10 概率与统计
一、选择题
1．(福建5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ C ）
A. B. C. D.
2．（江西11）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（ C ）
A． B． C． D．
3．9辽宁7 ( http: / / www. )）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）
A． B． C． D．
4．(山东9) 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
A． B． C．3 D．
5．(重庆5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是 ( D )
(A)简单随机抽样法 (B)抽签法
(C)随机数表法 (D)分层抽样法
6．(重庆9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 ( B )
(A) (B) (C) (D)
7．(陕西3 ( http: / / www. ) ) 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ）
A．30 B．25 C．20 D．15
二、填空题
1．（广东11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是________.13
2．（宁夏16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图 ( http: / / www. )
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① ；
② ．
参考答案：
（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．
（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．
（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．
注：上面给出了四个结论．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
3．（湖南12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。60
4．（江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率
5．（江苏6）在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率
6．（上海8）在平面直角坐标系中，从六个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．
7．（上海10）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 ．
8．(天津11) 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人．10
9．(湖北11).一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .10
10．(湖北14).明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 0.98
三、解答题
1．（安徽18）．（本小题满分12分）
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。
（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。
解：（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为
（2）设表示所抽取的三张卡片中，恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为则
,
因而所求概率为
2．（北京18）（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
3．（福建18）（本小题满分12分）
三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.
(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；
(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.
解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有
且A1，A2，A3相互独立.
（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有
B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3
彼此互斥
于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3）
＝
＝.
答：恰好二人破译出密码的概率为.
（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.
D＝··，且，，互相独立，则有
P（D）＝P（）·P（）·P（）＝＝.
而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.
答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
4．（广东19）（本小题满分13分）
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
求x的值；
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
解：（1）
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；
由（2）知 ，且 ,
基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个
事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个
5．（宁夏19 ( http: / / www. )）（本小题满分12分）
为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：
5，6，7，8，9，10．
把这6名学生的得分看成一个总体．
（Ⅰ）求该总体的平均数；
（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：（Ⅰ）总体平均数为
． 4分
（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．
事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．
所以所求的概率为
． 12分
6．（江西18）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；
（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
解：（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件
7．（湖南16）(本小题满分12分)
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率：
(Ⅱ)没有人签约的概率.
解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=.
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是1－P()
＝1－.
(Ⅱ)没有人签约的概率为
＝
＝
8．（辽宁18）（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
周销售量 2 3 4
频数 20 50 30
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；
（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．
解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 4分
（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为
（ⅰ）． 8分
（ⅱ）． 12分
9．（全国Ⅰ20）（本小题满分12分）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
解：对于甲：
次数 1 2 3 4 5
概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
对于乙：
次数 2 3 4
概率 0.4 0.4 0.2
．
10．（全国Ⅱ19 ( http: / / www. )）（本小题满分12分）
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
解：记分别表示甲击中9环，10环，
分别表示乙击中8环，9环，
表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（Ⅰ）， 2分
． 6分
（Ⅱ）， 8分
，
，
． 12分
11．(山东18)（本小题满分12分）
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求被选中的概率；
（Ⅱ）求和不全被选中的概率．
解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{，，
，，，
，，，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用表示“恰被选中”这一事件，则
{，
}
事件由6个基本事件组成，
因而．
（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，
由于{}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
12．（四川18）（本小题满分12分）
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。
【解】：（Ⅰ）记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅱ）记表示事件：进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；
表示事件：进入商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；
表示事件：进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品；
13．(天津18)（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得
，
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．
解法二：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得
，
于是或（舍去），故．
所以乙投球的命中率为．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率为．
解法二：由题设和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率为．
（Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，，．
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为
，
，
．
所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为
．
14．（浙江19）（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有10个球。从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。求：
（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；
（Ⅱ）袋中白球的个数。
（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为．
记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则
．
（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，
设袋中白球的个数为，则
，
得到．
15．（重庆18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分.）
在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;
（Ⅱ）至少答对一道题的概率.
解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.
由独立重复试验的概率计算公式得：
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为
(Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为
解法二：至少有一道题答对的概率为
16．(陕西18)（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；
（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率
．
（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为
．
3 1 27
7 5 5 0 28 4
5 4 2 29 2 5
8 7 3 3 1 30 4 6 7
9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8
8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9
7 4 1 33 1 3 6 7
34 3
2 35 6
甲
乙
第 1 页 共 12 页09 排列组合二项式定理
一、选择题
1．（安徽7）．设则中奇数的个数为（ A ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（安徽12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( C )
A． B． C． D．
3．(福建9) 某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ A ）
A.14 B.24 C.28 D.48
4．（湖南8）某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，
则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是 ( C )
A．15 B．45 C．60 D．75
5．（江西8）展开式中的常数项为（ D ）
A．1 B． C． D．
6．（辽宁10）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ B ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
7．（全国Ⅰ3）的展开式中的系数为（ C ）
A．10 B．5 C． D．1
8．（全国Ⅰ12）将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ B ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
9．（全国Ⅱ9 ( http: / / www. )）的展开式中的系数是（ A ）
A． B． C．3 D．4
10．（浙江6）在的展开式中，含的项的系数是 ( A )
（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274
11．(重庆10)若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为( B )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
12．(湖北2.) 的展开式中常数项是 ( B )
A.210 B. C. D.-105
13．(湖北9).从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 ( B )
A.100 B.110 C.120 D.180
14．(陕西12) 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ C ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
二、填空题
1．（北京12）的展开式中常数项为______10；各项系数之和为_______．32（用数字作答）
2．（福建13）（x+）9展开式中x2的系数是 .84（用数字作答）
3．（湖南13）记的展开式中第m项的系数为，若，则=__________.5
4．（湖南15）设表示不超x的最大整数，（如）。对于给定的,
定义则________;
当时，函数的值域是_________________________。
当时，当时，
所以故函数的值域是.
5．（辽宁15 ( http: / / www. )）展开式中的常数项为 ．35
6．（全国Ⅱ14）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）420
7．（四川13）展开式中的系数为 _______________。
8．（四川15）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________________种。
9．(天津12) 的二项展开式中的系数为 （用数字作答）．10
10．(天津16) 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．432
11．（浙江17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答)。40
12．（重庆16）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种（用数字作答）.12
13．(陕西14) 的展开式中的系数为 84 ．(用数字作答)
14．(陕西16) 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 96 种．（用数字作答）．
1
2
3
3
1
2
2
3
1
第 1 页 共 3 页07 圆锥曲线
一、选择题
1．（北京3）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（ A ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（福建12）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）
A.（1，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞]
3．（宁夏2）双曲线的焦距为（ D ）
A． B． C． D．
4．（湖南10）．双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )
A． B． C． D．
5．（江西7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
6．（辽宁11 ( http: / / www. )）已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（全国Ⅱ11 ( http: / / www. )）设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
8．（上海12）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（ D ）
A．4 B．5 C．8 D．10
9．（四川11）已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( C )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
10．(天津7) 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ B ）
A． B． C． D．
11．（浙江8）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是( D )
（A）3 （B）5 （C） （D）
12．(重庆8)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为( C )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
13．(湖北10).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①②③④
其中正确式子的序号是 ( B )
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
14．(陕西9 ( http: / / www. )) 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．（安徽14）．已知双曲线的离心率是。则＝ 4
2．（宁夏15 ( http: / / www. )）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则的面积为 ．
3．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=
4．（江西14）已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
5．（全国Ⅰ14）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
6．（全国Ⅰ15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
7．（全国Ⅱ15 ( http: / / www. )）已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于 ．2
8．(山东13) 已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
9．（上海6）若直线经过抛物线的焦点，则实数 ．-1
10．（浙江13）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点
若，则= 。8
三、解答题
1．（安徽22）．（本小题满分14分）
设椭圆其相应于焦点的准线方程为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：
;
（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值
解 ：（1）由题意得：
椭圆的方程为
(2)方法一：由（1）知是椭圆的左焦点，离心率
设为椭圆的左准线。则
作，与轴交于点H(如图)
点A在椭圆上
同理
。
方法二：
当时，记，则
将其代入方程 得
设 ，则是此二次方程的两个根.
................(1)
代入（1）式得 ........................(2)
当时， 仍满足（2）式。
（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得
，
当时，取得最小值
2．（北京19）（本小题共14分）
已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．
（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．
解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．
设两点坐标分别为．
由得．
所以．
又因为边上的高等于原点到直线的距离．
所以，．
（Ⅱ）设所在直线的方程为，
由得．
因为在椭圆上，
所以．
设两点坐标分别为，
则，，
所以．
又因为的长等于点到直线的距离，即．
所以．
所以当时，边最长，（这时）
此时所在直线的方程为．
3．(福建22)（本小题满分14分）
如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.
解法一：
（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,
所以椭圆C前方程为.
(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①
AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，
n(x-4)-(m-4)y=0.
设M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, ……②
n(x0-4)+(m-4)y0=0, ……③
由②，③得
x0=.
所以点M恒在椭圆G上.
(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.
设A(x1,y1),M（x2，y2），则有：y1+y2=
|y1-y2|=
令3t2+4=λ(λ≥4),则
|y1-y2|＝
因为λ≥4，0<
|y1-y2|有最大值3，此时AM过点F.
△AMN的面积S△AMN=
解法二：
（Ⅰ）问解法一：
（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), ……①
AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0, ……②
n(x-4)-(m-4)y=0, ……③
由②，③得：当≠. ……④
由④代入①，得=1（y≠0）.
当x=时，由②，③得：
解得与a≠0矛盾.
所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.
（Ⅱ）同解法一.
4．（广东20）（本小题满分14分）
设b0，椭圆方程为=1，抛物线方程为x 2=8(y-b).如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A1B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.
解：（1）由得
当时，，G点的坐标为（4，b＋2）
，
过点G的切线方程为，即，
令y＝0得 ，点的坐标为 （2-b，0）；
由椭圆方程得点的坐标为（b，0），
即 b＝1，
因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和．
（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,
以为直角的只有一个;
同理以为直角的只有一个;
若以为直角, 设P点的坐标为，则A、B坐标分别
为、
由得，
关于的一元二次方程有一解，x有二解，即以为直角的有二个;
因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形．
5．（宁夏23 ( http: / / www. )）（本小题满分10分）（选修4－4；坐标系与参数方程）
已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）．
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程 ( http: / / www. )．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．
解：（Ⅰ）是圆，是直线． 2分
的普通方程为，圆心，半径．
的普通方程为．
因为圆心到直线的距离为，
所以与只有一个公共点． 4分
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
：（为参数） ：（t为参数） 8分
化为普通方程为：：，：，
联立消元得，
其判别式，
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．10分
6．（江西22）已知抛物线和三个点
，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．
（1）证明三点共线；
（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．
（1）证明：设，
则直线的方程：
即：
因在上，所以①
又直线方程：
由得：
所以
同理，
所以直线的方程：
令得
将①代入上式得，即点在直线上
所以三点共线
（2）解：由已知共线，所以
以为直径的圆的方程：
由得
所以（舍去），
要使圆与抛物线有异于的交点，则
所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点
则，所以交点到的距离为
7．(江苏选修) 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．
解： 因椭圆的参数方程为
故可设动点的坐标为，其中.
因此
所以。当是，取最大值2
8．（湖南19）(本小题满分13分)
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4).
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.
解 （Ⅰ）设椭圆的方程为(a＞b＞0).
由条件知c=2,且=λ,所以a2=λ,
b2=a2-c2=λ-4.故椭圆的方程是
(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y=k(x-1).设点F(2,0)关于直线l的对称点为F2(x0,y0),则
解得
因为点F′(x0,y0)在椭圆上，所以即
λ(λ-4)k4+2λ(λ-6)k2+(λ-4)2=0.
设k2=t,则λ(λ-4)t2+2λ(λ-6)t+(λ-4)2=0.
因为λ＞4,所以＞0.
9．（辽宁21 ( http: / / www. )）．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？
解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为． 4分
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，
故． 6分
，即．
而，
于是．
所以时，，故． 8分
当时，，．
，
而
，
所以． 12分
10．（全国Ⅰ22）（本小题满分12分）
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（1）设，，
由勾股定理 ( http: / / www. )可得：
得：，，
由倍角公式，解得
则离心率．
（2）过直线方程为
与双曲线方程联立
将，代入，化简有
将数值代入，有
解得
最后求得双曲线方程为：．
11．（全国Ⅱ22）（本小题满分12分）
设椭圆 ( http: / / www. )中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，． 2分
如图，设，其中，
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化简得，
解得或． 6分
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
． 9分
又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为
9分
，
当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
12．(山东22．（本小题满分14分）
已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．
解：（Ⅰ）由题意得
又，
解得，．
因此所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，
．
解方程组得，，
所以．
设，由题意知，
所以，即，
因为是的垂直平分线，
所以直线的方程为，
即，
因此，
又，
所以，
故．
又当或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，的轨迹方程为．
（2）当存在且时，由（1）得，，
由解得，，
所以，，．
解法一：由于
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
解法二：因为，
又，，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
13．（上海20）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知双曲线．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．
记．求的取值范围；
（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．
【解】（1）所求渐近线方程为 ……………...3分
（2）设P的坐标为，则Q的坐标为， …………….4分
……………7分
的取值范围是 ……………9分
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，
则直线的斜率 ……………11分
由计算可得，当
当 ……………15分
∴ s表示为直线的斜率k的函数是….16分
14．（四川22）（本小题满分14分）
设椭圆的左右焦点分别为，离心率，点到右准线为的距离为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是上的两个动点，，
证明：当取最小值时，
【解】：因为，到的距离，所以由题设得
解得
由，得
（Ⅱ）由得，的方程为
故可设
由知知
得，所以
当且仅当时，上式取等号，此时
所以，
15．(天津22)（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．
（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得
解得
所以双曲线的方程为．
（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得
．
此方程有两个不等实根，于是，且
．整理得
． ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
，．
从而线段的垂直平分线的方程为
．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得
．
整理得
，．
将上式代入③式得，
整理得
，．
解得或．
所以的取值范围是．
16．（浙江22）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数。
（Ⅰ）解：设为上的点，则
，
到直线的距离为．
由题设得．
化简，得曲线的方程为．
（Ⅱ）解法一：
设，直线，则
，从而
．
在中，因为
，
．
所以 .
，
．
当时，，
从而所求直线方程为．
解法二：设，直线，则，从而
．
过垂直于的直线．
因为，所以，
．
当时，，
从而所求直线方程为．
17．（重庆21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l： 的距离，若,求的值.
解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=,
所以双曲线的方程为x2-=1.
(II)解法一：
由（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=.
R所以双曲线的方程为x2-=1.
(II)解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|2, ①
知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ②
将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以
|PN|=.
因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2,
所以d=|PN|,因此
解法：
设P（x,y），因|PN|1知
|PM|=2|PN|22|PN|>|PN|,
故P在双曲线右支上，所以x1.
由双曲线方程有y2=3x2-3.
因此
从而由|PM|=2|PN|2得
2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0.
所以x=(舍去x=).
有|PM|=2x+1=
d=x-=.
故
18．(湖北20)（本小题满分13分）
已知双同线的两个焦点为
的曲线C上.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程
(Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4＝，
将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，
故所求双曲线方程为
解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.
2a=|PF1|－|PF2|=
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
∴双曲线C的方程为
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6=0.
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴
∴k∈(－)∪(1,).
设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=
而原点O到直线l的距离d＝,
∴SΔOEF=
若SΔOEF＝，即解得k=±,
满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和
解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ①
∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈(－)∪(1,). ②
设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得
|x1－x2|＝. ③
当E、F在同一支上时（如图1所示），
SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=；
当E、F在不同支上时（如图2所示），
SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝
综上得SΔOEF＝，于是
由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝.
若SΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②.
故满足条件的直线l有两条，基方程分别为y=和y=
18．(陕西21 ( http: / / www. ))（本小题满分12分）
已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，
由韦达定理得，，
，点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，
直线与抛物线相切，
，．
即．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，
．
由（Ⅰ）知
．
轴，．
又
．
，解得．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得
．由韦达定理得．
，点的坐标为．，，
抛物线在点处的切线的斜率为，．
（Ⅱ）假设存在实数，使．
由（Ⅰ）知，则
，
，，解得．
即存在，使．
D
F
B
y
x
A
O
E
A
B
O
Q
y
x
l
M
A
B
O
Q
y
x
l
M
H
l1
x
A
y
1
1
2
M
N
B
O
第 2 页 共 29 页08 立体几何
一、选择题
1．（安徽3）．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是省（ B ）
A． B．
C． D．
2．（北京8）如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ B ）
3．(福建6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ D ）
A. B.
C. D.
4．（广东7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
5．（宁夏12）已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ D ）
A． B． C． D．
6．（湖南5）已知直线m,n和平面满足,则 ( D )
或 或
7．（湖南9）长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，
，则顶点A、B间的球面距离是( B )
A． B． C． D．2
8．（江西9）．设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ B ）
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行
D．与直线平行的平面不可能与平面垂直
9．（辽宁12）在正方体中，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线（ D ）
A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条
10．（全国Ⅰ11）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ B ）
A． B． C． D．
11．（全国Ⅱ8）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ B ）
A．3 B．6 C．9 D．18
12．（全国Ⅱ12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ）
A．1 B． C． D．2
13．(山东6) 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ D ）
A． B．
C． D．
14．（上海13 ( http: / / www. )）给定空间中的直线l及平面．条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ C ）
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
C．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件
15．（四川８）设是球心的半径的中点，分别过作垂直于的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( D )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
16．（四川10）设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有：( B )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
17．（四川12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( B )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
18．(天津5) 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ C ）
A． B．
C． D．
19．（浙江9）对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得 ( B )
（A） （B）
（C） （D）
20．(重庆11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为 ( A )
(A)模块①，②，⑤ (B)模块①，③，⑤
(C)模块②，④，⑥ (D)模块③，④，⑤
21．(湖北4).用与球必距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为 ( D )
A. B. C. D.
22．(陕西8)长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为( C )
A． B． C． D．
23．(陕西10) 如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ D ）
A． B．
C． D．
二、填空题
1．（安徽16）已知点在同一个球面上,若
,则两点间的球面距离是
2．（福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 . 93．（广东15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.
4．（宁夏14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 ．
5．（江西15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．5
6．（辽宁14）在体积为的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．
7．（全国Ⅰ16）已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 ．
8．（全国Ⅱ16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件② ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
9．（浙江15）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于 。
10．(天津13) 若一个球的体积为，则它的表面积为 ．
三、解答题
1．（安徽19）．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
方法一（综合法）
（1）
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接
，
所以 与所成角的大小为
（２）点A和点B到平面OCD的距离相等，
连接OP,过点A作 于点Q，
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)设与所成的角为,
,
与所成角的大小为
(2)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
, .
所以点B到平面OCD的距离为
2．（北京16）（本小题共14分）
如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解法一：
（Ⅰ）取中点，连结．
，
．
，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ），，
．
又，
．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．
二面角的大小为．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则．
设．
，
，．
取中点，连结．
，，
，．
是二面角的平面角．
，，，
．
二面角的大小为．
3．（福建19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB＝,
cos∠PBO=,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.
又S△=
设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得S△ACD·OP＝S△PCD·h，
即×1×1＝××h，
解得h＝.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.
则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），
∞〈、〉=，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，
（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），
由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
则 n·＝0，所以 -x0+ x0=0,
n·＝0， -x0+ y0=0，
即x0=y0=x0,
取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又=(1,1,0).
从而点A到平面PCD的距离d＝
4．（广东18）（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.
(1)求线段PD的长；
(2)若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积.
解：（1） BD是圆的直径
又 ,
, ;
(2 ) 在中，
又
底面ABCD
三棱锥的体积为
.
5．（宁夏18）（本小题满分12分）
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结，证明：面．
解：（Ⅰ）如图
3分
（Ⅱ）所求多面体体积
． 7分
（Ⅲ）证明：在长方体 ( http: / / www. )中，
连结，则．
因为分别为，中点，
所以，
从而．又平面，
所以面． 12分
6．（江苏16）（14分）
在四面体中，，且E、F分别是AB、BD的中点，
求证：（1）直线EF//面ACD
（2）面EFC⊥面BCD
【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，
考查空间想象能力、推理论证能力。
（1）∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线∴EF//AD
又∵面ACD，AD面ACD∴直线EF//面ACD
（2）
7．（江西20）如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．
（1）求证：⊥面；
（2）求二面角的大小．
解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，
则∥平面，所以∥。
又是的中点，所以⊥，
则⊥。
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，连。
因为⊥平面，
根据三垂线定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，则∥，则是的中点，则。
设，由得，，解得，
在中，，则，。
所以，故二面角为。
解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：平面
(2)由已知设
则
由与共线得:存在有得
同理:
设是平面的一个法向量,
则令得
又是平面的一个法量
所以二面角的大小为
8．（江苏选修）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,,
由，得，所以
显然不是平角，所以为钝角等价于
，则等价于
即 ，得
因此，的取值范围是
9．（湖南18）（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝.
(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.
解 解法一(Ⅰ)如图年示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.
又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.
又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.
在RtΔPAB中，tan∠PBA＝，∠PBA＝60°.
故二面角A－BE－P的大小是60°.
解法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C()，D()，P()，E().
(Ⅰ)因为，平面PAB的一个法向量是＝(0,1,0)，所以和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知=(1,0,-), =(0,,0),
设=(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则有
所以y1=0,x 1=z1.故可取=(,0,1).
而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).
于是，cos＜,＞＝.
故二面角A-BE-P的大小是
10．（辽宁19 ( http: / / www. )）（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，，，
又由已知可得
，，，
所以，，
所以平面．
所以平面和平面互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值． 8分
（Ⅲ）解：设交于点，连结，
因为平面，
所以为与平面所成的角．
因为，所以分别为，，，的中点．
可知，．
所以． 12分
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得，故
，，，，
，，，
，，．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为，所以是平面PQEF的法向量．
因为，所以是平面PQGH的法向量．
因为，所以，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得，，
所以，又，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．
由为中点可知，分别为，，的中点．
所以，，因此与平面所成角的正弦值等于
． 12分
11．（全国Ⅰ18）（本小题满分12分）
四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设侧面为等边三角形，求二面角的大小．
解：（1）取中点，连接交于点，
，
，
又面面，
面，
．
，
，
，即，
面，
．
（2）在面内过点做的垂线，垂足为．
，，
面，
，
则即为所求二面角．
，，
，
，
则，
．
12．（全国Ⅱ20）（本小题满分12分）
如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解法一：
依题设，，．
（Ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理 ( http: / / www. )知，． 3分
在平面内，连结交于点，
由于，
故，，
与互余．
于是．
与平面内两条相交直线都垂直，
所以平面． 6分
（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，
故是二面角的平面角． 8分
，
，．
，．
又，．
．
所以二面角的大小为． 12分
解法二：
以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，．
，． 3分
（Ⅰ）因为，，
故，．
又，
所以平面． 6分
（Ⅱ）设向量 ( http: / / www. )是平面的法向量，则
，．
故，．
令，则，，． 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为． 12分
13．(山东19)（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
（Ⅰ）证明：在中，
由于，，，
所以．
故．
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面．
（Ⅱ）解：过作交于，
由于平面平面，
所以平面．
因此为四棱锥的高，
又是边长为4的等边三角形．
因此．
在底面四边形中，，，
所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，
此即为梯形的高，
所以四边形的面积为．
故．
14．（上海16）(本题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【解】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.
∵ EF⊥平面ABCD，
∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分
由题意，得EF=
∵ …………………………..8分
∵ EF⊥DF， ∴ ……………..10分
故直线DE与平面ABCD所成角的大小是….12分
15．（四川19）（本小题满分12分）
如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，
，，分别为的中点
（Ⅰ）证明：四边形是平行四边形；
（Ⅱ）四点是否共面？为什么？
（Ⅲ）设，证明：平面平面；
【解1】：（Ⅰ）由题意知，
所以
又，故
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由，是的中点知，，所以
由（Ⅰ）知，所以，故共面。又点在直线上
所以四点共面。
（Ⅲ）连结，由，及知是正方形
故。由题设知两两垂直，故平面，
因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，
又，所以平面
由（Ⅰ）知，所以平面。
由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面
【解2】：由平面平面，，得平面，
以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系
（Ⅰ）设，则由题设得
所以
于是
又点不在直线上
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由题设知，所以
又，故四点共面。
（Ⅲ）由得，所以
又，因此
即
又，所以平面
故由平面，得平面平面
16．(天津19)（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．
（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．
（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．
在中，由余弦定理得
．
由（Ⅰ）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故．
所以异面直线与所成的角的大小为．
（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．
因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．
由题设可得，
，，
，，
．
于是在中，．
所以二面角的大小为．
17．（浙江20）（本题14分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？
方法一：
（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，
可得四边形为矩形，
又为矩形，
所以，从而四边形为平行四边形，
故．
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．
由平面平面，，得
平面，
从而．
所以为二面角的平面角．
在中，因为，，所以，．
又因为，所以，
从而．
于是．
因为，
所以当为时，二面角的大小为．
方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．
设，
则，，，，．
（Ⅰ）证明：，，，
所以，，从而，，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
故平面．
（Ⅱ）解：因为，，
所以，，从而
解得．
所以，．
设与平面垂直，
则，，
解得．
又因为平面，，
所以，
得到．
所以当为时，二面角的大小为．
18．（重庆20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）
如图（20）图， 为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小为，求：
（Ⅰ）点B到平面的距离;
（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.
解：（1）如答（20）图，过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.
由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.
因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=
.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=,BD=BB′·sinBB′D
=.
（Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′为矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.
在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，则由余弦定理，
BC=.
因BD平面，且DCCA，由三策划线定理知ACBC.
故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.
因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin.
19．(湖北18).（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角
(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB侧面A1ABB1，
故AB⊥BC.
(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1= .
于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋ ＝∠AA1B＋ ＝，故θ＋ ＝.
证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),
A1(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,
c,a
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),
则由
可取n＝（0，－a，c），于是
n·=ac＞0，与n的夹角 为锐角,则 与 互为余角
sin =cos =,
cos =
所以sin =cos =sin(),又0＜ ， ＜，所以 + =.
20．(陕西19 ( http: / / www. ))（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解法一：（Ⅰ）平面平面，
．在中，，为中点
．又，平面，
平面，平面平面．
（Ⅱ）如图，作交于点，连接，
由已知得平面．
是在面内的射影．
由三垂线定理知，
为二面角的平面角．
过作交于点，
则，，
．
在中，．
在中，．
，
即二面角为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则，
为中点，点坐标为．
，．
，，，，又，
平面，又平面，平面平面．
（Ⅱ）平面，如图可取为平面的法向量，
设平面的法向量为，则．
，
如图，令，则，
，
即二面角为为所求．
A
B
C
D
M
N
P
A1
B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
A
B
a
b
l
A
C
B
P
A
C
B
D
P
A
C
B
E
P
A
C
B
P
z
x
y
E
4
6
4
2
2
E
D
A
B
C
F
G
2
4
6
4
2
2
2
4
6
2
2
（俯视图）
（正视图）
（侧视图）
A
B
C
D
E
F
G
B
C
A
F
D
E
A
B
C
D
E
F
P
Q
H
G
A
B
C
D
E
F
P
Q
H
G
N
A
B
C
D
E
F
P
Q
H
y
x
z
G
C
D
E
A
B
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
F
H
G
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
y
x
z
A
B
C
M
P
D
A
B
C
M
P
D
O
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
H
E
D
A
B
E
F
C
H
G
D
A
B
E
F
C
y
z
x
A1
A
C1
B1
B
D
C
A1
A
C1
B1
B
D
C
F
E
（第19题，解法一）
A1
A
C1
B1
B
D
C
z
y
x
（第19题，解法二）
第 6 页 共 30 页11 导数
一、选择题
1．（福建11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么
导函数的图象可能是（ A ）
2．（辽宁6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ A ）
A． B． C． D．
3．（全国Ⅰ4）曲线在点处的切线的倾斜角为（ B ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（全国Ⅱ7 ( http: / / www. )）设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（ A ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
1．（北京13）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则_________；2
函数在处的导数_________．
2．（江苏14）对于总有成立，则= 4
三、解答题
1．（安徽20）（本小题满分12分）
设函数为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
解: (1) ，由于函数在时取得极值，所以
即
(2) 方法一
由题设知：对任意都成立
即对任意都成立
设 , 则对任意，为单调递增函数
所以对任意，恒成立的充分必要条件是
即 ，
于是的取值范围是
方法二
由题设知：对任意都成立
即对任意都成立
于是对任意都成立，即
于是的取值范围是
2．（北京17）（本小题共13分）
已知函数，且是奇函数．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，
所以，对任意的，，即．
又
所以．
所以
解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
所以．
当时，由得．
变化时，的变化情况如下表：
0 0
所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，，所以函数在上单调递增．
3．(福建21)（本小题满分12分）
已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.
(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.
解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①
由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;
而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,
代入①得n=0.
于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0故f(x)的单调递减区间是（0，2）.
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),
令f′(x)＝0得x=0或x=2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
X (-∞.0) 0 (0,2) 2 (2,+ ∞)
f′(x) + 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
由此可得：
当0当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；
当1当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.
综上得：当04．（宁夏21 ( http: / / www. )）（本小题满分12分）
设函数，曲线 ( http: / / www. )在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
21 ( http: / / www. )．解：
（Ⅰ）方程可化为．
当时，． 2分
又，
于是解得
故． 6分
（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为
，
即．
令得，从而得切线与直线的交点坐标为．
令得，从而得切线与直线的交点坐标为． 10分
所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为
．
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为． 12分
5．（江西21）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．
解：（1）因为
令得
由时，在根的左右的符号如下表所示
极小值 极大值 极小值
所以的递增区间为
的递减区间为
（2）由（1）得到，
要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，
即或.
6．（湖南21）已知函数有三个极值点。
（I）证明：；
（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。
解：（I）因为函数有三个极值点,
所以有三个互异的实根.
设则
当时， 在上为增函数;
当时， 在上为减函数;
当时， 在上为增函数;
所以函数在时取极大值,在时取极小值.
当或时,最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以且.
即,且,
解得且故.
（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.
不妨设为（），则
所以的单调递减区间是,
若在区间上单调递减，
则, 或,
若,则.由（I）知，,于是
若,则且.由（I）知，
又当时，;
当时，.
因此, 当时，所以且
即故或反之, 当或时，
总可找到使函数在区间上单调递减.
综上所述, 的取值范围是.
7．（辽宁22）（本小题满分14分）
设函数 ( http: / / www. )在，处取得极值，且．
（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
解：．① 2分
（Ⅰ）当时，
；
由题意知为方程的两根，所以
．
由，得． 4分
从而，．
当时，；当时，．
故在单调递减，在，单调递增． 6分
（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，
所以．
从而，
由上式及题设知． 8分
考虑，
． 10分
故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．
又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．
所以，即的取值范围为． 14分
8．（全国Ⅰ21）（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
解：（1）
求导：
当时，，
在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，
递增
（2），且
解得：
9．（全国Ⅱ21 ( http: / / www. )）（本小题满分12分）
设，函数 ( http: / / www. )．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
解：（Ⅰ）．
因为是函数 ( http: / / www. )的极值点，所以，即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点． 4分
（Ⅱ）由题设，．
当在区间上的最大值为时，
，
即．
故得． 9分
反之，当时，对任意，
，
而，故在区间上的最大值为．
综上，的取值范围为． 12分
10．(山东21)（本小题满分12分）
设函数，已知和为的极值点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）设，试比较与的大小．
解：（Ⅰ）因为
，
又和为的极值点，所以，
因此
解方程组得，．
（Ⅱ）因为，，
所以，
令，解得，，．
因为当时，；
当时，．
所以在和上是单调递增的；
在和上是单调递减的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，
故，
令，
则．
令，得，
因为时，，
所以在上单调递减．
故时，；
因为时，，
所以在上单调递增．
故时，．
所以对任意，恒有，又，
因此，
故对任意，恒有．
11．（四川20）（本小题满分12分）
设和是函数的两个极值点。
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的单调区间
【解】：（Ⅰ）因为
由假设知：
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当时，
当时，
因此的单调增区间是
的单调减区间是
12．(天津21)（本小题满分14分）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
（Ⅰ）解：．
当时，
．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．
解此不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）解：由条件可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当
即
在上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是．
13．（浙江21）（本题15分）已知是实数，函数。
（Ⅰ）若，求的值及曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最大值。
（Ⅰ）解：，
因为，
所以．
又当时，，，
所以曲线在处的切线方程为．
（Ⅱ）解：令，解得，．
当，即时，在上单调递增，从而
．
当，即时，在上单调递减，从而
．
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而
综上所述，
14．（重庆19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）
设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值;
（Ⅱ）函数f(x)的单调区间.
解：(Ⅰ)因
所以
即当
因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，
所以
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
15．(湖北17).（本小题满分12分）
已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.
解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,
当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞,－m) －m (－m,) (,+∞)
f’(x) + 0 － 0 +
f (x) 极大值 极小值
从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，
即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,
依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.
又f(－1)＝6，f(－)＝，
所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
16．(陕西2 ( http: / / www. )2) 本小题满分14分）
设函数其中实数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；
（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．
解：（Ⅰ） ，又，
当时，；当时，，
在和内是增函数，在内是减函数．
（Ⅱ）由题意知 ，
即恰有一根（含重根）． ≤，即≤≤，
又， ．
当时，才存在最小值，． ，
． 的值域为．
（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．
由题意得，解得≥；
当时，在和内是增函数，在内是增函数．
由题意得，解得≤；
综上可知，实数的取值范围为．
2
B
C
A
y
x
1
O
3
4
5
6
1
2
3
4
第 1 页 共 16 页05 不等式
一、选择题
1．（广东10）设a, b∈R，若a-＞0，则下列不等式中正确的是（ D ）
A.b-a＞0 B.a3+b3＜0 C.b+a＞0 D.a2-b2＜0
2．（宁夏7 ( http: / / www. )）已知a1＞a2＞a3＞0，则使得都成立的x取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
3．(山东7) 不等式的解集是（ D ）
A． B． C． D．
4．（四川5）不等式的解集为( A )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
5．(天津8) 已知函数则不等式的解集为（ A ）
A． B． C． D．
6．（浙江5）,且，则 ( C )
（A） （B） （C） （D）
7．(重庆7)函数f(x)=的最大值为 ( B )
(A) (B) (C) (D)1
二、填空题
1．（北京10）．不等式的解集是__________．
2．（江苏11）的最小值为 3
3．（江西13）不等式的解集为 ．
4．（上海1 ( http: / / www. )）不等式的解集是 ．（0，2）
三、解答题
1．（广东17）（本小题满分12分）
某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
解：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则
令 得
当 时， ；当 时，
因此 当时，f（x）取最小值；
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
2．（江苏选修）设a，b，c为正实数，求证：．
证明：因为为正实数，由平均不等式可得
即
所以，
而
所以
3．(湖北19).（本不题满分12分）
如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000. ①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2=18500+
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75.
即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25
两栏面积之和为2(x－20),由此得y=
广告的面积S=xy=x()＝x,
整理得S=
因为x－20＞0，所以S≥2
当且仅当时等号成立，
此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，
即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
第 3 页 共 4 页06 直线与圆
一、选择题
1．（安徽10）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ D ）
A． B． C． D．
2．（安徽11）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( C )
A． B．1 C． D．5
3．（北京6）若实数满足则的最小值是（ A ）
A．0 B． C．1 D．2
4．(福建10)若实数x、y满足则的取值范围是（ D ）
A.（0，2） B.（0，2） C.(2,+∞) D.[2，+∞)
5．（广东6）经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（ C ）
A.x-y+1=0 B.x-y-1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
6．（宁夏10）点在直线上，且满足，则点到坐标原点距离的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
7．（湖南3）已条变量满足则的最小值是( C )
A．4 B.3 C.2 D.1
8．（辽宁3 ( http: / / www. )）圆与直线没有公共点的充要条件是（ B ）
A． B．
C． D．
9．（辽宁9 ( http: / / www. )）已知变量满足约束条件则的最大值为（ B ）
A． B． C． D．
10．（全国Ⅰ10）若直线与圆有公共点，则（ D ）
A． B． C． D．
11．（全国Ⅱ3 ( http: / / www. )）原点到直线的距离为（ D ）
A．1 B． C．2 D．
12．（全国Ⅱ6） 设变量满足约束条件：，则的最小值为（ D ）
A． B． C． D．
13．(山东11) 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）
A． B．
C． D．
14．（上海 HYPERLINK "http://www." 15）如图，在平面直角坐标系 ( http: / / www. )中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ D ）
Ａ． B．
C． D．
15．（四川6）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
16．(天津2) 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ D ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．（浙江10）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点 所形成的平面区域的面积等于 ( C )
（A） （B） （C）1 （D）
18．(重庆3)曲线C:(为参数)的普通方程为 ( C )
(A)(x-1)2+(y+1)2=1 (B) (x+1)2+(y+1)2=1
(C) (x-1)2+(y-1)2=1 (D) (x-1)2+(y-1)2=1
19．(重庆4)若点P分有向线段所成的比为-，则点B分有向线段所成的比是( A )
(A)- (B)- (C) (D)3
20．(湖北5).在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的 ( C )
21．(陕西5 ( http: / / www. )) 直线与圆相切，则实数等于（ A ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题
1．（福建14）若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是 ______________.
2．（广东12）若变量x，y满足则z=3x+2y的最大值是________．70
3．（湖南14）将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________.
；
4．（江苏9）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算的的方程：，请你求的方程： ( ) （）
5．（全国Ⅰ13）若满足约束条件则的
最大值为 ．9
6．(山东16) 设满足约束条件
则的最大值为 ．11
7．（上海11 ( http: / / www. )）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标是 ______ ．
8．（四川14）已知直线与圆，
则上各点到的距离的最小值为_____________。
9．(天津15) 已知圆的圆心与点关于直线对称．
直线与圆相交于两点，
且，则圆的方程为 ．
10．（重庆15）已知圆C： （a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则a= .-2
11．
12．(湖北15).圆的圆心坐标为 （3，－2），和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是 . （x＋2）2＋（y－3）2＝16
三、解答题
1．（宁夏20）（本小题满分12分）
已知，直线：和圆：．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解：（Ⅰ）直线的方程可化为，
直线的斜率， 2分
因为，
所以，当且仅当时等号成立．
所以，斜率 ( http: / / www. )的取值范围是． 5分
（Ⅱ）不能． 6分
由（Ⅰ）知的方程为
，其中．
圆的圆心为，半径．
圆心到直线的距离
． 9分
由，得，即．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．
所以不能将圆 ( http: / / www. )分割成弧长的比值为的两段弧． 12分
2．（江苏18）（16分）
设平面直角坐标系xoy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：
（1）求实数b的取值范围
（2）求圆C的方程
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。
【解析】：本小题考查二次函数图像和性质、圆的方程的求法。
（1）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）
令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0
（2）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0
令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b
令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1
所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0
（3）圆C必过定点（0，1），（-2，1）
证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0
所以圆C必过定点（0，1）；
同理可证圆C必过定点（-2，1）。
A
B
C
D
O
x
y
第 6 页 共 6 页01 集合与简易逻辑
一、选择题
1．（安徽1）．若位全体实数的集合，则下列结论正确的是（ D ）
A． B．
C． D．
2．（安徽4）．是方程至少有一个负数根的（ B ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（北京1）．若集合，，则集合等于（ D ）
A． B．
C． D．
4．（福建1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于 （ A ）
A.{x|0＜x＜1} B.{x|0＜x＜3}
C.{x|1＜x＜3} D.￠
5．（福建2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 （ C ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．（广东1） 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A=(参加北京奥运会比赛的运动员)，集合B=(参加北京奥运会比赛的男运动员)．集合C=(参加北京奥运会比赛的女运动员)，则下列关系正确的是 （ C ）
A.AB B.BC C.A∩B=C D.B∪C=A
7．（广东8）命题“若函数f(x)=logxx(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则logx2＜0”的逆否命题是（ A ）
A.若logx2＜0，则函数f(x)= logxx（a＞0,a≠1）在其定义域内不是减函数
B.若logx2≥0，则函数f(x)= logxx（a＞0,a≠1）在其定义域内不是减函数
C.若logx2＜0，则函数f(x)= logxx（a＞0,a≠1）在其定义域内是减函数
D.若logx2≥0，则函数f(x)= logxx（a＞0,a≠1）在其定义域内是减函数
8．（宁夏1 ( http: / / www. )）已知集合，，则（ C ）
A． B． C． D．
9．（湖南1）已知，，，则( B )
A．
C． D.
10．（湖南2）“”是“”的 ( A )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11．（江西1）“”是“”的 （ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（江西2）定义集合运算:.设,,则集合 的所有元素之和为 （ D ）
A．0 B．2 C．3 D．6
13．（辽宁1 ( http: / / www. )）已知集合，，则（ D ）
A． B． C． D．
14．（全国Ⅱ2） 设集合，（ B ）
A． B． C． D．
15．(山东1) 满足，且的集合的个数是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．(山东4) 给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ）
A．3 B．2 C．1 D．0
17．（四川１）设集合，则( B )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
18．(天津1) 设集合，，，则（ A ）
A． B． C． D．
19．（浙江1）已知集合，，则 ( B )
（A） （B） （C） （D）
20．（浙江3）已知，b都是实数，那么“”是“>b”的 ( D )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
21．(重庆2)设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的 ( A )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
22．(湖北3).若集合 ( A )
A. “”是“”的充分条件但不是必要条件
B. “”是“”的必要条件但不是充分条件
C. “”是“”的充要条件
D. “”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件
23．(陕西2) 已知全集，集合，，则集合（ D ）
A． B． C． D．
24．(陕西6)“”是“对任意的正数，”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
1．（福建16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集QM,则数集M必为数域;
④数域必为无限集.
其中正确的命题的序号是 . ①④（把你认为正确的命题的序号都填上）
2．（江苏4）．，则集合A中有 个元素 0
3．（上海2）若集合，满足，则实数陆空a= ．2
4．（重庆13）已知集合，则 .
第 4 页 共 4 页12 算法初步
一、选择题
1．（宁夏6）右面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三
个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选
项中的（ A ）
A． B．
C． D．
二、填空题
1．（广东13）13．阅读图4的程序框图，若输入，，则输出 ， ．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”
2．（江苏7）某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：
序号（i） 分组睡眠时间 组中值（Gi） 频数（人数） 频率（Fi）
1 [4，5） 4.5 6 0.12
2 [5，6） 5.5 10 0.20
3 [6，7） 6.5 20 0.40
4 [7，8） 7.5 10 0.20
5 [8，9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 ．6.42
开始
输入
输出
结束
是
是
否
否
开始
n整除a
是
输入
结束
输出
图4
否
开始
S0
输入Gi，Fi
i1
S S＋Gi·Fi
i≥5
i i＋1
N
Y
输出S
结束
第 1 页 共 2 页03 数列
一、选择题
1．（北京7）．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ C ）
A．30 B．45 C．90 D．186
2．（广东4）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=4,S4=20,则该数列的公差d= （ B ）
A.7 B.6 C.3 D.2
3．（宁夏8）设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=（ C ）
A． B． C． D．
4．（江西5）在数列中，， ，则 （ A ）
A． B． C． D．
5．（全国Ⅰ7）已知等比数列满足，则（ A ）
A．64 B．81 C．128 D．243
6．（福建3）设是等差数列，若，则数列前8项和为（ C ）
Ａ．128 Ｂ．80 Ｃ．64 Ｄ．56
7．（上海14）若数列 ( http: / / www. )是首项为，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，则的值是（ B ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．
8．(天津4) 若等差数列的前5项和，且，则（ B ）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．（浙江4）已知是等比数列，，则公比= ( D )
（A） （B） （C）2 （D）
10．(重庆1)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于 ( C )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
11．(陕西4) 已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ B ）
A．64 B．100 C．110 D．120
二、填空题
1．（安徽15） 在数列在中，，，,其中为常数，则 －1
2．（宁夏13 ( http: / / www. )）已知为等差数列 ( http: / / www. )，，，则 ．15
3．（江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为
4．（四川16）设数列中，，
则通项 ___________。
三、解答题
1．（安徽21）（本小题满分12分）
设数列满足其中为实数，且
（Ⅰ）求数列的通项公式
（Ⅱ）设，,求数列的前项和；
（Ⅲ）若对任意成立，证明
解 (1) 方法一：
当时，是首项为，公比为的等比数列。
，即 。当时，仍满足上式。
数列的通项公式为 。
方法二
由题设得：当时，
时，也满足上式。
数列的通项公式为 。
(2) 由（1）得
由（1）知
若，则
由对任意成立，知。下面证，用反证法
方法一：假设，由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大
不能对恒成立，导致矛盾。。
方法二：假设，，
即 恒成立 （＊）
为常数， （＊）式对不能恒成立，导致矛盾，
2．（北京20）（本小题共13分）
数列满足，（），是常数．
（Ⅰ）当时，求及的值；
（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．
解：（Ⅰ）由于，且．
所以当时，得，
故．
从而．
（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：
由，得
，， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ．
若存在，使为等差数列，则，即，
解得．
于是，．
这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．
（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．
所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．
因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，
记，则满足
．
故的取值范围是．
3．（福建20）（本小题满分12分）
已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ ···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1
＝=2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+24．（广东21）（本小题满分14分）
设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=(an-1+2an-2)(n=3,4,…)，数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1bm+bm+1+…+bm+11.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 记cn=nanbn(n=1,2,…)，求数列{cn}的前n项和Sn.
解：（1）由得
又 ，
数列是首项为1公比为的等比数列，
，
由 得 ，由 得 ，…
同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；
因此
（2）
当n为奇数时，
当n为偶数时，
令 ……①
①×得: ……②
①-②得:
因此
5．（江苏19）（16分）
（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当时，求的数值；②求的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。
【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去，则，即化简得，得
若删去，则，即化简得，得
综上，得或。
②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。
若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)
综上所述，。
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）
由知，与同时为0或同时不为0
当与同时为0时，有与题设矛盾。
故与同时不为0，所以由（*）得
因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。
于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n项数列1，，，……，满足要求。
6．（江西19）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且 ．
(1)求与；
(2)求和：．
（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
解得或(舍去)
故
（2）
∴
7．（湖南20）数列满足
（I）求，并求数列的通项公式；
（II）设，，，
求使的所有k的值，并说明理由。
解：（I）因为所以
一般地, 当时，
即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，
因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
（II）由（I）知，
于是.
下面证明: 当时，事实上, 当时，
即
又所以当时，
故满足的所有k的值为3,4,5.
8．（辽宁20）（本小题满分12分）
在数列，是各项均为正数的等比数列，设．
（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．
解：（Ⅰ）是等比数列． 2分
证明：设的公比为，的公比为，则
，故为等比数列． 5分
（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．
由条件得，即
． 7分
故对，，…，
．
于是
将代入得，，． 10分
从而有．
所以数列的前项和为
． 12分
9．（全国Ⅰ19）（本小题满分12分）
在数列中，，．
（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解：（1），
，
，
则为等差数列，，
，．
（2）
两式相减，得
．
10．（全国Ⅱ18）（本小题满分12分）
等差数列 ( http: / / www. )中，且成等比数列，求数列前20项的和．
解：设数列的公差为，则
，
，
． 3分
由成等比数列得，
即，
整理得，
解得或． 7分
当时，． 9分
当时，，
于是． 12分
11．(山东20)（本小题满分12分）
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．
（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．
（Ⅰ）证明：由已知，当时，，
又，
所以，
即，
所以，
又．
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知，
即．
所以当时，．
因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为，
所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，
故在表中第13行第三列，
因此．
又，
所以．
记表中第行所有项的和为，
则．
12．（上海21 ( http: / / www. )）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．
已知数列：，，，（是正整数），与数列
：，，，，（是正整数）．
记．
（1）若，求的值；
（2）求证：当是正整数时，；
（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．
【解】（1）
………………..2分
∵ ………………..4分
【证明】（2）用数学归纳法证明：当
当n=1时，等式成立….6分
假设n=k时等式成立，即
那么当时，
………8分
等式也成立.
根据①和②可以断定：当…………………...10分
【解】（3）
………………………..13分
∵ 4m+1是奇数，均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分
此时，为100. …………………………18分
13．（四川21）（本小题满分12分）
设数列的前项和为，
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明： 是等比数列；
（Ⅲ）求的通项公式
【解】：（Ⅰ）因为，所以
由知
得 ①
所以
（Ⅱ）由题设和①式知
所以是首项为2，公比为2的等比数列。
（Ⅲ）
14．(天津20)（本小题满分12分）
已知数列中，，，且．
（Ⅰ）设，证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
（Ⅰ）证明：由题设，得
，
即
．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
，
，
……
．
将以上各式相加，得．所以当时，
上式对显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得
， ①
整理得，解得或（舍去）．于是
．
另一方面，
，
．
由①可得
．
所以对任意的，是与的等差中项．
15．（浙江18）（本题14分）已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）数列的前项的和的公式。
（Ⅰ）解：由，得，
又，，且，得
，
解得，．
（Ⅱ）解：
．
16．（重庆22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）
设各项均为正数的数列{an}满足.
（Ⅰ）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;
（Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a2的值.
解：（I）因a1=2,a2=2-2,故
由此有a1=2(-2)0, a2=2(-2)4, a3=2(-2)2, a4=2(-2)3,
从而猜想an的通项为
,
所以a2xn=.
(Ⅱ)令xn=log2an.则a2=2x2,故只需求x2的值。
设Sn表示x2的前n项和，则a1a2…an=,由2≤a1a2…an＜4得
≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2(n≥2).
因上式对n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥.
由于a1=2，(n∈N*),得(n∈N*),即
，
因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为x2+2,公比为的等比数列，故
xn+1+2xn=(x2+2) (n∈N*).
将上式对n求和得
Sn+1－x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2－)（n≥2）.
因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故
(x2+2)(2－)＜5（n≥2）.
因此2x2－1＜（n≥2）.
下证x2≤，若淆，假设x2＞，则由上式知，不等式
2n－1＜
对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x2≤.
又x2≥，故z2=，所以a2=2=.
17．(湖北21).（本小题满分14分）
已知数列,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）证明：当
（Ⅱ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有
若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
(Ⅰ)证明：假设存在一个实数 ，使｛an｝是等比数列，则有,即
（）2=2矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
（Ⅱ）证明：∵
又由上式知
故当数列｛bn｝是以为首项，为公比的等比数列.
（Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是
当时，，从而上式仍成立.
要使对任意正整数n , 都有
即
令
当n为正奇数时，当n为正偶数时，
于是可得
综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有
的取值范围为
18．(陕西20)（本小题满分12分）
已知数列的首项，，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）数列的前项和．
解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．
设…， ①
则…，②
由①②得
…，
．又…．
数列的前项和 ．
当n为偶数时
当n为奇数时
当n为偶数时
当n为奇数时
当n为偶数时
当n为奇数时
第 20 页 共 20 页04 三角与向量
一、选择题
1．（安徽2）．若，, 则（ B ）
A． （1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
2．（安徽5）．在三角形中，,则的大小为（ A ）
A． B． C． D．
3．（安徽8）．函数图像的对称轴方程可能是（ D ）
A． B． C． D．
4．（北京4）已知中，，，，那么角等于（ C ）
A． B． C． D．
5．（福建7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为（ A ）
A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx
6．(福建8)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B的值为（ A ）
A. B. C.或 D.或
7．（广东3）已知平面向量a=(1,2), b=(-2,m), 且a∥b, 则2a+3b= （ B ）
A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10)
8．（广东5）已知函数f(x)=(1+cos2x)sin3x,x∈R, 则f(x)是 （ D ）
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
9．（宁夏5 ( http: / / www. )）已知平面向量，，与垂直，
则（ A ）
A． B． C． D．
10．（宁夏9 ( http: / / www. )）平面向量a，b共线的充要条件是（ D ）
A．a，b方向相同
B．a，b两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
11．（宁夏11 ( http: / / www. )）函数 ( http: / / www. )的最小值和最大值分别为（ C ）
A．， B．， C．， D．，
12．（湖南7）在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( D )
A． B． C． D．
13．（江西6）函数是（ A ）
A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数
C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数
14．（江西10）函数在区间内的图象是（ D ）
15．（辽宁5 ( http: / / www. )）已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为（ A ）
A． B． C． D．
16．（辽宁8）将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ A ）
A． B． C． D．
17．（全国Ⅰ5） 在中，，．若点满足，则=（ A ）
A． B． C． D．
18．（全国Ⅰ6）是（ D ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
19．（全国Ⅰ9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（ C ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
20．（全国Ⅱ1 ( http: / / www. )）若且是，则是（ C ）
A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
21．（全国Ⅱ10）函数的最大值为（ B ）
A．1 B． C． D．2
22．(山东8) 已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ C ）
A． B． C． D．
23．(山东10) 已知，则的值是（ C ）
A． B． C． D．
24．（四川3）设平面向量，则( A )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
25．（四川4）( D )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
26．（四川7）的三内角的对边边长分别为，若，则( B )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
27．(天津6) 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ C ）
A． B．
C． D．
28．(天津9) 设，，，则（ D ）
A． B． C． D．
29．（浙江2）函数的最小正周期是 ( B )
（A） （B） （C） （D）
30．（浙江7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 ( C )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
31．（重庆12）函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是 ( C )
(A)[-] (B)[-]
(C)[-] (D)[-]
32．(湖北1).设 ( C )
A. B.0 C.-3 D.-11
33．(湖北7).将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 ( A )
A. B. C. D.
34．(陕西1 ( http: / / www. )) 等于（ B ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．（北京9）若角的终边经过点，则的值为______________．
2．（北京11）已知向量与的夹角为，且，那么的值为________．
3．（湖南11）已知向量，，则=_____________________.2
4．（江苏1）最小正周期为，其中，则 10
5．（江苏5）的夹角为，，则 7
6．（江苏13）若，则的最大值
7．（江西16）如图，正六边形中，有下列四个命题：
A．
B．
C．
D．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
8．（辽宁16）设，则函数的最小值为 ．
9．（全国Ⅱ13 ( http: / / www. )）设向量，若向量与向量共线，则 ．2
10．（上海5 ( http: / / www. )）若向量，满足且与的夹角为，则 ．
11．(天津14) 已知平面向量，，若，则 ．
12．（浙江12）若，则_________。
13．（浙江14）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则 。
14．（浙江16）已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是 。
15．(湖北12).在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 则A＝ .
16．(陕西13 ( http: / / www. )) 的内角的对边分别为，
若，则 ．
17．(陕西15 ( http: / / www. )) 关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
1．（安徽17）．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数在区间上的值域
解：（1）
（2）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以 当时，取最大值 1
又 ，当时，取最小值
所以 函数 在区间上的值域为
2．（北京15）（本小题共13分）
已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
解：（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，
所以，
所以．
因此，即的取值范围为．
3．（福建17）（本小题满分12分）
已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函数R)的值域.
解：（Ⅰ）由题意得
m·n=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为xR,所以.
当时，f(x)有最大值，
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，
所以所求函数f(x)的值域是
4．（广东16）（本小题满分13分）
已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,0<<),xR的最大值是1，其图像经过点M.
求f(x)的解析式；
已知α，β，且f(α)=，f(β)=，求f(α-β)的值.
解：（1）依题意知 A=1
， 又 ；
即
因此 ；
（2） ，
且
，
5．（宁夏17 ( http: / / www. )）（本小题满分12分）
如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求．
解：（Ⅰ）因为，，
所以．
所以． 6分
（Ⅱ）在中，，
由正弦定理．
故． 12分
6．（江苏15）（14分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
（1）求的值； （2）求的值。
【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数
的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，
考查运算求解能力。
由条件得
为锐角，
（1）
（2）
为锐角，
7．（江苏17）（14分）
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
【解析】：本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、
抽象概括能力和解决实际问题的能力。
（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则，
故
又，所以
所求函数关系式为
②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令得
当时，y是θ的减函数；当时，y是θ的增函数；
所以当时，
此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。
8．（江西17）已知，
（1）求的值；
（2）求函数的最大值．
解：（1）由
得，
于是=.
（2）因为
所以
的最大值为.
9．（湖南17）（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝cox2
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)当x0∈(0,)且f(x0)＝时，求f(x0＋)的值.
解 由题设有f(x)＝cosx＋sinx=.
(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期是T＝2x.
(Ⅱ)由f(x0)＝得，即sin
因为x0∈(0,)，所以
从而cos.
于是
10．（辽宁17 ( http: / / www. )）（本小题满分12分）
在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
解：（Ⅰ）由余弦定理得，，
又因为的面积等于，所以，得． 4分
联立方程组解得，． 6分
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为， 8分
联立方程组解得，．
所以的面积． 12分
11．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）
设的内角所对的边长分别为，且，．
（Ⅰ）求边长；
（Ⅱ）若的面积，求的周长．
解：（1）由与两式相除，有：
又通过知：，
则，，
则．
（2）由，得到．
由，
解得：，
最后．
12．（全国Ⅱ17 ( http: / / www. )）（本小题满分10分）
在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的面积．
解：（Ⅰ）由，得，
由，得． 2分
所以． 5分
（Ⅱ）由正弦定理得． 8分
所以的面积． 10分
13．(山东17)（本小题满分12分）
已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间．
解：（Ⅰ）
．
因为为偶函数，
所以对，恒成立，
因此．
即，
整理得．
因为，且，
所以．
又因为，
故．
所以．
由题意得，所以．
故．
因此．
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，
所以．
当（），
即（）时，单调递减，
因此的单调递减区间为（）．
14．（上海17 ( http: / / www. )）（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里
有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．
【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=……………………………4分
在中，……………6分
即…………………….9分
解得（米）. …………………………………………….13分
【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），………….4分
∴ AC=700（米） …………………………..6分
………….…….9分
在直角
∴ （米）. ………………………13分
15．（上海18）（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．
已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos，直线与函数的图像分别交于M、N两点．
（1）当时，求｜MN｜的值；
（2）求｜MN｜在时的最大值．
【解】（1）…………….2分
………………………………5分
（2）
…………...8分
…………………………….11分
∵ …………13分
∴ ｜MN｜的最大值为. ……………15分
16．（四川17）（本小题满分12分）
求函数的最大值与最小值。
【解】：
由于函数在中的最大值为
最小值为
故当时取得最大值，当时取得最小值
17．(天津17)（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
（Ⅰ）解：
．
由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，．
当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为．
18．（重庆17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：
（Ⅰ）A的大小;
（Ⅱ）的值.
解：(Ⅰ)由余弦定理，
(Ⅱ)
19．(湖北16).（本小题满12分）
已知函数
（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；
（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值
解：(Ⅰ)f(x)=sinx+.
故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝.
(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数.
故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，
所以当x=π时，f(x)有最大值－2.
20．(陕西17 ( http: / / www. ))（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函数是偶函数．
B
A
C
D
E
x
y
O
A
B
B
C
D
A
O
P
第 19 页 共 19 页02 函数
一、选择题
1．（安徽6）．函数的反函数为 （ C ）
A． B．
C． D．
2．（安徽9）．设函数 则（ A ）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
3．（北京2）若，则（ A ）
A． B． C． D．
4．（北京5）函数的反函数为（ B ）
A． B．
C． D．
5．（福建4）函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2, 则f(-a)的值为（ B ）
A.3 B.0 C.-1 D.-2
6．（湖南4）函数的反函数是 ( B )
7．（湖南6）下面不等式成立的是 ( A )
A． B．
C． D．
8．（江西3）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ B ）
A． B． C． D．
9．（江西4）若，则（ C ）
A． B． C． D．
10．（江西12）已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
11．（辽宁2）若函数为偶函数，则a=（ C ）
A． B． C． D．
12．（辽宁4）已知，，
，，则（ C ）
A． B． C． D．
13．（全国Ⅰ1）函数的定义域为（ D ）
A． B．
C． D．
14．（全国Ⅰ2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ A ）
15．（全国Ⅰ8）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ A ）
A． B． C． D．
16．（全国Ⅱ4）函数 ( http: / / www. )的图像关于（ C ）
A．轴对称 B． 直线对称
C． 坐标原点对称 D． 直线对称
17．（全国Ⅱ5 ( http: / / www. )）若，则（ C ）
A．<< B． << C． << D． <<
18．(山东3) 函数的图象是（ A ）
19．(山东5) 设函数则的值为（ A ）
A． B． C． D．
20．(山东12) 已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ A ）
A． B．
C． D．
21．(天津3 ) 函数的反函数是（ A ）
A． B．
C． D．
22．(天津10) 设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为（ B ）
A． B． C． D．
23．(重庆6)函数y=10x2-1 (0＜x≤1＝的反函数是 ( D )
(A) (B)(x＞)
(C) (＜x≤ (D) (＜x≤
24．(湖北6).已知在R上是奇函数，
且 ( A )
A.-2 B.2 C.-98 D.98
25．(湖北8). 函数的定义域为 ( D )
A. B.
C. D.
26．(陕西7 ( http: / / www. )) 已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ D ）
A．10 B．4 C．1 D．
27．(陕西11 ( http: / / www. )) 定义在上的函数满足（），，则等于（ A ）
A．2 B．3 C．6 D．9
二、填空题
1．（安徽13）函数的定义域为 ．
2．（北京13）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则_________；2
函数在处的导数_________．
3．（北京14）．已知函数，对于上的任意，有如下条件：
①； ②； ③．
其中能使恒成立的条件序号是_________．②
4．（湖南15）设表示不超x的最大整数，（如）。对于给定的,
定义则________;
当时，函数的值域是_________________________。
当时，当时，
所以故函数的值域是.
5．（辽宁13 ( http: / / www. )）函数 ( http: / / www. )的反函数是 ．
6．(山东15) 已知，
则的
值等于 ．2008
7．（上海4）若函数f(x)的反函数为，则 ．
8．（浙江11）已知函数，则__________。2
9．（重庆14）若则＝ .-23
10．(湖北13).方程的实数解的个数为 .2
三、解答题
1．（江苏17）（14分）
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
【解析】：本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、
抽象概括能力和解决实际问题的能力。
（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则，
故
又，所以
所求函数关系式为
②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令得
当时，y是θ的减函数；当时，y是θ的增函数；
所以当时，
此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。
2．（江苏20）（16分）
若，，为常数，且
（1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）
（2）设为两实数，且若
求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）
【解析】：本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用。
（1）恒成立
（*）
若，则（*），显然成立；若，记
当时，
所以，故只需。
当时，
所以，故只需。
综上所述，对所有实数成立的充要条件是
（2）10如果，则的图像关于直线对称。（如图1）
因为，所以区间关于直线对称。
因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。
20如果，不妨设，则，
于是当时，，从而
当时，，从而
当时，及，
由方程得，（1）
显然，表明在与之间。
所以
综上可知，在区间上，（如图2）
故由函数及函数的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由，即，得（2）
故由（1）（2）得
综合1020可知，在区间上的单调增区间的长度和为。
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．
O
y
x
2
B
C
A
y
x
1
O
3
4
5
6
1
2
3
4
B
C
D
A
O
P
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))
(x0,y0)
(p2,2)
(p1,1)
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))
图1
图2
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