PPT)

2.2.4二次函数的图象
与性质（第4课时）
1.二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系
学习目标
y＝ax2
y＝a(x－h)2 ＋k
上正下负
左加右减
一般地，二次函数y＝a(x－h)2 ＋k与y＝ax2的________相同，_______不同.
形状
位置
复习回顾
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
（h，k）
（h，k）
直线x=h
向上
向下
当x=h时,y有最小值为k.
当x=h时, y有最大值为k.
当x当x>h时, y随着x的增大而增大.
根据图象填表：
直线x=h
当x当x>h时, y随着x的增大而减小.
y=a(x-h)2+k（a<0）
y=a(x-h)2+k（a>0）
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
1
2
4
6
8
10
y

复习回顾
核心知识点一：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
根据前面所学知识，你能研究二次函数
的图象和性质吗？
一般式
顶点式
如何转化？
配方法
创设情境，引入新知
二次项系数化为1
不要漏乘括号前系数
化为顶点式
因此,二次函数 图象的对称轴是
直线x=1,顶点坐标为(1,3).
分组，准备配方
创设情境，引入新知
y=2x2-4x+5
y=2(x-1)2+3
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
y=2x2-4x+5
向上
x=1
（1，3）
当x>1时，y随
x的增大而增大；
当x<1时，y随
x的增大而减小
配方
创设情境，引入新知
求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式？
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简：去掉中括号
自主合作，探究新知
归纳总结
所以y=ax2＋bx＋c的对称轴是：
顶点坐标是：
归纳总结
例：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.

解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
y=ax2+bx+c
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x= ,顶点坐标是
典例解析
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c图象和性质：
对称轴：
顶点：
y
O
x
（a>0）
最小值：
如果a>0,
当x< 时，y随x的增大而减小；
当x> 时，y随x的增大而增大；
当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .
归纳总结
y
O
x
（a<0）
最大值：
如果a<0,
当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为 .
归纳总结
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 表示.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?
5
-5
O
10
x/m
y/m
桥面
典例解析
解：（1）
所以左侧钢缆最低点坐标为（-20，1），
即钢缆最低点到桥面的距离是1m.
5
-5
O
10
x/m
y/m
（2）由对称性可知，两条钢缆最低点之间距离为40米.
典例解析
归纳总结
二次函数y=ax2 +bx+c的图形与a,b,c之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c＝0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的补充性质
1.关于x轴对称的抛物线解析式为 y=-(ax2+bx+c)= -ax2-bx-c
2.关于y轴对称的抛物线解析式为y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c
3.当 时，顶点在y轴上。
4.当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有两个交点，当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
5.当x=1时，抛物线解析式为y=a+b+c；当x=-1时，抛物线解析式为y=a-b+c
归纳总结
归纳总结
1.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则(　　)
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
A
随堂练习
2.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．abc＜0，b2－4ac＞0
B．abc＞0，b2－4ac＞0
C．abc＜0，b2－4ac＜0
D．abc＞0，b2－4ac＜0
B
随堂练习
3.一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
C
随堂练习
4.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的表达式是(　　)
A． B．
C． D．
A
随堂练习
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)．其中结论正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
C
随堂练习
6.把二次函数y＝－2x2－4x＋1配成y＝a(x－h)2＋k的形式为_________________，所以其图象的开口向___，对称轴是直线________，顶点坐标为_________．
y＝－2(x＋1)2＋3
下
x=-1
(-1,3)
随堂练习
7．已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．
(1)求b，c满足的关系式；
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
随堂练习
解：(1)将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b.
（2）由题知，m＝－????2，n＝4?????????24，
∴b＝－2m.
又由(1)知c＝2b，
∴n＝8?????????24.
∴n＝－m2－4m.
?
随堂练习
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
顶点：
对称轴：
课堂小结
1.布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.
2.完成练习册中本课时的练习.
　　　
作业布置