3.1 不等式的基本性质 课件（共63张PPT）

(共63张PPT)
第3章 不等式
3 . 1
不等式的基本性质
我们知道，实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能为正数、零和负数中的一种. 那么，对于任意两个实数 a，b，它们的差 a－b 也只可能为正数、零和负数中的一种.
一、实数比较大小的基本事实
文字语言 符号表示
当a－b为正数时，称a＞b； a＞b a－b＞0
当a－b为零时，称a＝b； a＝b a－b＝0
当a－b为负数时，称a＜b. a＜b a－b＜0.
在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质：
(1) 若a＝b且 b＝c，则 a＝c；
(2) 若a＝b，则 a±c＝b±c；
(3) 若a＝b，则 ac＝bc，＝ (c≠0).
● 不等式有哪些基本性质呢
【思考】
(1) 在比较两实数 a，b大小的依据中，a，b 两数是任意实数吗
提示：是.
(2) 如何由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法
提示：通过两个实数作差，判断差的正负比较大小.
二、不等式的基本性质
(1) 性质:
别名 性质内容 注意
性质1 对称性 a＞b b＜a 可逆
性质2 传递性 a＞b，b＞c ____ 同向
性质3 可加性 a＞b ________ 可逆
性质3的推论 移项法则 a＋b＞c a＞c－b 可逆
a＞c
a＋c＞b＋c
别名 性质内容 注意
性质4 可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc a＞b，c＜0 ______ c的
符号
性质5 同向可加性 a＞b，c＞d ________ 同向
性质6 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 ______ 同向
同正
ac＜bc
a＋c＞b＋d
ac＞bd
(2) 本质：
不等式的基本性质可以由实数比较大小的基本事实证明，它阐述了不等式在不同条件下的同解变形结论，是求解和证明不等式的依据.
(3) 应用：① 解不等式；
② 判断或证明不等式.
【思考】
(1) 性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗 为什么
提示：不对. 要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向.
(2) 使用性质6时，要注意什么条件
提示：各个数均为正数.
性质1
若 a ＞ b，则 b ＜ a.
分析 要证 b ＜ a ，只要证 b － a ＜ 0.
证明 因为 a＞b，所以 a－b＞0.
又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0，
即 b－a＜0.
所以 b＜a.
性质2
若 a ＞ b，b ＞ c，则 a ＞ c.
分析 要证 a＞c，只要证 a－ c＞0.
证明 因为 a＞b，b＞c，所以 a－b＞0，b－c＞0.
由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，
即 a－c＞0.
因此 a＞c.
性质3
若 a＞b，则 a＋c＞b＋c.
分析 要证 a＋c＞b＋c，只要证(a＋c)－(b＋c)＞0，
即 a－b ＞ 0.
证明 因为a ＞ b，所以 a－b＞0.
又因为 (a＋c) －(b＋c) ＝ a－b，
所以 (a＋c) －(b＋c) ＞ 0.
故 a＋c ＞ b＋c.
本性质告诉我们，不等式两边都加上(或都减去)同一个实数，不等号的方向不变. 利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等式的一边移到另一边，即
a ＋ b ＞ c a ＞ c － b.
性质4
若 a ＞ b，c ＞ 0，则 ac ＞ bc；
若 a ＞ b，c ＜ 0，则 ac ＜ bc.
证明 ac－bc＝(a － b)c.
因为 a＞b，所以 a－b＞0.
因此，当c＞0时，(a－b)c＞0，从而 ac＞bc；
当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac ＜ bc.
本性质告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变.
性质5
若 a＞b，c＞d，则 a＋c ＞ b＋d.
证明 由 a ＞ b 和性质3，得 a＋c ＞ b＋c.
又由 c ＞ d 和性质3，得 b＋c ＞ b＋d.
于是，由性质 2，得 a＋c ＞ b＋d.
本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式和原不等式同向.
性质6
若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd.
证明 因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得 ac＞bc.
因为c＞d＞0，b＞0，由性质4，得 bc＞bd.
由性质 2，得 ac＞bd.
特别地，当 a＝c，且b＝d时，有a2＞b2.
以后，我们可以用数学归纳法证明如下结论：
若 a＞b＞0，则 an＞bn( n∈N*).
本性质告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向。
性质 5 和性质 6 也可以看成是前面性质的推论.
以上性质是求解和证明不等式的基础.
例 1
求解不等式 90－t≥80 ，并用不等式的性质说明理由.
解：不等式 90－t≥80两边同乘以3，得
270－10t≥240. (不等式性质4)
两边同加上－270，得
－10t≥240－270. (不等式性质 3)
即 －10t≥－30.
两边同乘以－，得 t≤3. (不式性质4)
例 2
已知 a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
证法1 由a＞b，得 a－b＞0；
由c＜d，得 d－c＞0.
因为(a－c) －(b－d) ＝(a－b)＋(d－c) ＞0，
所以 a－c＞b－d.
证法2 因为c＜d，
所以－c＞－d.
又因为 a＞b，
所以 a＋ (－c) ＞b＋ (－d).
即 a－c＞b－d
例 3
比较两数(a2＋1)2与 a4＋a2＋1的大小.
解： 因为 (a2＋1)2－ (a4＋a2＋1)
＝ a4＋2a2＋1－a4－a2－1
＝a2.
当a＝0时，a2＝0，所以(a2＋1)2 ＝a4＋a2＋1；
当a≠0时，a＞0，所以 (a2＋1)2＞a4＋a2＋1.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1)两个实数 a，b 之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种. (　　)
(2) a＞b且 c＞d，则 a－c＞b－d. (　　)


例如 5＞3 且 4＞1 时，则 5－4 ＞ 3－1是错的.
(3) 若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d. (　　)
(4) a＞b＞0，且 c＞d＞0，则 ＞ . (　　)

取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2. 满足 a＋c＞ b＋d，但不满足a＞b.

例如 5＞3且 4＞1，则＞是错的.
2. 已知 a＞b，c＞d，且cd≠0，则 (　　)
A. ad＞bc　　　　 B. ac＞bc
C. a－c＞b－d D. a＋c＞b＋d
D
解析：a，b，c，d 的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项.
解析
3. 已知 x≠2，则 x2＋4 与4x 的大小关系为_________.
x2＋4＞4x
解析：x2＋4－4x＝ (x－2)2 ，而 x≠2，
所以 (x－2)2 ＞ 0，所以 x2＋4－4x＞0，
所以 x2＋4＞ 4x.
解析
【跟踪训练】
1. 已知 a＋b＞0，b＜0，那么，a，b，－a，－b的大小是 (　　)
A. a＞b＞－b＞－a　　　 B. a＞－b＞－a＞b
C. a＞－b＞b＞－a D. a＞b＞－a＞－b
C
解析：令 a＝5，b＝－2 满足 a＋b＞0，b＜0，
所以 a＞－b＞b＞－a.
解析
2. 不等式 x＋ ＜ 1的解集为 (　　)
A.{ x∣x ＞1} B.{ x∣x ＜1}
C.{ x∣x ＞－1} D.{ x∣x ＜－1}
B
解析：不等式两边同乘以2得，2x＋x－1＜2，
整理得，3x－1＜2，两边同加上1得，3x＜3，
两边同乘以得，x＜1.
解析
3. 设 a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则 (　　)
A. a＞b　　　B. a＜b　　 C. a≥b　　 D. a≤b
C
解析：a－b＝ (3x2－x＋1) －(2x2＋x)
＝x2－2x＋1
＝ (x－1)2≥0，所以a≥b.
解析
4. 若规定＝ad－bc，则与的大小
关系为_____________________.(a，b∈R，且a≠b)
＞
解析： －
＝ [a·a－ (－b)·b] －[a·b－(－a)·b]
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0 (因为a≠b)，
所以 ＞ .
解析
5. 已知 a＞b，＜，则 ab ____ 0.(填“＞”或“＜”)
＞
解析：因为＜，所以 － ＜ 0，即 ＜ 0，
而 a＞b，所以 b－a ＜ 0，所以ab＞0.
解析
练 习
1. 回答下列问题，并说明理由.
(1)由 a＞b，能否得到ac2＞bc2？
不能
解：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，
∴当c＝0时，不能得到 ac2＞bc2.
当c≠0时，c2＞0，
∴ ac2＞bc2，
∴ c≠0 时，能得到 ac2＞bc2，
故 c＝0时，不能得到ac2＞bc2；
c≠0 时，能得到 ac2＞bc2 .
(2) 由 a＞b，c＞d，能否得到 a－c ＞ b－d
不能
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d.
例如，令 a＝3，b＝2，c＝－1，d ＝－2，
满足 a＞b，c＞d，但是 a－c＝b－d，
故 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d.
(3) 由 a＞b，c＞d，能否得到ac＞bd
不能
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 ac＞bd.
例如，令a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3.
满足a＞b，c＞d，但是ac＝bd，
当 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到 ac＞bd.
故只有 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到ac＞bd.
2. 解不等式 10－x ≥ 3，并用不等式的性质说明理由.
根据不等式的性质1：不等式的两边同时加上 (或减去) 同一个数(或式子) ，不等号的方向不变.
不等式两边都减10，不等号的方向不变，
得 10－x －10 ≥3 －10；
－ x≥ －7；
根据不等式的性质3：不等式的两边同时乘(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变.
不等式两边都除以－ ，不等号的方向改变，
得 －x ÷(－) ≤ －7÷(－) ；
x≤.
∴ 不等式的解为{ x∣x ≤}.
3. 比较两数 (x＋1)(x2－x＋1)与(x－1)(x2＋x＋1)的大小.
解：(x＋1)(x2－x＋1)＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1，
∵ x3＋1＞x3－1
∴ (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)，
综上所述，结论为：
(x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)
4. 已知 a ＜ b ＜ 0，求证： a2 ＞ b2.
证明：∵ a＜b＜0，
∴－a＞－b＞0.
(→或由 a＜b＜0 得 ∣a∣＞∣b∣＞0，
进而得 a2＞b2.
由不等式性质6，得(－a)2＞(－b)2，
即a2＞b2.
5. 已知 a ＞ b ＞ 0，求证：b ≤ ≤ a .
证明：∵ b－＝ ＝ .
∵ a≥b＞0，∴ b－a≤0，
∴ ≤0，∴ b－≤0，
∴ b ≤
∵ －a ＝ ＝ ，
∵ a≥b＞0，∴ b－a≤0，
∴ ≤0，
∴ －a≤0，
∴ ≤ a，
∴ b≤≤a .
习题 3.1
感受·理解
1. 解不等式2－＜，并用不等式的性质说明理由.
证明：由 2－ ＜ 得， 12－2x＋2＜3x＋3
(理由：不等式两边同时乘以相同的正数，不等式的不等号方向不变)
11－2x＜3 (理由：不等式两边同时加上或者减去相同的数，不等式的不等号方向不变)
11＜5x (理由：不等式两边同时加上或减去相同的式子，不等式的不等号方向不变)
x＞ (理由：不等式两边同时乘以或者除以相同的正数，不等式的不等号方向不变)
∴该不等式的解集为{ x∣x ＞ }.
2. 已知a ≠b，比较 a2－ab 与ba－b2 的大小.
解： a2－ab－(ba－b2) ＝ a2－ab－ba＋b2
＝ a2－2ab＋b2
＝ (a－b)2
∵ a ≠b，
∴ (a－b)2＞0，
∴ a2－ab ＞ ba－b2.
3. 已知 x≠0，比较(x2＋2)2与x4＋x2＋4的大小.
解： (x2＋2)2 － x4＋x2＋4
＝ x4＋4x2＋4－x4 － x2－4＝3x2，
∵ x≠0，
∴ 3x2＞0，
∴ (x2＋2)2 － x4＋x2＋4 ＞0，
∴ (x2＋2)2 ＞ x4＋x2＋4 .
4. 证明下面的结论：
(1) 如果 a＞b＞0，c＞d，且 c＞0，那么ac＞bd；
证明：由题知 a＞b＞0，c＞d，c＞0，
若d＞0即c＞d＞0，
由不等式的同向可乘性得 ac＞bd，
若 d＝0，则bd＝0，又ac＞0，所以 ac＞bd，
若 d＜0，则bd＜0，又ac＞0，所以 ac＞bd，
综上 ，ac＞bd；
(2) 如果 a＜b＜0，c＜d＜0，那么 ac＞bd；
证明：由题知 a＜b＜0，c＜d＜0，
则－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，
∴ (－a)·(－c) ＞(－b)·(－d)，
即 ac＞bd；
(3) 如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ＜ ；
证明：由a＞b＞0，c＞d＞0，得 ac＞bd＞0，
两边同时除以 abcd，得
＞，
即 ＜ ；
(4) 如果 a＞b＞0，c＞d＞0，e＞0，那么 ＜ ；
证明：由a＞b＞0，c＞d＞0，得 ac＞bd＞0，
两边同时除以 abcd，得
＞，即 ＜ ，
又 e＞0，所以 ＜ .
5. 设m为实数，解关于 x 的不等式 m(x＋2)x＋m.
解：∵ m (x＋2) ＜ x＋m，∴ mx＋2m ＜ x＋m，
∴ mx－x＜m－2m，∴ (m－1)x＜－m.
当 m－1＞0，即 m＞1 时，x＜ ；
当 m－1＝0，即 m＝1时，无解；
当 m－1＜0，即 m＜1时，x＞.
6. 设 x，y 为正数，比较 ＋ 与 的大小.
解：＋－＝ ＝ .
∵ x，y 为正数，
∴ xy＞0，x＋y＞0，x2＋y2＞0.
∴ ＞0，
∴ ＋ ＞ .
思考·运用
7. 已知 －1＜x＜y＜0，比较 ， ，x2，y2 的大小关系.
解：∵－1＜x＜y＜0，
∴ x－y＜0，x＋y＜0，xy＞0.
∵ － ＝ ＞0，∴ ＞.
∵ x2－y2 ＝(x－y)(x＋y)＞0 ， ∴ x2＞y2 .
8. 已知 a＜b＜0，求证：a4＞ b4.
证明：∵ a＜b＜0 ，
∴ a－b＜0，且 a＋b＜0.
从而 (a－b)(a＋b)＞0，即 a2－b2＞0.
又∵ a＞0，b＞0，
∴ a＋b＞0，
从而 (a2－b2)(a2＋b2)＞0，即a－b＞0，故a4＞b4.
9. 已知 a ＞ b ＞ 0，求证：
(1) ＞ ；
证明：－＝ ＝ ，
∵ a ＞ b ＞ 0，
∴ ＞0， ＞0，
∴ ＞0，
∴ .
(2) a ＞ ＞ b.
证明：由(1)可知 ＞＞ 0，
∴ · ＞ · ，
· ＞ · ，
∴ a＞， ＞b；
∴ a＞＞b.
10. 已知 a ＞ b，ab ≠ 0，试比较 与 的大小.
解： － ＝，∵ a ＞ b，∴ ＜0.
若 a＞b＞0 或 b＜a＜0，则 ab＞0，则－＜0，
∴ ＜.
若 a＞0＞b，则ab＜0，则 －＞0，∴ ＞.
探究·拓展
11. 已知b g糖水中含有a g(b＞a＞0)，若再添m g(m＞0)
解在其中，则糖水变得更甜(即糖水中含糖浓度变大).
试根据这个事实写出 a，b，m 所满足的不等关系，
并给予证明.
a，b，m 所满足的不等关系是 ＞ .
证明如下： －＝＝ ，
∵ b＞a＞0，m＞0.
∴ b－a＞0，b＋m＞0.
∴ ＞0，
∴ ＞ .
本课结束
This lesson is over
THANKS!