2008年5月全国各地名校试题选粹（数学）

2008年5月全国各地名校试题选粹（数学）
本试卷三大题22道小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填在试卷答题卡上。
第1至12小题选出答案后，用2B铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第13至22题用钢笔或圆珠笔在答题卡上作答，答在试题卷上的无效。
考试结束，只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、(理科)（重庆八中高2008级高三下第二次月考）是虚数单位，的虚部是（ ）
A． B． C． D．
(文科) （黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）已知是第二象限的角，，则=（ ）
A． B． C． D．
2、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试卷）定义集合M与N的新运算：M+N=或且，则(M+N)+N等于（ ）
A、M B、N C、 D、
3、（浙江省杭州市2008年第二次高考科目教学质量检测）已知直线和平面m，直线直线b的一个必要不充分的条件是（ ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）与m所成角相等
4、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试卷）已知函数的最大值为2，则的最小正周期为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、（东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中第一次高考模拟考试）是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ）
A．2 B．3 C． D．6
6、(理科)（黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）随机变量服从标准正态分布，，则（ ）
A． B． C． D．
(文科) （黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）一组数据中每个数据都减去构成一组新数据，则这组新数据的平均数是，方差是，则原来一组数的平均数和方差分别是（ ）
A． B． C． D．
7、（东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中第一次高考模拟考试）若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）
A．15个 B．12个 C．9个 D．8个
8、（河北省石家庄市2008年高中毕业班第一次模拟）等差数列中，为定值，则中的前项和一定为常数的是（ ）
A． B． C． D．
9、（黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）已知奇函数的定义域为，且对任意正实数恒有，则一定有 （ ）
A． B．
C． D．
10、（河北省石家庄市2008年高中毕业班第一次模拟）如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长之比为2∶1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于（ ）
A. B. C. D.
11、（理科）（重庆八中高2008级高三下第二次月考）如图，圆在直线下方的弓形（阴影部分）的面积为，面积关于的函数图象大至为（ ）
（文科）设函数，若函数的图象与的图象关于直线 对称，则的值为（ ）
A． B． C． 3 D． 5
12、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考）设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝， λ2 ＝，λ3＝，定义f(P)=( λ1, λ2, λ3),若G是△ABC的重心，f(Q) ＝（，，），则（ ）
A. 点Q在△GAB内 B. 点Q在△GBC内　
C. 点Q在△GCA内 D. 点Q与点G重合
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置上)
13、（重庆八中高2008级高三下第二次月考）国家发改委去年在其官方网站以“国家法定节假日调整研究小组”名义刊登国家法定节假日调整方案，并解释称调整原因是现行放假制度暴露出一些问题，如传统文化特色仍显缺乏，节假日安排过于集中，休假制度落实不够等，新的调整方案出台后，为更广泛地征求民意。“国家法定节假日调整研究小组”在网上展开民意调查，通过调查发现，对取消“五一黄金周”持“反对”态度的有6%，持“无所谓”态度的占14%，其余的持“赞成”意见，若按分层抽样抽出600人对调整方案进行探讨，则持“赞成”意见者应当抽取的人数为________人.
14、（重庆八中高2008级高三下第二次月考）当时，展开式中的常数项为_________.
15、（理科）（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试）设，要使函数在内连续，则的值为 。
（文科）（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试）若
。
16、（理科）（浙江省杭州市2008年第二次高考科目教学质量检测)如图，边长为的正中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有 （只需填上正确命题的序号）。
（1）动点在平面上的射影是线段
（2）三棱锥的体积有最大值；
（3）恒有平面平面；
（4）异面直线与不可能互相垂直；
（5）异面直线与所成角的取值范围是。
（文科）（河北省石家庄市2008年高中毕业班第一次模拟）在四个数的两旁各加一条竖线，引进符号：，定义。如果函数，则在处切线的倾斜角为 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若的值.
18、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试卷）已知Rt△ABC中，,AB=1，BC=2，D为BC的中点，将△ADB沿AD折起，使点B在△ADC所在平面的射影E在AC上.
（Ⅰ）求证：CD⊥平面BDE;
（Ⅱ）求折起后二面角B―AD―C的大小；
（理科做，文科不做）（Ⅲ）求折起后AB与平面BDE所成的角.
19、（理科）（东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中第一次高考模拟考试）2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为，中国乒乓球女队一枚金牌的概率均为
（1）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率；
（2）记中国乒乓球队获得金牌的数为，按此估计的分布列和数学期望。
（文科）（黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列，使得
，记，
（1）求的概率；
（2）求前两次均出现正面且的概率；
20、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试卷）已知函数
（Ⅰ）当，求使恒成立的的取值范围；
(Ⅱ)设方程的两根为，且函数H（x）在区间上的最大
21、（湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考）在平面直角坐标系中，已知，若实数使得（为坐标原点）
（I）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；
（Ⅱ）当时，若过点的直线（斜率不等于零）与（I）中点的轨迹交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
22、（理科）（浙江省杭州市2008年第二次高考科目教学质量检测）设数列的所有项都是不等于1的正数，前n项和为，已知点在直线上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又。
（1）求证：数列是等比数列；
（2）如果，求实数k，b的值；
（3）如果存在，使得点和都在直线上，试判断，是否存在自然数，当时，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由．
（文科)（湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考）已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；
（Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
2008年5月全国各地名校试题选粹（数学）
参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 （理）B（文）D Ａ Ｄ C B (理) Ｃ（文）Ｃ C B Ｄ Ｂ （理）C（文）A A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．480人 14． 15．（理）（文）1 16．（理）（1）（2）（3）（5）（文）
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17、解：（I） …………1分
…………3分
即
…………5分
为等腰三角形. …………7分
（II）由（I）知
…………10分
…………12分
18、解：（Ⅰ）在对折图中作BO⊥AD于O,连结OE，由条件及三垂线定理知OE⊥AD，
对照原图知点B、O、E共线，∴在原图中∵BA=BD,∴BE是AD中垂线，ks5u
∴∠BDE=∠BAE=900，∴CD⊥DE, 又∵BE⊥平面ACD, ∴CD⊥BE,∴CD⊥平面BDE…………4分
（Ⅱ）：由（Ⅰ）知∠BOE就是二面角B-AD-C的平面角，
如原图，易求得BO=,OE=，∴∠BOE= arccos，
∴二面角B-AD-C的大小为arccos…………………………8分
（Ⅲ）：高考资源网在对折图中作AF⊥ED于F,连结BF，由条件及知AF⊥平面BDE ,
∴∠ABF就是AB与平面BDE成的角， 如原图，易求得AF=， ∴∠ABF=300
故AB与平面BDE所成的角为30°…………………………12分
19、(理科)解：（1）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件，中国乒乓球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件，那么，
==
（2）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量，
它的所有可能取值为0，1，2，3，4（单位：枚）
那么
则概率分布为：
0 1 2 3 4
那么，所获金牌的数学期望（枚）
答：中国乒乓球队获得金牌数的期望为枚。
(文科)（1）S4=2，需4次中有3次正面1次反面设其概率为P1
则…………………………6分
（2）6次中前两次均出现正面，且要使则后4次中有2次正面，2次反面或3次正面一次反面，设且概率为P2，
则…………………………12分
20、解：（Ⅰ）由
下求，x=0时y=0
可证其在上是增函数，故在x=1时取最大值
所以a＞…………………………6分
…………………………12分
21、解：（I）由已知可得．
5分
即P点的轨迹方程是 7分
当 P点的轨迹是两个点． 9分
，即时，方程为 P点的轨迹是双曲线． 11分
，即时，方程为, P点的轨迹是两条射线． 12分
22、（理科）解：（1）点，都以直线上，
，得。
常数，且，（非零常数）
数列是等比数列。 3分
（2）由，得，
，得。
由在直线上，得，
令得。 3分
（3）恒成立等价于，
存在，使得和都在上，
，（1）
，（2）
得：，
易证是等差数列，设其公差为d，则有，
，，
得：，
又
由， 得，
即：数列是首项为正，公差为负的等差数列， 4分
一定存在一个最小自然数M，使
， 即
解得。
，。
即存在自然数，其最小值为，使得当时，恒成立。4分
（文科）（Ⅰ）解：，依题意，，
即 ， 解得．
∴． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）∵，∴，
当时，，故在区间上为减函数，
∵对于区间上任意两个自变量的值，
都有
………………8分
（Ⅲ），
∵曲线方程为，∴点不在曲线上．
设切点为，则点M的坐标满足．
因，故切线的斜率为，
整理得．
∵过点可作曲线的三条切线，
∴关于方程有三个实根，
设，则，
由，得或．
∴函数的极值点为，．
∴关于方程有三个实根的充要条件是，
即，解得．
故所求的实数的取值范围是． ……………………………………14分
B
A
D
C
D
B
E
A
C
O
F
F
O
E
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