3.4.2 圆周角和圆心角的关系（第2课时） 同步课件（共26张PPT）

3.4.2 圆周角和圆心角的关系
（第2课时）
第三章 圆
1.掌握圆周角定理推论。
2.理解圆内接四边形定义及性质。
学习目标
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理推论：
圆周角定理:
同弧或等弧所对的圆周角相等.
复习回顾
小明想用直尺检查某些工件是否恰好为半圆，下图所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形吗？
创设情境，引入新知
核心知识点一：
直径所对应的圆周角
如图，点A、B、C在⊙O 上，BC是⊙O的直径，观察它所对的圆周角有什么特点？ 你是怎么发现的？
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°
结论1：直径所对的圆周角是直角
∠????????????=12∠????????????=90°
?
理由：
∵BC为直径
∴∠BOC=180°
∴
自主合作，探究新知
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？
解：弦BC是直径，连接OC、OB
∵∠BAC=90°
∴∠BOC=2∠BAC=180°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
结论2：90°的圆周角所对的弦是直径
思考：这两个结论用什么定理证明？
圆周角定理
自主合作，探究新知
归纳总结
圆周角定理推论
直径所对的圆周角是直角；
几何语言：
∵BC为直径
∴∠BAC=90°
90°的圆周角所对的弦是直径
几何语言：
∵∠BAC=90°
∴BC为直径
归纳总结
练一练：如图， ⊙O的直径AB = 10cm，C为⊙O上的一点，∠B = 30°，求AC的长.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，
sin ∠ABC＝ ，
∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30°
＝10× ＝5(cm)．
∴AC的长为5 cm.
解：
巩固练习
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
归纳总结
归纳总结
核心知识点二：
圆内接四边形及其性质
（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
解：∠BAD与∠BCD互补.
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
A
B
C
O
D
自主合作，探究新知
探究新知
（2）若C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗？为什么？
A
B
C
O
D
1
2
∵ ∠2=2∠BAD，∠1=2∠BCD，
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半），
∵∠1+∠2=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
如图8，连接OB，OD.
自主合作，探究新知
（3）观察图9，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边形的外接圆..
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
自主合作，探究新知
A
B
C
O
D
（4）观察，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补.
几何语言：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）.
A
B
C
O
D
自主合作，探究新知
圆内接四边形外角的性质
思考：如图， ∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个 外角，
∠A与∠DCE的大小有什么关系？
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
自主合作，探究新知
证明：∠A=∠DCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°
（圆内角四边形的对角互补）.
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE.
A
B
C
O
D
E
自主合作，探究新知
1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为(　　)
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
C
随堂练习
2.如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于(　　)
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
B
随堂练习
3．下列说法正确的是(　　)
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
B
随堂练习
4．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为(　　)
A．20° B．25° C．30° D．35°
C
随堂练习
5.在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4∶5，求∠C 的度数.
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°（圆内接四边形的对角互补）.
∵∠A ∶ ∠C=4∶5，
∴
即∠C 的度数为100°.
随堂练习
∵AB为直径 ，
∴∠BCA=90°（直径所对的圆周角为直角）.
∴∠BCD+∠DCA=90°.
∵ ∠ACD=15°，
∴∠BCD=90°-15°=75°.
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）.
6.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
A
B
C
O
D
解法一：连接BC.
随堂练习
6.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
A
B
C
O
D
∵∠ACD=15°，
∴∠AOD=2∠ACD =30°（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°，
∴∠BAD=75°.
解法二：连接OD.
随堂练习
7.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补）.
∵∠EDC+∠ADC=180°，
∠EBF+∠ABE=180°，
∴∠EDC+∠EBF=180°.
∵∠EDC=∠F+∠A，∠EBF=∠E+∠A，
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°.
∴∠A=40°.
A
B
D
O
C
E
F
随堂练习
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径
课堂小结
1.作业：教材习题中第1、2题.
2.完成练习册中本课时的练习.
作业布置