人教A版（2019）高中数学 必修第一册 5.2.2同角三角函数的基本关系 同步学案

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5.2.2同角三角函数的基本关系
班级 姓名
学习目标
1、理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；
2、会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin2α＋cos2α＝ 同一个角α的正弦、余弦的 等于 商数关系＝ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的
已知一个三角函数值求其他三角函数值 例1、(1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．(2)已知α∈，tan α＝2，求sin α，cos α的值．
利用同角三角函数的基本关系化简、证明 例2、(1)求证：＝. (2)化简：；
sinθ±cosθ型求值问题 例3、已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求sin θ－cos θ.变式、若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝ .
弦化切求值问题 例4、已知tan α＝3，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)sin2α＋cos2α.
课后作业
一、基础训练题
1．已知α是第三象限角，若tanα＝，则cosα＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．已知α是第三象限角，且sin α＝－，则3cos α＋4tan α＝(　　)
A．－　　　 B．
C．－ D．
3．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A．　　 B．
C．1　　 D．
4．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)
A． B．－
C．－ D．
5．化简(1－cos α)的结果是(　　)
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
6．已知＝－5，那么tan α＝________．
7．若2sin α＋cos α＝0，则－＝ .
8．已知＝，α∈.
(1)求tan α的值； (2)求的值．
9．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
二、综合训练题
10．(多选题)已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
11．化简下列各式：
(1)； (2)tan α(其中α是第二象限角)．
三、能力提升题
12．已知cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________.
13．已知sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＋＝________.
14．若<α<2π，求证： .
5.2.2同角三角函数的基本关系
参考答案
1、【答案】B　
【解析】∵tan α＝，∴cos2α＝＝＝，又α是第三象限角，因此cos α＝－＝－.
2、【答案】A
【解析】因为α是第三象限角，且sin α＝－，所以cos α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝＝，所以3cos α＋4tan α＝－2＋＝－.
3、【答案】C　
【解析】原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
4、【答案】C
【解析】由题意得(sin α－cos α)2＝，即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－.
5、【答案】A　
【解析】(1－cos α)＝·(1－cos α)
＝·(1－cos α)＝＝＝sin α.
6、【答案】－
【解析】易知cos α≠0，由＝－5，得＝－5，解得tan α＝－.
7、【答案】－
【解析】2sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，
原式＝＝＝＝－2tan2α＝－.
8、解：(1)由＝，得3tan2α－2tan α－1＝0，
即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－或tan α＝1.
因为α∈，所以tan α<0，所以tan α＝－.
(2)由(1)，得tan α＝－，所以＝＝＝.
9、[解]　(1)∵sin A＋cos A＝， ①
两边平方，得1＋2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝－.
(2)由sin Acos A＝－<0，且0可知cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，
又∵sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝. ②
由①②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan A＝＝＝－.
10、【答案】BC
【解析】∵α是三角形内角，∴α∈(0，π)，
又∵(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝2，
解得2sin αcos α＝，∵sin αcos α>0且α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α>0，
∴sin α－cos α符号不确定，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，
∴sin α－cos α＝±.
11、解：(1)＝＝＝＝1.
(2)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α ＝tan α ＝tan α ＝·
＝·＝－1.
12、【答案】2　
【解析】由得(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－，cos α＝－，∴tan α＝2.
13、【答案】±
【解析】＋＝＋＝＋
＝＝sin θ＋cos θ，
又因为sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，
所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±.
14、[证明]　∵<α<2π，∴sin α<0.
左边＝＋
＝ ＋ ＝＋
＝－－＝－＝右边．
∴原等式成立．
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