1.3 交集、并集 课件（共83张PPT）

(共83张PPT)
第1章 集 合
1 . 3
交集、并集
集合 A 在集合 S 中的补集 U A 是由给定的两个集合 A，S 得到的一个新集合. 这种由两个给定集合按照某种规则得到一个新集合的过程称为集合的运算. 集合的交与并也是常见的两种集合运算.
观察下列各组集合：
(1) A＝{－1，1，2，3}，B ＝{－2，－1，1}，
C＝{－1，1}；
(2) A＝{x∣x＜3}，B＝{x∣x＞0}，C＝{x∣0＜x ≤3}；
(3) A＝{ x∣x为矩形}，B＝{x∣x为菱形}，
C＝{x∣x为正方形}.
● 集合 A，B，C之间具有怎样的关系
● 如何用数学语言表述这种关系
观察(1)，可以发现，1∈A 且 1∈B，即元素 1 既属于集合 A 又属于集合 B. 这样的元素还有－1. 所有这样的元素构成的集合就是C＝{－1，1}. (2)(3)也具有这种特征.
这时称 C是A与B的交集.
一、交集
定 义
文字语言
由所有属于集合A ____ 属于集合B的元素构成的集合，记作_______作(“A交B”)
且
A∩B
符号语言
_______ ＝ { x∣x∈A，____ x∈B.
且
A∩B
图形语言
A ∩ B可用图中的阴影部分来表示.
显然有
A∩B＝B∩A，
A∩B A，
A∩B B.
思 考
A∩B＝A可能成立吗 A∩B＝ 可能成立吗
本 质
由A、B两个集合确定一个新的集合，此集合是A、B中的公共元素组成的集合，这个集合中的元素同时具有集合A和集合B的属性.
作 用
①依据定义求两个集合的交集；
②求参数的值或范围.
二、并集
交集A∩B是由给定的两个集合A，B经过“运算”而得到的新集合，这种运算称为“交”. 而集合间另一种称为“并”的运算也十分常见. 观察集合A＝{－1，1，2，3}，集合 B＝{－2，－1，1}，集合D＝ {－2，－1，1，2，3}，可以发现，集合D是由所有属于集合A 或者属于集合 B的元素构成的.
这时，D称为 A与B的并集.
定 义
文字语言
由所有属于集合A ______ 属于集合B的元素构成的集合，称为A与B 的并集，记作_______ (读作“A并B”).
或者
A∪B
符号语言
_______ ＝ { x∣x∈A，____ x∈B.
或
A∪B
图形语言
A∪B可用图中的阴影部分来表示.
显然有
A∪B＝B∪A，
A B ∩A，
A B ∩ B.
思 考
A∪B＝A可能成立吗 A∪ UA 是什么集合
本 质
由A、B两个集合确定一个新的集合，此集合是所有A、B中的元素组成的集合，这个集合中的元素至少具有集合A或集合B的属性之一.
作 用
①依据定义求两个集合的并集；
②求参数的值或范围.
【思考】
“x∈A或x∈B”包含哪几种情况 如何用Venn图表示
提示：“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：
x∈A，但 x B；x∈B，但 x A；
x∈A，且x∈B.
用 Venn 图表示如图所示.
三、交集、并集的性质
A∩B＝B∩A，
A∩B A，
A∩B B.
A∪B＝B∪A，
A B ∩A，
A B ∩ B.
例 1
已知 A＝ {－1，0，1}，B＝ {0，1，2，3}，求A∩B和A∪B.
解：A∩B＝ {－1，0，1}∩{0，1，2，3} ＝{0，1}；
A∪B＝ {－1，0，1} ∪{－1，0，1，2，3}
＝{－1，0，1，2，3}.
例 2
学校举办了排球赛，高一(1)班 45 名同学中有 12 名同学参赛. 后来又举办了田径赛，班上有 20名同学参赛已知两项都参赛的有6名同学. 两项比赛中，高一(1)班共有多少名同学没有参加过比赛
解：设U＝{x∣x为高一(1)班的同学}，A＝{x∣x为参加排球赛的同学}，B＝{x∣x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x∣x为排球赛和田径赛都参加的同学}.
画出 Venn 图：
可知没有参加过比赛的同学有
45－ (12＋20－6) ＝19(名).
答 这个班共有 19 名同学没有参加过比赛.
例 3
设 A＝ {x∣x＞0}，B＝{x∣x≤1}，求A∩B和A∪B.
解 A∩B＝ {x∣ x＞0} ∩{ x∣x≤1} ＝ {x∣0＜x≤1}；
A∪B ＝{x∣x＞0}∪{x ∣x≤1} ＝ R.
四、区间的概念
为了叙述方便，在以后的学习中，我们常常会用到“区间”的概念设 a，b ∈ R，且 a ＜ b，规定：
(表中a，b∈R，且a＜b)
闭区间 符号 _________＝ { x∣a≤x≤b}
图示
开区间 符号 __________＝ { x∣a＜x＜b}
图示
[a，b]
(a，b)
左闭右 开区间 符号 ____________＝ { x∣a≤x＜b}
图示
左开右 闭区间 符号 _________＝ {x∣a＜x≤b}
图示
[a，b)
(a，b]
符号“＋∞”读作“正无穷大”，符号“－∞” 读作“负无穷大” 符号 __________＝ {x∣x＞a}
图示
符号 ___________＝ {x∣x＜b}
图示
符号 _____________＝R
(a，＋∞)
(－∞，b)
(－∞，＋∞)
[a，b]，(a，b) 分别叫作闭区间、开区间；
[a，b)叫作左闭右开区间，(a，b] 叫作左开右闭区间；
a， b叫作相应区间的端点.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 若A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素.
(　　)

当 A，B 有公共元素时，A∪B中元素个数小于6.
(2) 若A∩B＝ ，则A＝B＝ . (　　)
(3) 对于任意两个集合 A，B，若A∩B＝A∪B，
则A＝B. (　　)
(4) 若 x∈A∩B，则 x∈A∪B. (　　)



2. 已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，
则A∩B＝ (　 　).
A. {0，2} B. {1，2}
C.{0} D. {－2，－1，0，1，2}
A
【拓展延伸】
集合交、并、补的性质
( UA)∪( UB) ＝ U(A∩B);
( UA)∩( UB) ＝ U(A∪B).
证明如下:
用Venn图表示( UA)∪( UB) ＝ U(A∩B)，有
用Venn图表示( UA)∩( UB) ＝ U(A∪B)有：
【跟踪训练】
1. 已知集合A＝ {－2，0，2}，B＝ { x∣x2－x－2＝0}，
则A∩B＝(　　)
A. B. {2} C. {0} D.{－2}
B
解析：因为B＝ { x∣x2－x－2＝0}＝{－1，2}，
A ＝{－2，0，2}，所以 A∩B ＝{2} .
解析
2. 已知集合 A＝(－∞，1) ，B＝(－∞，0) ，则(　　).
A. A∩B＝ (－∞，0) B. A∪B＝R
C. A∪B＝(1，＋∞) D. A∩B＝ 、
A
解析：因为A＝(－∞，1) ，B＝(－∞，0)，
则 A∩B＝ (－∞，0) ，A∪B＝ (－∞，1).
解析
3. 设集合 A＝ {1，2}，B＝ {1，2，3}，C＝ {2，3，4}，
则(A∩B)∪C＝_______________.
{1，2，3，4}
解析：因为 A＝ {1，2}，B＝ {1，2，3}，
所以 A∩B＝ {1，2}.又C＝ {2，3，4}，
所以 (A∩B)∪C＝ {1，2}∪{2，3，4} ＝{1，2，3，4}.
解析
4. 已知集合 A＝ {1，2， 4 }，B＝ {a，a＋1}，
若A∩B＝ {2}，则实数a的值为_________.
2
解析：因为集合A＝ {1，2，4 }，B＝ {a，a＋1}，A∩B＝{2}
所以 a＝2或 a＋1＝2，
当a＝2时，B＝ {2，3}，A∩B＝ {2}，成立；
当a＋1＝2时，a＝1，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}，不成立；
综上，实数a的值为2.
解析
5. 已知全集U＝R，A＝ {x|－3＜x≤5}，
B＝ {x|－5＜x＜－2或x＞5}，
分别求 A∩B，A∪B，A∪ UB .
借助数轴可知
A∩B＝ {x|－3＜x＜－2}，A∪B＝ {x|x＞－5}，
A∪ UB＝ { x∣x≤－5 或 －3＜x≤5}.
练 习
1. 已知A＝{ x∣x 为小于7的正偶数}，B＝{－2，0，2，
4}，求A∩B和A∪B.
解：A∩B＝ {2，4}；
A∪B＝ {－2，0，2，4，6}.
2. 设U为全集，若A为的子集，则
A∩A＝___________，A∪A＝____________，
A∩ ＝___________，A∪ ＝____________，
A∩ UA ＝_________，A∪ UA ＝__________.
A
A

A

U
3. 根据下列条件，分别求A∩B，A∪B.
(1) A＝{－ 1，0，1，2，3}，B＝{－ 1，0，4}；
(2) A＝{－ 1，0，1，2，3}，B＝{－ 1，0，1}；
A∩B ＝ {－1，0} ，
A∪B ＝{－ 1，0，1，2，3，4}.
A∩B ＝ {－1，0，1} ，
A∪B ＝{－ 1，0，1，2，3}.
(3) A＝{－ 1，0，1，2，3}，B＝{－ 1，0，1，2，3}；
(4) A＝{－ 1，0，1，2，3}，B＝ .
A∩B ＝ {－1，0，1，2，3} ，
A∪B ＝{－ 1，0，1，2，3}.
A∩B ＝ ，
A∪B ＝{－ 1，0，1，2，3}.
4. 根据下列条件，分别求A∩B，A∪B.
(1) A＝{ x∣x≥0}，B＝ { x∣x≤0}；
(2) A＝{ x∣x≥0}，B＝ { x∣x＜2}；
A∩B＝{0}，A∪B＝R；
A∩B＝{ x∣0≤x＜2}，A∪B＝R.
(3) A＝{ x∣x≥0}，B＝ { x∣x＞2}.
A∩B＝{ x＞2}，
A∪B＝{ x∣x≥0}.
5. 设 A＝ {(x，y)∣y＝－4x＋61}，B＝ {(x，y) ∣
y＝5x－31}，求A∩B.
解：A∩B，即A＝B，－4x＋6＝5x－3，
x＝1，y＝2.
所以 A∩B＝ {(x，y)∣ x＝1，y＝2}.
6. 设A＝{ x∣x＝2k－1，k∈Z，B＝{ x∣x＝2k，k∈Z}，
求A∩B，A∪B.
解：A∩B无解，
A∪B＝{ x∣x∈Z，k∈Z}.
习题 1.2
感受·理解
1. 填表：
∩ A B

A A A∩B
B B∩A B
∪ A B
A B
A A A A∪B
B B B∪A B
∩ A UA

A A U
UA U UA
∪ A UA
A UA
A A A U
UA UA U UA
2. 已知 A＝ (－1，3]，B＝ [2，4)，求A∩B.
解：由数轴可得 A∩B＝ [0，2]，
3. 已知A＝ (0，1]，B＝ [－1，0]，求A∪B.
解：A∪B＝ [－1，1]
4. 已知 A＝ {1，2，3，4，5，6，7，8}，
B＝ {2，4，6，8}.
(1) B A成立吗 A B成立吗
(2) 求A ∩ B和A∪B.
B A 成立；A B 不成立.
A ∩ B ＝ B ＝ {2，4，6，8}
A∪B ＝ A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}
5. 已知A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，C＝{1，5，6}，
求 A∩(B ∩ C) 和(A∪B)∪C.
解：B ∩ C ＝ {1}，故A ∩(B ∩ C) ＝ {1}；
A ∪ B ＝ {1，2，3，4}，
故 (A∪B) ∪ C ＝ {1，2，3，4，5，6}.
6. 已知 A＝{ x∣x ≤ 0}，B＝{ x∣x≤1}，求A∩B，并
判断 A 与 B 之间的关系.
解：A ∩ B ＝ {x ∣x ≤0} ＝ A，故 A B.
7. 在平面内，设 A，B，O 均为定点，P 为动点，下列
集合分别表示什么图形？
(1) { P∣PA ＝ PB}；
(2) { P∣PO ＝ 1}.
线段 AB 的垂直平分线；
以O点为圆心，半径为1的圆.
8. 某班级有三个微信群，文学群成员有：梅、兰、竹、
桂、松、柳，数学群成员有梅、竹、松、枫、杨、桦，
音乐群成员有：兰、菊、荷、桂、松、柳. 用集合表
示三个群的成员.
解：由题意，文学群成员用集合表示为：{梅，兰，竹，桂，松，柳}.
数学群成员用集合表示为：{梅，竹，松，枫杨，桦}.
音乐群成员用集合表示为：{兰，菊，荷，桂松，柳}.
9. 写出阴影部分所表示的集合.
解：第一个图，阴影部分在集合B中，但不在集合A中，所以可以表示为B ∩( UA ).
第二个图阴影部分既在集合A中，也在集合B中又在集合C中，所以可以表示为A ∩ B ∩ C.
思考·运用
10. (1) 已知 U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，3，5}，
B＝ {1，4}，求 U(A∪B) 与( U A)∩( U B)；
解：∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，3，5}，
B＝ {1，4}
∴ A∪B ＝{1，2，3，4，5},
∴ U(A∪B) ＝ {6}；
∵ U A ＝{1，4，6}， U B ＝{2，3，5，6}，
∴ ( U A)∩( U B) ＝ {6}；
综上所述，结论是： U(A∪B)＝{6}，
( U A)∩( U B)＝{6}.
(2) 在下图中用阴影表示 U(A∪B)与( U A)∩( U B)；
∵ U(A∪B)＝{6}， ( U A)∩( U B)＝{6}.
∴ U(A∪B) ( U A)∩( U B)
U
U
(3) 由(1) (2)，你有什么发现
解：由(1)知 U(A∪B) ＝{6}，( UA) ∩( UB) ＝{6}.
∴ U (A∪B) ＝( U A) ∩( U B)
由(2)知 U(A∪B)与( U A) ∩( U B)的图像相同.
∴ U(A∪B) ＝( U A)∩( U B)
综上所述，结论是： U(A∪B) ＝( U A) ∩( U B)
11. 已知 U＝R，A＝{ x∣l≤x≤3}，B＝{ x∣2＜x＜4}，
分别求 A ∩ B，A∪B，A∪ U B.
解：∵ A ＝{ x ∣ 1 ≤ x ≤ 3}，B ＝{x∣2＜x＜ 4}.
∴ U B ＝ {x∣x≤2或x ≥ 4 }，
∴ A ∩ B ＝ {x∣2 ＜ x≤3}，
A∪( U B)＝{x∣x ≤ 3或 x≥4.
12. 设m为实数，A＝{m＋1，－3}，B＝{2m－1，m－3}.
若 A∩B ＝(－3)，求m的值.
解：因为A ∩ B ＝{－ 3}，
所以－ 3∈B，
当2m － 1 ＝ － 3，即m ＝ － 1时，
m － 3 ＝ － 1 － 3 ＝ － 4，
m ＋ 1 ＝ － 1 ＋ 1 ＝ 0，
所以 A ＝ {0，3}，B ＝ {－ 4， － 3}
满足A ∩ B ＝{－ 3}，
所以 m ＝ － 1；
当m － 3 ＝ － 3，即m ＝ 0时，
2m－ 1 ＝ 2 × 0 － 1 ＝ － 1， m ＋ 1 ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1，
所以 A ＝ {1，－3}，B ＝{－ 1， － 3}，
满足A ∩ B ＝{－3}，
所以 m ＝ 0.
综上，m＝－1 或 m＝0.
探究·拓展
13. (探究题) 我们知道，如果集合 A S那么S 的子集A
的补集为 S A ＝{ x∣x∈S，且 x A}. 类似地，对于
集合 A，B，我们把集合{ x∣x ∈A，且 x B} 叫作
集合A与B的差集，记作 A－B. 例如，A＝{1，2，3，
4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，
B － A ＝{6，7，8}.
据此，试回答下列问题：
(1) S是高一(1)班全体同学的集合， 是高一(1) 班全体女
同学的集合，求 S－A 及 S A；
解：如果集合A B，那么S的子集A的补集为
S A＝ {x∣x∈S，且x A}.
A对于集合A，B，我们把集合{x∣x∈A，且x∈B} 叫作集合A与B的差集，记作 A － B.
已知S是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班全体女同学的集合.
由题意可得：S － A ＝ S A ＝{x∣x是高一(1)班的男同学} .
综上所述，结论为：S － A ＝ S A ＝ {x∣x是高一(1)班的男同学}.
(2) 在下列各图中用阴影表示集合 A－B；
(3) 如果 A－B ＝ ，集合 A与B 之间具有怎样的关系
解：如果A － B ＝ ，
那么集合A与B之间的关系为：A B.
综上所述，结论为：A B.
问题与探究
集合运算的运算律
我们知道实数“＋”“×”运算有如下运算律成立：
a＋b＝b＋a，a×b＝b×a；
(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c)，(a×b)×c＝a× (b×c)；
(a＋b) ×c＝a×c＋b×c；
……
集合运算“∪”“∩”是否也满足一些运算律呢 通过具体例子，画 Venn 图进行探究，并比较集合运算“∪” “∩”的运算律与实数运算“＋”“×”的运算律的相同点与不同点.
阅 读
有限集与无限集
在本章 1.1节中，我们曾讨论过有限集和无限集. 例如，1，2，3)是有限集，N*是无限集.对于有限集 A＝ {1，2，3)，B＝ {a，b}，C＝ {a，b，c}，我们知道集合A的元素比集合 B的元素多，A与C的元素一样多，然而，对于两个无限集 N*＝{1，2，3，···}，N＝ {0，1，2，···}，你能判断哪一个集合的元素“更多”吗
德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势.
先看有限集之间的“一一对应”. 教室里有 45 个座位，老师走进教室，一看坐满了人，他无须一个个地点数，便知听课人数为 45，这是因为每个人坐1个座位，且每个座位上都坐1个人，两者一一对应，
从而听课人数与座位数相等.下图也清楚地表明，元素之间有一一对应关系的两个集合，其元素个数相等.
我们也可以建立 N* 与 N 这两个无限集之间的一一对应，如
{ 1，2，3，4，... }
{ 0，1，2，3，... }
于是，N*与N等势. 通俗地说，它们的元素“一样多”!
从下面的一一对应中，你能得到什么结论
{ 1，2，3，4， 5， 6，... } n
{ 2，4，6，8，10，12，... } 2n
{ 1， 2， 3， 4， 5，... } n
{ 12，22，32， 42，52，... } n2
P
Q
本课结束
This lesson is over
THANKS!