辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．两条不同直线，的方向向量分别为，则这两条直线（ ）
A．平行 B．垂直 C．异面 D．相交或异面
3．已知直线，互相垂直，则实数的值为（ ）
A．3 B．3或1 C．1 D．或
4．若圆与圆恰有3条公切线，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点、满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
6．当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A． B． C． D．
7．在三枚柱中，，则该三棱柱的高为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的范围是（ ）
A． B． C．或 D．
二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有棤选得0分．
9．以下命题中正确的是（ ）
A．若是直线的方向向量，，则是平面的法向量
B．若，则直线平面或平面
C．三点不共线，对平面外任意一点，若，则四点共面
D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
10．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为16 B．
C．点到轴的距离为 D．
11．已知实数满足圆的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是，下列说法正确的有（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为
B．的最大值是
C．四边形面积的最小值为1
D．直线恒过定点
12．直四棱柱中，底面是菱形，，且为的中点，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．若，则的轨迹长度为
C．若平面，则
D．当时，若点满足，则的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆过圆的圆心，则两圆相交弦的方程为______．
14．在正三棱锥中，是的中心，，则______．
15．已知为正方体表面上的动点，若，则当取最小值时，______．
16．已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为．
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）若的中点分别为，求直线的方程．
18．（12分）已知直线和圆．
（1）判断直线与圆的位置关系：若相交，求直线被圆截得的弦长：
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
19．（12分）如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于形所在的平面，且．
（1）求证，平面平面，
（2）若异面直线和所成的角为，求平面与平面的夹角的正徒值．
20．（12分）设，分别是椭圆的左右焦点，的离心率为，点是上一点．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）倾斜角为且过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
21．（12分）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形
并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
图1 图2
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为 若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆，长轴是短轴的2倍，点在椭圆上，且点在轴上的投影为点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，是否存在点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等 若存在，请求出常数的值；若不存在，请说明理由.
辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。
1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C
二、多选题
9．BD 10．ABC 11．CD 12．BCD
三、填空题
13．
14．
15．
16．
四、解答题
17．（1）由题意知边上的高过，，
因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直，
故高线的斜率为3
所以边上的高所在的直线方程为：
即；
（2）由已知A点坐标为，，故的中点为，
是的一条中位线，所以，
而，所以直线的斜率为
所以直线的方程为：
化简可得：
18．
（1）由圆可得，圆心,半径，
圆心到直线的距离为
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为
（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或
19．
（1）证明：在矩形中，，
∵平面垂直于圆所在的平面，且两平面的交线为，平面，
∴垂直于圆O所在的平面.
又在圆O所在的平面内，
∴
∵为圆O的直径，
∴，∴
又，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面
（2）解：取的中点，连接，
以点O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，过点O作与平行的直线为z轴建立空间直角坐标系
由异面直线和所成的角为，知，
∴，∴，
由题设可知，，
∴，.
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，，∴
易知平面的一个法向量为，
∴.
故平面与平面的夹角的正弦值为
20．
由题意知：，
又由知：，
∴椭圆；
（2）法一：由题意知：，则直线为，
∴到直线的距离为，
联立方程，整理得，
即有
而，
∴的面积为
法二：由题意知：，则直线为
联立方程，整理得，
即有
的面积为
21．
（1）证明：如图所示：在图1中连接AC，交BE于O，
因为四边形是边长为2的菱形，并且，
所以，且，
在图2中，相交直线均与BE垂直，
所以是二面角的平面角，
因为，则，
所以平面平面；
（2）由（1）分别以为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以
设，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
因为到平面的距离为，
所以，解得，
则，所以，
设直线与平面所成的角为，所以直线与平面所成角的正弦值为：
22．
【详解】（1）解：依题意，即，
所以椭圆即，又椭圆过点，
所以，解得，所以，
所以椭圆方程为；
（2）解：因为直线不与轴垂直，所以设直线为，，，
由，消去整理得，
，
所以，，
因为，所以，
所以，即，
即，
即，解得