1.2 子集、全集、补集 课件（共62张PPT）

(共62张PPT)
第1章 集 合
1.2
子集、全集、补集
观察下列各组集合：
(1) A＝ {－1，1}，B＝{－1，0，1，2}；
(2) A＝N，B＝R；
(3) A＝{ x∣x 为正方形}，B＝{ x∣x 为四边形}.
●集合A与B之间具有怎样的关系
●如何用数学语言来表述这种关系
观察(1)，可以发现，集合 A 中的每个元素都是集合 B 的元素观察(2)(3)，它们也有同样的特征.
(1) A＝ {－1，1}，B＝{－1，0，1，2}；
(2) A＝N，B＝R；
(3) A＝{ x∣x 为正方形}，B＝{ x∣x 为四边形}.
这时称 A 是 B 的子集.
一、子集
定义
如果集合A的_______一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.
任意
A是B的子集
Venn图： 或
符号表示：_________ 或 _________
读法：集合 A _______ 集合 B 或集合
B ________ 集A
B
A
A (B)
包含于
包含
A B
B A
例如，{1，2，3} N，N R，
{ x∣x 为正方形} {x∣x为四边形}等.
A B可以用 Venn图来表示.
B
A
根据子集的定义，我们知道A A也就是说，任何一个集合是它本身的子集.
对于空集 ，我们规定 A，即空集是任何集合的子集.
【思考】
符号“∈”与“ ”有什么区别
提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，
比如 1∈N，－1 N.
②“ ”是表示集合与集合之间的关系，
比如 N R，{1，2，3} {3，2，1}.
③“∈”的左边是元素，右边是集合，
而“ ”的两边均为集合.
例 1
判断下列各组集合中，A 是否为 B 的子集.
(1) A＝ {0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；
解：因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B 的元素，所以 A 是 B 的子集.
解：因为1∈A，但 1 B，
所以 A不是B 的子集.
(2) A＝ {0，1}，B＝ { x∣x＝2k，k∈N}
恩 考
A B 与 B A能否同时成立
能；
A是B的子集；同时B也是A的子集；
此时A＝B；
就是两集合相等的定义.
例 2
写出集合 {a，b} 的所有子集.
解： 集合{a，b}的所有子集是 ，{a}，{b}，{a，b}.
集合{al，a2，a3，a4}有多少个子集
二、真子集
定义
如果集合 A B，并且 A≠B，那么集合 A 称为集合 B 的真子集.
A是B的真子集
Venn图：
符号表示：_________ 或 _________
读法：集合 A ________ 集合 B 或集合
B ________ 集A
B
A
A B
B A
真包含于
真包含
【思考】
集合 M，N 是两个至少含有一个元素的集合，试画图说明这两个集合关系有哪几种
提示：有以下五种关系
1 2 3 4 5
例 3
下列各组的 3 个集合中 ，哪 2 个集合之间具有包含关系
(1) S＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{－2，2}；
(2) S＝R，A＝ { x∣x≤0，B＝ { x∣x＞0)；
(3) S＝ { x∣x为整数}，A＝ { x∣x 为奇数}，
B＝ { x∣x 为偶数}.
解：在(1)(2)(3)中都有 A S，B S可以用图1-2-2来表示.
三、集合间关系的性质
(1) 任何一个集合是它本身的子集，即_______.
(2) 对于空集，我们规定 A，即空集是任何集合
的子集.
A A
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 任何一个集合都有子集. (　　)
(2) 空集是任何集合的真子集. (　　)
(3) A B的含义是 A B或A ＝ B. (　　)



解析
提示：(1) .任何一个集合都是其本身的子集.
(2) .空集是任何非空集合的真子集.
(3) .若A是B的子集，则说明这两个集合的关系
有以下两种可能：
A是B的真子集或A与B相等.
2. 用适当的符号填空：
(1) 2________ {x∣x2＝2x}.
(2){3，4，8}________ Z.
(3){ x∣x 是平行四边形}______{ x∣x 是中心对称图形}.
(4){ x∣x＜1}__________{ x∣x＜2}.
∈



3. 已知集合 A＝ {－1，0，1}，则含有元素0的A的真子
集为________________________________.
{0}，{0，1}，{0， －1}
解析：根据题意，含有元素0的A的真子集为{0}，{0，1}，
{0，－1}.
解析
【跟踪训练】
1. 下列集合中与{1，9}是同一集合的是 (　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{{1}，{9}} B.{(1，9)}
C.{(9，1)} D.{9，1}
D
解析：与{1，9}是同一集合的是{9，1}. 故选D
解析
2. 设A，B是集合I＝ {1，2，3，4 }的子集，A＝{1，2}，
则满足A B的B的个数是 (　　)
A. 5 B.4 C.3 D.2
B
解析：满足条件的集合B可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，
4}，{1，2，3，4}，所以满足A B的B的个数是4.
解析
3. 若集合 M＝ { x∣x ≤6}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)
A.{a} M B. a M C.{a}∈M D.a M
A
解析：由集合 M＝ {x|x≤6}，a＝2 ，知：
在A中，{a} M，故A正确； 在B中，a∈M，故B错误；
在C中，{a} M，故C错误； 在D中，a∈M，故D错误.
解析
4. 设集合 A＝{ x∣x2＋x－1＝0}，B＝{ x∣x2－x＋1＝0}，
则集合 A，B 之间的关系是____________.
A B
解析：由已知A ＝{ ， }，B＝ ，故B A.
解析
5. 已知集合A＝{x∣1≤x≤2}，B＝{x∣1≤x≤a，a≥1}.
(1) 若A B，求a的取值范围.
解：若A B，由图可知，a ＞ 2.
(2) 若B A，求a的取值范围.
解：若B A，由图可知，1≤a≤2.
恩 考
观察例 3 中每一组的 3个集合，它们之间还有什么关系
在例3中，观察(1)，可以发现，A S，S中的元素－2，－1，1，2 去掉 A 中的元素－1，1后，剩下的元素为－2，2，这两个元素组成的集合就是 B.
观察 (2)(3)，它们也有同样的特征这时称 B 是 A 在 S中的补集.
四、补集
1. 定义
文字语言
设A S，由_____________的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 CsA，读作“_________________”.
S中不属于A
A在S中的补集
符号语言
CsA＝______________________
{ x∣x∈S，且 x A }
图形语言
2. 本质
补集既是集合之间的一种关系，也是集合的基本运算之一.
3. 作用
①依据定义求集合的补集；
②求参数的值或范围；
③补集思想的应用.
五、全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_____元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
所有
例 4
设全集U＝R，不等式组 的解集为 A，
试求A 及 UA，并把它们分别表示在数轴上.
2x－1＞0
3x－6≤0
解：A ＝{x∣2x－1＞0，且3x－6＜0}＝{x∣＜x ≤2}，
UA＝{x∣x，或 x＞2}，在数轴上分别表示如下.
注意实心点与空心点的区别.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 同一个集合在不同的全集中补集不同. (　　)
(2) 不同集合在同一个全集中的补集也不同. (　　)
(3) 若x∈U，则x∈A或x∈ UA，二者必居其一. (　　)



2. 设集合U＝ {1，2，3，4，5，6}，B＝ {3，4，5}，
则 UB＝________________.
{1，2，6}
解析：根据补集的定义 UB ＝{ x∣x∈U且 B} ＝{1，2，6}.
解析
3. 已知 U＝R，A＝{ x∣x＞2}，则 UA＝___________.
{ x∣x ≤2}
解析：因为A＝ { x∣x＞2} ，所有 UA＝{ x∣x ≤2} .
解析
【跟踪训练】
1. 已知集合A＝{x∣3≤x≤7，x∈N}，B＝{x∣4＜x≤7，
x∈N}，则 AB＝ (　　)
A.{3} B.{3，4} C.{3，7} D.{3，4，7}
B
解析：A ＝{3，4，5，6，7}，
B ＝{5，6，7}，所以 AB ＝{3，4}.
解析
2. 已知全集 U＝R，集合A＝ { x∣－1≤x＜0}的补集
UA＝(　　)
A. {x∣x ＜－1或 x≥0}
B. {x∣x ≤ －1或 x＞0}
C. { x∣－ 1＜ x≤0}
D.{ x ∣ 0 ＜ x≤1}
A
3. 已知全集 U＝R，A＝{x∣1≤x＜b}， UA＝{x∣x＜1
或 x≥2}，则实数b＝___________.
2
解析：因为 UA＝ { x∣x＜1或 x≥2}，
所以 A＝ { x∣1≤x＜2}，所以 b＝2.
解析
4. 设全集 U＝R，不等式组 的解集为A，试
求A及 UA，并把它们分别表示在数轴上.
解析：A＝ { x∣x＋1≥0且 3x－6≤0}＝ {x∣－1≤x≤2}，所以 UA＝ { x∣x＜－1或 x＞2}，在数轴上分别表示如图.
解析
练 习
1. 写出下列集合的所有子集：
(1) {1}； (2) {1，2}； (3) {1，2，3}.
(1) ，{1}；
(2) ，{1}，{2}，{1，2}；
(3) ，{1}，{2}，{3}，{ 1，2}，{1，3}，{2，3}，
{1，2，3}.
2. 已知全集 U＝ {0，1，2，3，4，5，6}，分别根据下
列条件求 UA.
(1) A＝ {0，2，4，6}；
(2) A＝ { 0，1，2，3，4，5，6 }；
(3) A＝ .
{1，3，5}

{ 0，1，2，3，4，5，6 }
3. 判断下列表述是否正确：
(1) a {a}；
(2) {a} ∈ {a，b}；
(3) {a，b} {b，a}；
(4) {－1，1} {－1，0，1}；
(5) 0 ∈ ；
(6) {0} ＝ ；
(7) { 0 } ；
(8) {－1，1 }.








4. 若 U＝Z，A＝{ x∣x＝2k，k∈Z，B＝{ x∣x＝2k＋l，
k∈Z}，则 UA ＝______________________，
UB ＝______________________.
B
A
5. U( UA ) ＝____________________.
A
6. 已知 U＝R，A＝ { x∣x＜0}，求 UA.
解： UA ＝ { x ∣x ≥0}.
提示：可利用数轴以及补集定义求解，注意补集中包含 0.
提示
习题 1.2
感受·理解
1. 如图，试说明集合 A，B，C 之间有什么包含关系.
A B C
2. 指出下列各组集合 A 与 B 之间的关系：
(1) A ＝ {－1，1}，B＝Z；
(2) A ＝ {－1，0，1}，B＝{ x∣x2－1 ＝ 0}；
(3) A ＝ {1，3，5，15 }，B＝{ x∣x 是15的正约数}；
(4) A ＝ N* ，B ＝ N.
A B
B A
A ＝ B
A B
3. 已知 U＝{ x∣x 是至少有一组对边平行的四边形}，
A＝{ x ∣ x 是平行四边形}，求 UA.
解：因为 U ＝{是平行四边形或x是梯形}，
A ＝{ x ∣x 是平行四边形}，
所以 UA ＝ {x ∣x 是梯形}.
4. (1) 已知 U ＝{1，2，3，4}，A＝ {1，3}，求 UA ；
(2) 已知 U ＝{1，3}，A＝ {1，3}，求 UA ；
UA ＝{ 2，4}
UA ＝
(3) 已知 U ＝ R，A＝ { x∣x ≥ 2}，求 UA ；
(4) 已知 U ＝ R，A＝ { x∣－2 ≤ x ＜ 2}，求 UA ；
UA ＝{ x ∣x ＜ 2}
UA ＝{ x ∣x ＜ － 2 或 x ≥2}
思考·运用
5. 设 A 是一个集合，下列关系是否成立
(1) A ＝ {A}； (2) A {A}； (3) A ∈ {A}.
解：(1) A是一个集合，{A}是一个只含有一个元素A
的集合，故A ＝{A}不成立.
(2) A {A}； (3) A ∈ {A}.
解：(2) {A}是一个只含有一个元素A的集合，其所
有子集为 ，{A}，故A {A}不成立.
(3) {A}是一个只含有一个元素A的集合，
故 A ∈{A}成立.
6. 已知 A B，A C，B＝{ 0，2，4}，C＝{0，2，6}，
写出所有满足上述条件的集合 A.
解：B ∩ C ＝ {0，2} 且 A B，A C，
所以 A {0，2}，
则 A ＝ ，{0}，{2}，{0，2}.
7. 设 m 为实数，若 U＝R，A ＝{ x∣x ＜ 1}，
B ＝{ x∣x＞m }.
(1) 当 UA B 时，求 m 的取值范围；
解：因为A＝{ x∣x＜1}，
所以 UA ＝ {x∣ x≥1}，
因为 UA B，
所以 m ＜ 1，故m的取值范围为(－∞，1)
(2) 当 UA B 时，求 m 的取值范围；
解：因为 UA B，
所以 m ＞ 1，
故 m 的取值范围为[1， ＋ ∞ ).
探究·拓展
8. 子集符号“ ”与不等号“≤”看起来很相似.“≤”
具有下面的性质：
(1) 如果 a≤b 且 b≤c，那么 a≤c；
(2) 如果 a≤b 且 b≤a，那么 a＝c.
试写出“ ”相应的“性质”，并判断其正确性.
解：(1) 如果A B且B C，那么A C，正确；
(2) 如果A B且 B A，那么 A＝B，正确.
本课结束
This lesson is over
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