天津市和平区2015届高三下学期第一次质量调查数学(文)试题

天津市和平区2015届高三下学期第一次质量调查
数学文试题
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么
. .
柱体的体积公式. 其中表示 锥体的体积公式. 其中表示
柱体的底面积,表示柱体的高. 锥体的底面积,表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知（R）,其中为虚数单位,则等于
（A） （B） （C） （D）
（2）设变量满足约束条件 则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（3）已知双曲线（,）的一条渐近线为,右焦点坐标为,则该双曲线的离心率等于
（A） （B） （C） （D）
（4）已知等比数列的公比为正数,且,,则等于
（A） （B） （C） （D）
（5）已知命题R,≤,则为
（A）R, （B）R,≥
（C）R, （D）R,
（6）设函数 若,则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（7）在△中, 已知是的中点,,点在上且满足,则等于
（A） （B） （C） （D）
（8）如图,切圆于点,割线经过圆心,若,平分,交圆于点,连接交圆于点,则的长等于
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.
（9）某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品的数量分别为件、件、件,为调查产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本,其中乙车间的产品中共抽取件，则的值为 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体 的体积为 cm3.
（11）已知（R）,则函数的最大值等于 .
（12）阅读右面的程序框图,当该程序运行后输出的值是 .
（13）已知函数（R）是偶函数,则实数的值为 .
（14）若不等式对满足≤≤的所有都成立,则的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
现有6名学科竞赛优胜者,其中语文学科是,数学学科是,英语学科是,从竞赛优胜者中选出3人组成一个代表队,要求代表队中至少包含两个学科.
（Ⅰ）用所给字母列出所有可能的结果；
（Ⅱ）设为事件“代表队中没有英语优胜者”,求事件发生的概率.
（16）（本小题满分13分）
已知在△中,,,.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.


（17）（本小题满分13分）
如图,在三棱锥中,,,分别为的中点.
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求证:平面平面.
（Ⅲ）若△是正三角形,且,,求二面角的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知数列满足,其前项和,且,N*.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设,并记为数列的前项和,求证:,N*.
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆（）的离心率,且它的左焦点与右顶点的距离.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作与轴不重合的直线交椭圆于,两点,连接,分别交直线于,两点,求证:直线与直线的斜率之积为定值.
（20）（本小题满分14分）
已知函数在上为增函数,在上为减函数.
（Ⅰ）分别求出和的表达式；
（Ⅱ）当时,证明方程有唯一解；
（Ⅲ）当时,若≥在内恒成立,求的取值范围.
和平区2014-2015学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学（文理）学科试卷参考答案及评分标准
一、选择题 （每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A （5）A （6）D （7）D （8）B
二、填空题 （每小题5分，共30分）
（9） （10） （11） （12） （13）
（14）
三、解答题 （本大题共6小题，共80分）
（15）（本题13分）理科
（Ⅰ）解: ……………………（1 分）
. ……………………（3 分）
∵函数的单调递增区间为,Z. ……（5 分）
∴≤≤,即≤≤,Z. ……（7 分）
∴函数的单调递增区间为,Z. …………（8 分）
（Ⅱ）解: ∵当时,≤≤, ……………………（10分）
∴≤≤,故≤≤. ……………………（12分）
∴函数在区间上的取值范围是. ………………（13分）
（16）（本题13分）文科
（Ⅰ）解: ∵ 在△中,,
∴ . ……………………（3 分）
∵ ,,,
∴ 由正弦定理,得. ……………………（6 分）
（Ⅱ）解: ∵,,,
∴由余弦定理,得.……………………（8 分）
即,整理得. ………………（10分）
解得,故. ……………………（13分）
（16）（本题13分）理科
（Ⅰ）解:根据表格可知等级为“优秀”的有8人,等级为“合格”的有16人,
用分层抽样的方法抽取,每个人被抽中的概率是. ………………（2 分）
故样本中等级为“优秀”的有（人）,
等级为“合格”的有（人）. ……………………（4 分）
设“至少有一个等级为‘优秀’的被选中”为事件,
则.
∴选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率为. ………………（7 分）
（Ⅱ）解: 依题意,等级为“优秀”的共有8人,其中甲组有5人,乙组有3人,则的所有可能取值为.
；
；
；
.
∴随机变量的分布列是:
0
1
2
3
…………（11分）
∴. ……………………（13分）
（17）（本题13分） 文科
（Ⅰ）证明: ∵在△中,分别为的中点,
∴. ……………………（2 分）
又平面,平面,
∴平面.……………………（4 分）
（Ⅱ）证明: ∵在△中,,,
∴. ……………………（5 分）
∵在△中,,,为的中点,
∴. ……………………（6 分）
∵平面,平面,且,
∴平面. ……………………（7 分）
又平面,
∴平面平面. ……………………（9 分）
（Ⅲ）解: 二面角即为二面角,
由（Ⅱ）可知,,.
故即为所求二面角的平面角. ……………………（10分）
在△中,易知,,, ……………………（11分）
由余弦定理,得.
∴二面角的余弦值为. ……………………（13分）
（17）（本题13分） 理科
（Ⅰ）证明: 取的中点,连接,.
∵,,
∴,.
又∵平面平面,
且是平面与平面的交线,
∴平面.
如图所示建立空间直角坐标系. ……………………（1 分）
由已知得,,,
,,.
∴,. ……………………（3 分）
∴.
∴. ……………………（5 分）
（Ⅱ）解: ,,. ………（6 分）
设平面的法向量为,
∵,,
∴ 令,则,.
故为平面的一个法向量. ……………………（8 分）
则,.
∴直线与平面所成角的正弦值为. ……………………（10分）
（Ⅲ）解: 由（Ⅱ）可知为平面的一个法向量,
而为平面的一个法向量, ……………………（11分）
设二面角的大小为,易知二面角是锐角,
∴.
∴二面角的余弦值等于. ……………………（13分）
（18）（本题13分）
（Ⅰ）解: 由,解得或. ……………………（1 分）
由题设,可知. ……………………（2 分）
由, …………（3 分）
可得,
解得. ……………………（5 分）
即数列是首项为,公差为的等差数列.
∴数列的通项公式为. ……………………（6 分）
（Ⅱ）证明: 由（Ⅰ）可得. ……………………（7 分）
则. ……………………（8 分）
欲证,N*,
即证明,N*,
只需证明,N*,即可. ………………（9 分）
∵,,…,, ……………………（11分）
∴.
∴,N*.证毕. ……………………（13分）
（19）（本题14分）
（Ⅰ）解: 设椭圆的左焦点的坐标为, ……………………（1 分）
依题意,,. ……………………（3 分）
解得,,.
∴椭圆的标准方程为.…（5 分）
（Ⅱ）解:设,,
由直线与轴不重合,故可设直线, …………………（6 分）
由 整理得. …………（7 分）
,. ……………………（8 分）
由,,三点共线,可得,即,
由,,三点共线,同理可得. ……………………（9 分）
. ……（10分）
而,
故 ……………………（12分）
.
∴直线与直线的斜率之积为定值. ……………………（14分）
（20）（本题14分）
（Ⅰ）解: 由,依题意≥,,
即≤在上恒成立,故≤. ……………………（2 分）
由,依题意≤在内恒成立,,即≥.
综合上述结论,. ……………………（4 分）
∴,. ……………………（5 分）
（Ⅱ）证明: 由（Ⅰ）可知方程,即.
设,
则=.…………………（7 分）
令,并由,解得.
令,并由,解得. ……………………（9 分）
,的变化情况如下表: