2023-2024年湘教版 九年级上学期数学第3章图形的相似单元测试（含解析）

2023年11月湘教版数学九年级图形的相似
单元测试试题及解析1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）若线段a，b，c满足，且，则b的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
2．（本题3分）若，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（本题3分）小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　）
A． B． C． D．
5．（本题3分）已知，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ）
A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转
7．（本题3分）下列图形中，与已知三角形相似的三角形是( )

A． B．
C． D．
8．（本题3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ）
A． B．8 C．2 D．3
9．（本题3分）如图，如果与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么与的相似比为（ ）

A． B． C． D．
10．（本题3分）人字梯也称折梯，是平面上方空间工作的一种登高工具，因其使用时左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象地称为“人字梯”，如图所示．图是其工作示意图，已知，拉杆，．若米，则两梯杆跨度，之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题（共25分）
11．（本题3分）如果线段，，那么的值为 ．
12．（本题3分）在一幅平面图上，图上距离是表示实际距离是，则这幅图的比例尺是，请判断对错： ．（打“√”或“×”）
13．（本题3分）已知线段，点是的黄金分割点，且，则 ．
14．（本题3分）如图，在中，，若，，的长为 .

15．（本题3分）若线段a、b、c、d是成比例，若，，，则 cm．
16．（本题3分）已知线段，C为的黄金分割点（），则 ．（结果保留根号）
17．（本题3分）如图，与相交于点E，，，则 ．

18．（本题4分）如图，中，，点D，E，F为各边的中点，交于点O，且，则 cm．

三、解答题（共65分）
19．（本题6分）已知，求和值．
（本题7分）已知线段a、b、c，且．
求的值；
若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．
21．（本题10分）在△ABC中，，D、E分别在、上，连接，设（），（）．

当，时，求证：；
若和相似，求y与x的函数表达式．
22．（本题12分）在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发．
经过多少秒？
经过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似．
23．（本题14分）已知：如图，中，D、E分别在上，，若，求的长．

24．（本题16分）如图，在中，是的两条高．
求证：；
(2)连接，求证：．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了比例线段，根据比例的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，，
，
，
，
故选：A．
2．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟记“两内项之积等于两外项之积”，并用b表示出a是解题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为，
∴这两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形的周长的比为，
故选B．
4．B
【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”即可求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法．
【详解】解：∵零件的实际长度为，零件的图上长度为，即，
∴适合的比例尺，
故选：．
5．B
【分析】根据比例的基本性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
则A、C、D选项均不正确，B正确，
故选：B
【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质并灵活变形是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查图形的相似，根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可.
【详解】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似.
故选：C.
7．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据图示知该三角形是含和的直角三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可．
【详解】解： A、根据图示知，该直角三角形的一个角为，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；
B、由图示知，该直角三角形有一个角为，由“两组角对应相等”证得相似．故本选项正确；
C、由图示知，该直角三角形的一个角为，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；
D、由图示知，该三角形为等腰直角三角形，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；
故选：B．
8．B
【分析】根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可．
【详解】解：线段a，b，c，d是成比例线段，
，
，，，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．
9．B
【分析】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明，即可解决问题．
【详解】解：设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：，
∴；
同理可求：，
∵，
∴，
∴，
∴与的相似比为，
故选：B．
10．C
【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴（米），
故选：C．
11．8
【分析】单位统一后根据比的定义进行求解即可．
【详解】解：∵线段，，
∴，
答案为：8
【点睛】此题考查了比，熟练掌握比的前项和后项是解题的关键．
12．×
【分析】根据“”即可求解．
【详解】解：，
所以比列尺为：，
所以这幅图的比例尺是，
故答案为：×．
【点睛】本题考查了比例尺的应用，熟练掌握比例尺公式是解题的关键．
13．/
【分析】此题考查了黄金分割的定义，根据定义即可求解，解题的关键是正确理解，线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
【详解】∵，
∴根据黄金分割的定义得：，
∴，整理得：，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
14．
【分析】利用易证，然后推得，再结合，即可求解．
【详解】∵，
∴
∴，即
∵
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到判定相似三角形的条件．
15．12
【分析】根据比例线段的定义得到，然后把，，，代入进行计算即可．
【详解】∵线段a、b、c、d是成比例，
∴
∵，，，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d有，那么就说这四条线段成比例．
16．
【分析】根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程即可求解．
【详解】解：设的长为，则，
根据黄金分割的定义可知：，即：，
∴，整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，解题的关键是掌握黄金分割的定义．
17．
【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质得出是解题的关键．
18．6
【分析】过点F作交于H，利用平行线分线段成比例定理求出的长，进而得出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，再运用三角形中位线定理即可得出的长.
【详解】
解：过点F作交于H，
为的中点，
,
为的中点，
,
,
，
，
，
中，，
点D，E，分别、的中点，
是的中位线，
.
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质及平行线分线段成比例定理，熟练使用这些知识是正确解题的关键.
19．，
【分析】根据比例的性质和计算方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，．
【点睛】本题主要考查比的性质和计算，掌握其运算方法是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）设代入计算即可；
（2）由（1）中的结论构建方程求出k即可．
【详解】（1）解：设
则：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键．
21．(1)见解析
(2)或
【分析】（1）计算与的值，再结合是与的公共角即可判断；
（2）分两种情况，利用相似三角形的性质得出比例式，整理即可得出结果．
【详解】（1）当当，时，，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）若△，则，即，
整理得：；
若，则，即，
整理得；
综上所述，y与x的函数解析式为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确分类、熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)经过秒
(2)经过秒或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似．
【分析】（1）设，，根据勾股定理列出方程即可求出和，设经过t秒后，然后用t表示出和，根据相似三角形的性质列方程即可求出结论；
（2）设经过x秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似，根据有两组对应边成比例及其夹角相等的两个三角形相似，列出比例式，即可求出结论．
【详解】（1）解：设，，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，，
设经过t秒后，，，，
∴，即，
解得：，
∴经过秒；
（2）解：设经过x秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似，
∵，
∴要使以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似，具备或=就行，代入得：或，
解得：或，
答：经过秒或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用和相似三角形的判定定理，掌握三角形的面积公式和相似三角形的判定定理是解决此题的关键．
23．/
【分析】根据平行线分线段成比例，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，即可求证；
（2）根据，可得，可证得，即可求证．
【详解】（1）证明：∵是的两条高，
∴，
又，
∴，
∴，
即；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
答案第1页，共2页