苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性 课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
2.5等腰三角形的轴对称性（1）
你知道什么样的三角形是等腰三角形吗
有两边相等的三角形叫等腰三角形.
你能找出下页图片的哪些物体
有等腰三角形的形状吗？
按下面的步骤做一做
1
、将长方形纸片对折.
2
、然后沿虚线折叠，再沿折痕剪开.
3
、把阴影部分展开，得到的三角形有什么特点？
A
B
C
D
你有什么发现
A
B
C
A
D
C
A
B
C
D
把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形的轴对称性:
A
C
B
D
通过以上的演示,你能得到什么结论
AB＝AC
BD＝CD　　
∠BAD＝∠CAD
∠B＝∠C
∠ADB＝∠ADC
B
A
C
D
把剪出的等腰三角形沿折痕对折，
找出其中重合的线段和角．
重合的线段：
重合的角：
等腰三角形除了两腰相等以外,
你还能发现什么
要求：看哪个小组得到的结论最多，并且能够用规范的语言叙述.
A
B
C
D
A
C
B
等腰三角形的性质:
等腰三角形的两个底角相等 (简写“等边对等角”)
在△ABC中，
∵ AB=AC
∴ ∠B＝∠C
(等边对等角)
推理格式：
性质1：
（已知）
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
┓
顶角的平分线
底边上的高
底边上的中线
A
B
C
D
A
B
C
D
┓
A
B
C
D
A
B
C
D
性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
也就是说：
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
或————————，或——————
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠___=∠___，____=____；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠＿=∠＿，____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____.
C
A
B
1
2
D
等腰三角形“三线合一”的性质
用符号语言表示为：
1
2
BD
CD
1
2
AD
BC
AD
BC
BD
CD
等腰三角形“三线合一”的性质
评注：在做题过程中，若想使用三线合一，题中至少要出现三线中的一线，即“一线生机”.
(1)如果等腰三角形的一个底角为500，则其余两个角为____和____.
(2)如果等腰三角形的顶角为800，则它的一个底角为____.
500
800
500
(3)如果等腰三角形的一个角为800，则其余两个角为___________________.
800 和200
(4)如果等腰三角形的一个角为1000，则其余两个角为_________.
400和400
或500和500
(5)等腰三角形的一个外角为1300，则三个内角分别:_______________________________.
650、650、500
或500、500、800
知识应用:
点评：
等腰三角形中的内角，若没指出是底
角还是顶角应分两种情况讨论，注意
运用三角形内角之和等于180 °.
等腰三角形的性质
文字叙述
几何语言
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”
∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
小结
2.5等腰三角形的轴对称性（2）
1.等腰三角形有哪些性质？
2.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边的大小有什么关系？
　　 请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：
1．在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC．
2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A．
3．找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折．
问题1：AB与AC是否重合？
问题2：本实验的条件与结论
如何用文字语言加以叙述？
B
C
A
D
.
在△BAT和△CAT中，
　 ∠1＝∠2(角平分线定义)，
∠B＝∠C(已知)，
AT＝AT(公共边) ，
∴△BAT≌△CAT(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形对应边相等)．
已知：在△ABC中，∠B＝∠C
求证：AB＝AC．
证明：（1）作∠A的平分线交BC于T．
A
B
C
T
（2）过A点作AD⊥BC，垂足为D．
A
B
C
D
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC，
在△ADB和△ADC中，
　 ∠ADB＝∠ADC，
∠B＝∠C，
AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC，
∴AB＝AC．
思考：通过这题的证明你发现了什么结论？
1
2
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．
符号语言
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC (等角对等边)
思考：
“等边对等角”与“等角对等边”
是否一样？它们的主要区别在哪里？
已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.
证明:作AD⊥BC于点D,
则∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.
如图,DB=DC,∠ABD=∠ACD.求证:AB=AC.
∴AB=AC.
证明:连接BC,如图.
∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB.
又∵∠ABD=∠ACD,
∴∠DBC+∠ABD=∠DCB+∠ACD,
即∠ABC=∠ACB.
思考1：什么是等边三角形？
它与等腰三角形有什么区别与联系？
思考2：等边三角形的性质有哪些？
等腰三角形 等边三角形
对称性 轴对称图形(1条)
边 两腰相等
角 两底角相等
特殊线 三线合一(1条)
轴对称图形(3条)
三边相等
三个角都等于60度
三线合一(3条)
等边三角形的概念及性质
（1）三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形．
（2）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴．
（3）等边三角形的各角都等于60°．
【小结】
思考3：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？为什么？
等边三角形的判定
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ．
【小结】
【小结 】
等腰三角形 等边三角形
对称性 轴对称图形(1条)
边 两腰相等
角 两底角相等
特殊线 三线合一(1条)
轴对称图形(3条)
三边相等
三个角都等于60度
三线合一(3条)
等边三角形的判定
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ．
2.5等腰三角形的轴对称性（3）
你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？
1．任意剪出一张直角三角形纸片（如图1）．
2．剪得的纸片是否能折成图2的形状？
3．△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明理由．
图1
图2
图3
你还有其他发现吗？
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
符号语言：
∵在Rt△ABC中，点D是AB的中点，
∴CD＝ AB ．
【例】
如图,∠ACB=∠ADB=90°,N、M分别是AB、CD的中点,探究MN与CD的位置关系
如图,连接DN、CN.
∵在△ADB中,∠ADB=90°,N是AB的中点,∴DN=AB.
同理可得,CN=AB.
∴DN=CN.
在△DNC中,∵DN=CN,M是CD的中点,
∴MN⊥CD,即MN垂直平分CD.
探究：如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，如果
∠A＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？
试证明你的结论．
解：BC＝ AB．
．
直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
证明：作斜边上的中线CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，
∴
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴ ．
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
【小结】
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
谢 谢 观 看