人教A版（2019）高中数学 必修第一册 5.1.2弧度制 同步学案

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5.1.2弧度制
班级 姓名
学习目标
1、了解弧度制的概念，会弧度与角度的相互转化.
2、掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材P172-173的内容，完成右边的问题. 1、度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角，记作1°弧度制定义以 为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 2、弧度数(1)正角：正角的弧度数是一个 .(2)负角：负角的弧度数是一个 .(3)零角：零角的弧度数是 .(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .(5)平角、周角的弧度数分别为 、 ；
阅读教材P174的内容，完成右边的问题. 3、角度制与弧度制的换算　牢记180°＝π rad，1 rad＝角度化弧度弧度化角度360°＝ rad2π rad＝ 180°＝ radπ rad＝ 1°＝ rad≈0.017 45 rad1 rad＝ °≈57.30°度数×＝弧度数弧度数×＝度数【即时训练1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°； (2)－300°； (3)2； (4)－；【即时训练2】填写下表：角度0°30°45°120°135°150°弧度【即时训练3】将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．(1) ； (2)420°； (3) ； (4). 【即时训练4】用弧度制表示：(1)终边在x轴非正半轴的角 ；(2)终边在y轴上的角的集合 ；(3)终边在坐标轴上的角的集合 ；(4)终边在直线y=x上的角的集合 ．注意：①今后用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”可以省略不写．②在同一个式子中，角度和弧度不能混用，不能出现“”的表示形式．
阅读教材P174-175的内容，完成右边的问题. 4、扇形的弧长及面积公式　 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝ 扇形的面积S＝S＝ ＝ 【即时训练5】(1)已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积;(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
课后作业
一、基础训练题
1．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad B．－π rad化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad D． rad化成度是15°
2．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
4．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)
A． rad　　　 B． rad
C． rad D． rad
5．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
6．已知扇形的弧长是4 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．1或4
7．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
8．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
9．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝________.
10．已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
二、综合训练题
11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　　)
A．6平方米 B．9平方米
C．12平方米 D．15平方米
12．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
三、能力提升题
13．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
14．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是________．
15．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.
5.1.2弧度制
参考答案
1、【答案】ABD
【解析】对于A,60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；
对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°.
2、【答案】ABC
3、【答案】C　
【解析】A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．
4、【答案】B　
【解析】由弧度数公式|α|＝，得|α|＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.]
5、【答案】D　
【解析】因为－2π＜－5＜－，所以α是第一象限角．]
6、【答案】C　
【解析】因为扇形的弧长为4，面积为2，所以扇形的面积为×4×r＝2，解得r＝1，
则扇形的圆心角的弧度数为＝4.故选C.
7、【答案】－　660°
【解析】－135°＝－135×＝－；＝×180°＝660°.]
8、【答案】　48
【解析】α＝＝＝，S＝l·r＝×12×8＝48.]
9、【答案】
【解析】－＝－4π＋，所以与－终边相同的角为＋2kπ，k∈Z.
又α∈(0，π)，故α＝.
10、[解]　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π＜＜，∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；当k＝－2时，γ＝－π；当k＝－1时，γ＝－π.
11、【答案】B
【解析】如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，
OD＝AO＝×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin＝4×＝2，
可得：弦＝2AD＝2×2＝4，所以，
弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．
12、[解]　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝ rad.
(2)由(1)可知α＝ rad，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝25，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25.
13、【答案】[－4，－π]∪[0，π]
【解析】如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．]
14、【答案】　
【解析】由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，
小链轮转过的弧度是×2π＝.
15、解　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成.
故满足条件的角的集合为.
(2)将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为.
(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，
所以满足条件的角的集合为.
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，
所以满足条件的角的集合为.
r
r
1rad
r
2r
r
2 rad
3r
r
3rad
l
_
r
rad
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