苏科版 九年级数学上册试题 1.2一元二次方程的解法-（含答案）

1.2一元二次方程的解法
一、选择题．
1．一元二次方程x2﹣3x=0的两个根是（　　）
A．0和﹣3 B．0和3 C．1和3 D．1和﹣3
2．下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣6x+9=0 B．2x2﹣3x+5=0 C．x2+3x+5=0 D．2x2+9x+5=0
3．一元二次方程2x2﹣2x0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．把方程x2﹣x﹣5=0，化成（x+m）2=n的形式得（　　）
A． B．
C． D．
5．关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零
6．某同学在解关于x的方程ax2+bx+c=0时，只抄对了a=1，b=﹣8，解出其中一个根是x=﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x=1 D．不存在实数根
二、填空题
7．方程x2+x﹣2=0的解是　 　．
8．已知方程x2﹣6x﹣2=0，用配方法化为a（x+b）2=c的形式为　 　．
9．如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的根的情况，则4a+b的值是　 　．
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
x2+ax+b 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0
10．当x=　 　时，代数式x2﹣x与x﹣1的值相等．
11．若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　．
12．关于x的一元二次方程x2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　 　．
13．对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）=﹣4，则方程x min（2，2x﹣1）=x+1的解是　 　．
14．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1=5，x2=﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b=0的根是　 　．
三、解答题
15．解方程：
（1）（y+2）2=（3y﹣1）2 （2）x2+4x+2=0（配方法）
16．解下列方程：
（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1； （2）x2﹣4x﹣3＝0．
17．若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根．
（1）求b的值；
（2）当b取正数时，求此时方程的根．
18．已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
20．已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．
（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）指出A与C哪个大？说明理由．
21．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．
【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．
x … ﹣1 0 1 2 3 …
ax2+bx+3 … 0 3 4 …
（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．
【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．
同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．
同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．
…
（2）请你也提出一个合理的猜想：　 　
【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．
（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．
答案
一、选择题
B．D．B．C．B．A．
二、填空题
7．x1＝﹣2，x2＝1．
8．（x﹣3）2＝11．
9．2．
10．1．
11．m．
12．k≥2．
13．x或x．
14．x＝﹣7或x＝4．
三、解答题
15．（1）y+2＝±（3y﹣1）
y+2＝3y﹣1，y+2＝﹣（3y﹣1）
y1，y2；
（2）x2+4x+4＝2
（x+2）2＝2
x+2
x1＝﹣2，x2＝﹣2．
16．（1）∵x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
则2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
解得x＝0.5或x＝1；
（2）∵x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
∴x﹣2，
∴x＝2．
17．（1）由题意可知：△＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，
解得：b＝2或b＝﹣10．
（2）当b＝2时，
此时x2﹣4x+4＝0，
∴x1＝x2＝2
18．（1）由题意，得△＝（2k+1）2﹣8k
＝（2k﹣1）2
∵（2k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）由求根公式，得，x2＝﹣k．
∵方程有一个根是正数，
∴﹣k＞0．
∴k＜0
19．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1．
当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，
解得：k＝12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，
解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．
答：k的值为12或3．
20．（1）证明：B﹣A＝（a2﹣3a+7）﹣（a+2）
＝a2﹣3a+7﹣a﹣2
＝a2﹣4a+5
＝（a2﹣4a+4）+1
＝（a﹣2）2+1，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+1≥1，
∴B﹣A＞0，
∴B＞A；
（2）解：C﹣A＝（a2+2a﹣18）﹣（a+2）
＝a2+2a﹣18﹣a﹣2
＝a2+a﹣20
＝（a+5）（a﹣4）
∵a＞2，
∴a+5＞0，
当2＜a＜4时，a﹣4＜0，
∴C﹣A＜0，即A＞C，
当a＞4时，a﹣4＞0，
∴C﹣A＞0，即A＜C
当a＝4时，C﹣A＝0，即A＝C．
21．（1）当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；
当x＝1时，a+b+3＝4．
可得方程组．
解得：．
当x＝2时，ax2+bx+3＝3；
当x＝3时，ax2+bx+3＝0．
故答案是：3；0；
（2）言之有理即可，比如当x＜1时，（ax2+bx+3）随x的增大而增大；当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；
故答案是：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；
（3）甲的说法不正确．
举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．
乙的说法正确．
证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．
∵（x﹣1）2≥0．
∴﹣（x﹣1）2+4≤4．
∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．