1.1 集合的概念与表示 课件（共70张PPT）

(共70张PPT)
第1章 集 合
1. 1
集合的概念与表示
在初中的数学学习中，我们曾做过下面的作业：
5
这里有“正数集合”“负数集合”“整数集合”“分数集合”，那么，
5
● 什么是集合
● 如何用数学语言表示集合
康托尔(G.Cantor，1845—1918)，德 国 数学家、集合论创始人，他在 1874 年发表了关于集合论的论文.
5
一、元素与集合
集 合
定义
记 法
一定范围内某些 ________、_______ 对象的全体组成一个集合.
确定的
不同的
常用大写拉丁字母表示，如集合 ______、集合______等.
A
B
5
元 素
定义
记 法
集合中的 __________ 称为该集合的元素，简称元.
每一个对象
常用小写的拉丁字母a，b，c，···表示.
5
“中国的直辖市”组成一个集合，该集合的元素就是北京、天津上海和重庆这 4 个城市.
“young 中的字母”组成一个集合，该集合的元素就是 y，o，u，n，g 这5个字母.
“book 中的字母”也组成一个集合，该集合的元素就是 b，o，k 这3个字母.
“1~10 以内的所有质数”组成一个集合，该集合的元素就是 2，3，5，7这4个数.
5
【思考】
(1) 集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、
代数式吗
提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
(2) 根据集合的定义思考：集合中的元素具有哪些特性
提示：确定性、互异性和无序性.
二、常见的数集及表示符号
6
数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 __ ______ Z __ R
N
N*或N＋
Q
6
特别地，全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作 N；
全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作 N*或N＋；
全体整数组成的集合，叫作整数集，记作 Z；
全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作 Q；
全体实数组成的集合，叫作实数集，记作 R.
【思考】
N 与 N＋ (或N*) 有何区别
提示：N＋ (或N*) 是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋ (或N*) 多一个元素0.
三、元素与集合的关系
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关系 文字叙述 记法 读法
属于 a是集合A的元素 _____ a属于A
不属于 a不是集合A的元素 ____ 或 ______ a不属于A
a∈A
a A
aA
【思考】
元素与集合之间有第三种关系吗
提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有
“a∈A”与“a A”这两种结果.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 在一个集合中可以找到两个相同的元素. (　　)
(2) 高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合. (　　)


集合中的元素是互不相同的.
“难题”没有严格的标准，所以不能构成集合.
(3) 由方程 x2－4＝0和 x－2＝0的根组成的集合中有 3个元素. (　　)

由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合有2个元素.
2. 下列关系中，正确的个数为 (　　 ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
① ∈R. ② Q. ③ |－3|∈N. ④ － ∈Z.
D
【解析】选D. 是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，－＝－3是整数，故①②③④均正确.
3. 已知集合 A 含有三个元素0，1，x－2，则实数 x 不能
取的值是________.
【解析】根据集合中元素的互异性可知：
x－2≠0 且 x－2≠1，所以实数 x 不能取的值是 2，3.
2，3
【跟踪训练】
1. 已知 2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是 (　　)
A. a可取全体实数
B. a可取除去0以外的所有实数
C. a可取除去3以外的所有实数
D. a可取除去0和3以外的所有实数
D
解析：因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a.
所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.
解析
2. 若以方程 x2－5x＋6＝0和方程 x2－x－2＝0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：方程 x2－5x＋6＝0 的解为2和3，方程 x2－x－2＝0的解为－1和2，所以集合M是由－1，2，3这三个元素组成的集合.
解析
C
3. 英文短语“open the door to...”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是 (　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：根据集合中元素的互异性可知，“open the door to...”中的不同字母共有“o，p，e，n，t，h，d，r”8个，故该集合的元素个数为 8.
解析
B
4. 下列表述正确的是__________. (填序号)
(1) 0∈N. (2) ∈Z. (3) ∈Z. (4) π Q.
(1)，(4)
解析：因为 N、Z、Q 分别表示自然数集、整数集、有理数集. 0是自然数，不是整数， 不是整数，π不是有理数,所以0∈N和π Q正确.
解析
5. 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1) 求实数x应满足的条件.
解：由集合中元素的互异性可知，x≠3，且
x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解之得 x≠－1且 x≠0，且 x≠3.
(2) 若－2∈A，求实数x.
解：因为－2∈A，所以 x＝－2 或 x2－2x＝－2.
由于 x2－2x＝ (x－1)2－1≥－1，
所以 x＝－2.
【补偿训练】
已知集合A含有两个元素 a－3 和 2a－1，
(1) 若－ 3∈A，试求实数a的值.
解：因为－3∈A，所以 a－3＝－3或2a－1＝－3.
若a－3＝－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意.
若 2a－1＝－3，则a＝－1.
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2) 若a∈A，试求实数a的值.
解：因为a∈A，所以 a－3＝a或 2a－1＝a.
当 a－3＝a 时，有－3＝0，不成立.
当2a－1＝a时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意.
综上知 a＝1.
1. 列举法
(1) 方法：将集合的元素_________出来，并置于花括
号_________内.
例如{北京，天津，上海，重庆}，{y，o，u，n，g}.
(2) 注意事项：①元素之间要用_______分隔；
②列举时与元素的_______无关.
四、集合的表示
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一一列举
“{ }”
逗号
次序
【思考】
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗
提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.
例如：{a，b}与 {b，a} 表示同一个集合.
2. 描述法
(1) 形式：{ x∣p(x)}，其中x为集合的代表元素，p(x)
指元素 x 具有的性质.
(2) 本质：它是集合符号语言的具体体现，可将集
合中元素的规律与性质清楚地表示出来.
如：{ x∣x 为中国的直辖市，{ x∣x 为 young 中的字母}，
{ x∣ x＜－3，x ∈ R}.
6
【思考】
{ (x，y) ∣y＝x2＋2}能否写为{ x∣y＝x2＋2} 或{ y∣y＝x2＋2}呢
提示：不能，(x，y) 表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.
3. Venn图法
(1) 形式：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.
(2) 作用：直观地表示集合.
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北京，上海，天津，重庆
(1)
y，o，u，n，g
(2)
例如
文恩 ( J . Venn，1834-1923)，英国数学家。
例如，由方程 x2－1＝0 所有的实数解组成的集合，可以表示为下列形式.
(1) 列举法：{－1，1}(也可以是{1，－1})；
一个集合可以用不同的方法表示.
(2) 描述法：{ x∣x2－1＝0， x∈R} (也可以是
{ x∣x为方程 x2－1＝0 的实数解}).
6
4. 集合相等
(1) 定义：如果两个集合所含的元素完全相同，那么
称这两个集合相等.
(2) 本质：A与B相等，即A中的元素都是B的元素，
B中的元素也都是A的元素.
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例如，{北京，天津，上海，重庆}
＝{上海，北京，天津，重庆}.
例 1
用列举法表示下列集合：
7
(1) 大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合；
解：设大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合为 A，
那么A＝ {2，4，6，8，10，12}.
(2) 由1～15 以内的所有质数组成的集合.
7
解：设由 1～15 以内的所有质数组成的集合为 B，
那么 B ＝ {2，3，5，7，11，13}.
例 2
用描述法表示下列集合：
7
(1) 大于1的所有偶数组成的集合；
解： 设大于1的偶数为 x，并且满足条件
x＞1，x＝2k，k∈N，
因此，这个集合表示为
A＝{ x∣x＞1，x＝2k，k∈N}.
(2) 不等式 2x－3＞5 的解集.
解：由 2x－3＞5可得x＞4，故不等式2x－3＞5的解集
为 { x∣x＞4，x∈R }.
7
例1中的集合的元素都有有限个，例2中的集合的元素都有无限个.
五、集合的分类
(1) 含有__________元素的集合称为有限集；
(2) 含有__________元素的集合称为无限集；
(3) _______________的集合称为空集，记作 .
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有限个
无限个
不含任何元素
【基础小测】
1. 辨析记忆 (对的打“ ”，错的打“ ”).
(1) 由 1，1，2，3 组成的集合可用列举法表示为 {1，1，
2，3}. (　　)
(2) 集合{(1，2)}中的元素是1和2. (　　)
由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1 ，2，3 }.
集合{(1，2)}中的元素是(1，2) .


(3) 集合{ x∣x2＝1}与集合{－1，1}相等. (　　)
(4) 集合{ x∣x＞3} 与集合{ t∣t ＞3}相等. (　　)
由 x2＝1求得 x＝－1或x＝1，所以{ x∣x2＝1}与{－1，1}相等.


虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的实数，两个集合相等.
2. 给出下列集合，
(1) {0}，(2) { x∣x ＞7，且 x＜1}，(3){ x∣x＞4}，
(4) { x∣x2－2＝0，x∈Z}.
其中空集的个数为 (　　)　
A.1 B.2 C.3 D.4
B
3. 由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示
为_________________________，用描述法表示为
_______________________________.
{0，1，2，3，4}　
{ x ∣ － 1 ＜ x ＜ 5，x∈N}
【题组训练】
1. 已知集合 A＝ { x∣－1≤x＜4，x∈Z}，则集合A中元素的个数为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
C
解析：因为－1≤x＜4，x∈Z，所以 x＝－1，0，1，2，3，所以集合A＝ {－1，0，1，2，3}共有5个元素.
解析
2. 集合{(x，y) ∣y＝2x－1}表示 (　　)
A.方程 y＝2x－1
B. 点(x，y)
C. 平面直角坐标系中的点组成的集合
D. 函数 y＝2x－1图象上的点组成的集合
D
解析：集合{(x，y) ∣y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，满足的关系式为 y＝2x－1，因此集合表示的是函数 y＝2x－1图象上的点组成的集合.
解析
3. 已知 a∈ (1，) ，则实数a的值为________.
0
解析：由题意得，a＝1或 a＝ ，
当a＝1时，＝1 不满足集合中元素的互异性；
当a＝ 时，a＝0 或 a＝1，
经检验，a＝0 符合题意，综上可知，a＝0.
解析
4. 函数 y＝ 的自变量的值组成的集合为
__________________.
{ x∈R∣x≠1}
解析：函数 y＝ 的自变量应满足 x≠1，组成的集合用描述法可表示为{ x∈R ∣ x≠1}.
解析
5. 设 x，y 为实数，已知 A＝ {x，y}，B＝ {0，x2}，且
A＝B，求 x，y 的值.
解 ：因为集合A，B相等，则 x＝0或 y＝0.
(1)当 x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互
异性，故舍去.
(2) 当 y＝0时，x＝x2，解得x＝0 或 x ＝ 1.
由(1)知 x＝0 应舍去.
综上知：x＝1，y＝0.
7
练 习
1. 用“∈”或“ ”填空：
1______N，－3______N，0______N，______N，
1______Z，－3______Q，0______Z， ______R.
∈
∈
∈
∈
∈
∈


7
2. 用列举法表示下列集合 ：
(1) { x∣ x ＋ 1 ＝ 0}；
解： x＋1＝0
x ＝－1.
∴{ x ∣ x＋1＝ 0} ＝{－ 1}
综上所述，结论是：{－ 1}；
(2) { x∣ x 为15的正约数 }；
7
解：15＝1×15＝3×5.
∴{ x∣x 为15的正约数} ＝{1，3，5，15}
综上所述，结论是：{1，3，5，15};
(3) { x∣ x为不大于10 的正偶数}.
7
解：不大于10 的正偶数是：2，4，6，8，10
∴ { x∣x 为不大于10的正偶数}
＝{2，4，6，8，10}
综上所述，结论是：{2，4，6，8，10}.
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3. 用描述法表示下列集合：
(1) 数的集合；
(2) 正数的集合；
解：奇数的集合＝ {n＝2k－1∣k∈Z}；
解：正偶数的集合＝{z＝2k∣ k∈N*}；
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(3) 不等式 x2＋1≤0 的解集.
解： x ∈ R，x2≥0，
∴ x2＋1≥1，
∴ 不等式 x2＋1 ＜ 0的解集为
＝ { x ∣ x2＋1≤0}.
4. 用适当的方法表示下列集合：
8
(1) 方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合；
解：因为方程 x2＋2x－15＝0的根为 x＝－5 或 x＝3，
所以方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合为：
{－5，3}.
8
(2) 不等式 4x－3＜5的解集.
解：不等式 4x－3＜5 的解集为{ x∣x＜2}.
8
5. 用列举法表示下列集合：
(1) { a∣0 ≤ a ＜ 6，a∈N }；
解：∵0≤a＜6 且 a∈N，
∴a ＝ 0，1，2，3，4，5.
∴用列举法表示为{0，1，2，3，4，5}
8
(2) “mathematics 中的字母”组成的集合；
(3) 汉字“永”的笔画组成的集合.
解：∵ mathematics中出现的字母有 a，c，e，h，i，
m，s，t，重复出现的字母只记一次，
∴ 用列举法表示为{a，c，e，h，i，m，s，t}；
解：永字的笔画为“、， ，フ， 丿， ”，
∴用列举法表示为{、， ，フ， 丿， ”}.
习题 1.1
感受·理解
1. 用“∈”或“ ”填空：
____Q，π _____ Q， _____ R，＋ _____ R.
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∈

∈
∈
2. 用列举法表示下列集合：
(1) { x | x2 ＋ 3x － 18 ＝ 0，x ∈ R)}；
(2) { x | x 为不超过 5 的自然数}；
(3) { x | － 3 ＜ 2x－1 ≤3，x ∈ Z}；
(4) { (x，y) | 0 ≤ x ≤ 2， 0 ≤ y ≤ 2，x，y ∈ Z}；
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{－6，3}
{0，1，2，3，4，5}
{0，1，2}
{ (0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)}
3. 用描述法表示下列集合：
(1) 不等式 3x ＋ 2 ＞ 5 的解集；
(2) 平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；
(3) 二次函数 y ＝ x2－2x＋3 图象上的点组成的集合.
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{x∣3x＋2＞5} 即{ x∣x ＞1}；
{(x，y) ∣x＜0，y＞0}；
{ (x，y) ∣y＝x2－2x＋3，x∈R).
思考·运用
4. 用“∈”或“ ”填空：
(1) 若 A＝ { x∣ x2－x＝0}，则 1_____A，－1_____A；
(2) 若 B ＝ { x∣1 ≤ x ≤ 5，x∈N}，则 1______B，
1.5_____B；
(3) 若 C ＝ { x∣－1＜ x ＜ 3，x∈Z}，则 0.2_____C，
3_____C；
8
∈

∈



5. 设 a，b 为实数，已知 M＝ {1，2}，N＝{a，b}，且
M＝N，求 a，b 的值.
8
解：∵ M＝ {1，2}，N＝ {a，b}，且 M＝N，
a＝1 a＝2
∴ 或
b＝2 b＝1
解：由题意，令 3k＋1＝－1，解得 k＝－，
又∵ K ∈ Z，所以－ 1 A.
令 3k＋1＝5，解得 k＝，因为 k∈Z，所以 5∈A.
令 3k＋1＝7，解得 k＝2，因为 k∈Z，所以7∈A.
6. 已知 A＝ {x∣x＝3k＋1，k∈Z，问：－1，5，7 三个
数中，哪此数是 A 的元素
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探究·拓展
7. (写作题) 我们使用符号“e”表短语“是……的元素”
(is an element of). 符号“3∈A”表示“3 是集合 A 的
元素”如果“3 不是集合 A 的元素”，那么写成“3
A”虽然“e”看起来有点像字母“e”，但这两个
符号并不相同，不应混淆.
8
请查阅有关资料，寻找最先引入符号“∈”的数学家，以及符号“∈”的原始意义等信息，写一篇关于符号“∈”的短文.
8
“∈”表示一个元素属于某一集合的记号，是意大利数学学家皮亚诺 (Peano) 在1889年的数学著作中首先使用的.在数系理论研究方面，皮亚诺作出了重大贡献，
在1889年出版的《算术原理新办法》一书中，皮亚诺提出“皮亚诺自然数公理”举世闻名，在书中他还对许多逻辑符号进行了创新.
在1891年创建了《数学杂志》，皮亚诺在这个杂志上利用数理逻辑符号写下自然数公理，并对它们的独立性进行了证明皮亚诺于1893年发表《无穷小分析教程》，该书被德国的数学百科全书列在“自L.欧拉(Euler)和A.L，
柯西(GAUCHY)时代以来最重要的19本微积分教科书”之中.
皮亚诺撰写的《数学百科全书》中有很多地方引人注目，例如推广微分中值定理;多变量函数一致连续性的判定定理；隐函数存在定理以及其可微性定理的证明；部分可微但整体不可微的函数的例子；当时流行的极小理论的反例等.
本课结束
This lesson is over
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