2.1 命题、定理、定义 课件（共55张PPT）

(共55张PPT)
第2章
常用逻辑用语
2 . 1
命题、定理、定义
一、命题
定 义
可判断真假的陈述句叫作命题.
【思考】
根据命题的定义思考,命题可分为哪几类
提示：一类是判断为真的命题，即真命题；
另一类是判断为假的命题，即假命题.
(1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等!
(2) 有一个内角是 60°的等腰三角形是正三角形；
(3) 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；
例如：
(4) 对顶角相等；
(5) 若 x2＝1，则 x＝1；
(6) 若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余.
其中语句(1)(2)(4)(6)判断为真，语句(3)(5)判断为假. 因而它们都是命题.
● 观察上述命题中的 (1)(3)(5)(6)，这些命题具有怎样的表示形式
观察上述命题中的(1)(3)(5)6)可以发现，这些命题都具有“如果 p，那么q”或“若 p，则q”的形式.
命题(1)中：p 是“两条平行直线被第三条直线所截”，q 是“同位角相等”；
命题(3)中：p 是“两个三角形的面积相等”，q 是“这两个三角形全等”；
命题(5)中：p 是“x2＝1”，q 是“x＝1”；
等等.
例如：
数学中，许多命题可表示为“_________________” 或“____________”的形式，其中______叫作命题的条件，________ 叫作命题的结论.
一般形式
如果 p，那么 q
若 p，则 q
p
q
例 1
指出下列命题中的条件 p 和结论 q：
(1) 若 ab ＝ 0，则a ＝ 0；
(2) 若 a＜0，则 a＞0；
解：p：ab ＝0，q：a＝0.
解：p：a＜0，q：∣a∣＞0.
(3) 如果二次函数 y＝x2＋k 的图象经过坐标原点，那么k＝0；
(4) 如果两个三角形的三边分别对应相等,那么这两个三角形全等.
解：p：二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点，
q：k＝0.
解：p：两个三角形的三边分别对应相等，
q：这两个三角形全等.
例 2
将下列命题改写成“若 p，则 q ”(或“如果 p，那么 q”)的形式：
(1)有一个内角是 60°的等腰三角形是正三角形；
解： 若一个等腰三角形有一个内角是 60°，
则这个三角形是正三角形.
(2) 对顶角相等；
(3) 平行四边形的对角线互相平分；
解： 若两个角是对顶角，则这两个角相等.
解： 如果一个四边形是平行四边形，
那么这个四边形的对角线互相平分.
(4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
解： 如果一个四边形的对角线互相平分，
那么这个四边形是平行四边形.
例 3
判断下列命题的真假：
(1) 若 a＝b，则a2＝b2；
(2) 若 a2＝b2，则a＝b；
解：当a＝b时，显然有a2＝b2. 所以，命题为真.
解：当a＝1，b＝－1时，a2＝b2＝1，即由a2＝b2，
不能推出a＝b.
所以，命题为假.
(3) 全等三角形的面积相等；
解：由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，
这两个三角形的面积一定相等.
所以，命题为真.
(4) 面积相等的三角形全等.
解：如图 ，直角三角形 ABC 与等腰三角形A′BC 同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等.
所以，命题为假.
二、定理的含义
(1) 已经被证明为真的命题；
(2) 可以作为推理的依据而直接使用.
三、定义的含义和特点
定 义
对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.
例如：“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”.
特 点
用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别.
例如：“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的.
【基础小测】
1. 辨析记忆 (对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题. (　　)
(2) 定理都是真命题. (　　)
(3) 命题“当 x∈R时，x2 是正数”是真命题. (　　)



命题都是陈述句.
定理是已经被证明为真的命题.
当 x＝0 时 x2＝0，故此命题是假命题.
2. 将命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成
“如果p，那么q”的形式：
__________________________________________.
如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0
3. 给出下列命题：① ＞ ；②5能被3整除；
③若ab是正整数，则 a，b 都是正整数；
④若直线 a∥b，则直线a和直线b无公共点.
其中真命题的序号为__________.
①④
解析：①是真命题；②是假命题，5不能被3整除；③是假命题，例如 a＝－1和 b＝－2时，ab是正整数，但 a，b 都是负整数；④是真命题.
解析
【解题策略】
1.将命题改写为“若 p，则 q”形式的方法及原则.
2. 命题改写中的注意点
若命题不是以“若 p，则 q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件 p 和结论q，进而再写成“若 p，则 q”的形式.
【跟踪训练】
1.下列语句中，是命题的个数是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①|x＋2|；②－5∈Z；③π R；④{0} N.
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析：①不能判断真假，不是命题；
②③④能判断真假，是命题.
解析
2. 命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　)
A. 这个四边形的对角线互相平分
B. 这个四边形的对角线互相垂直
C. 这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D. 这个四边形是平行四边形
C
解析：把命题改写成：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直，由此可知C正确.
解析
3. 将命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为：
_____________________________________________.
若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
4.下列语句:
(1) 2＋2 是有理数；
(2) 1＋1＞2；
(3) 2100是个大数；
(4) 968能被11整除；
(5) 流感病毒是怎样传播的
其中是命题的是__________.
(1)(2)(4)
解析：(1)能判断真假，是命题；
(2)能判断真假，是命题；
(3)不能判断真假，不是命题；
(4)能判断真假，是命题；
(5)是疑问句，不是命题.
解析
5. 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假：
(1) 等腰三角形的两个底角相等；
命题可改写成：若一个三角形是等腰三角形,则两个底角相等,真命题.
(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；
(3)已知 x，y 为正整数，当y＝x＋1时y＝3，x＝2.
命题可改写成：若x＝2或x＝4，则 x2－6x＋8＝0，真命题.
命题可改写成：已知 x，y为正整数，若 y＝x＋1，则 y＝3，x＝2.假命题.
练 习
1. 写出下列命题的条件和结论：
(1) 如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；
条件是“两个三角形相似”，结论是“这两个三角形的对应角相等”；
(2) 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；
(3) 若a，b都是偶数，则 a＋b 是偶数；
条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角相等”；
条件是“a，b都是偶数”，结论是“a＋b是偶数”；
(4) 若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；
(5) 若a＝b，则a2＝ab；
条件是“两个实数的积为正数”，结论是“这两个实数的符号相同”；
条件是“a＝b”，结论是“a2＝ab”；
条件是“q ＞ － 1”，结论是“方程 x2＋2x－q＝ 0有实数解”“.
(6) 若q≥－1，则方程 x2＋2－q＝0有实数解.
2. 将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式：
(1) 绝对值相等的数也相等；
(2) 矩形的对角线相等；
若两个数的绝对值相等，则这两个数相等.
若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等.
(3) 角平分线上的点到角两边的距离相等；
(4) 两角分别相等的两个三角形相似.
若一个点是角平分线上的点，则这个点到这个角两边的距离相等.
若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似.
3. 判断下列命题的真假：
(1) 若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；
因为三角形的两个角互余，则另外一个角为直角，所以这个三角形是直角三角形.
该命题为真命题.
(2) 若一个整数的个位数字是 0，则这个数是 5 的倍数；
因为一个整数的末位数字是0，所以这个数必是5的倍数.
故该命题为真命题.
(3) 等腰三角形的底角相等；
(4) 矩形的对角线相等.
因为这个三角形为等腰三角形，所以这个三角形的底角相等.
故该命题为真命题.
矩形的对角线相等且互相平分，所以该命题为真命题.
习题 2.1
感受·理解
1. 写出下列命题的条件与结论：
(1) 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；
条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形对应的高相等”；
(2) 如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
(3) 若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等;
条件是“两个三角形的两边及其夹角分别相等”结论是“这两个三角形全等”；
条件是“一个四边形是菱形”，结论是“这个四边形的四边相等”；
(4) 若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.
条件是“两条直线被一组平行线所截”，结论是截得的对应线段成比例”.
2. 将下列命题改写成“若 p，则 q ”的形式：
(1) 平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；
(2) 平行于同一条直线的两条直线平行；
在同一平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.
若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行.
(3) 两个无理数的和是无理数；
(4) 乘积为正数的两个数同号；
若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数.
若两个数的乘积为正数，则这两个数同号.
(5) 两个奇数的和是偶数；
(6) 矩形的四个角相等；
若两个数均为奇数，则这两个数的和是偶数.
若一个四边形是矩形，则这个四边形的四个角相等.
(7) 等腰三角形的两个底角相等；
(8) 直径所对的圆周角是直角.
若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等.
若圆中的一个圆周角是直径所对的圆周角，则这个圆周角是直角.
思考·运用
3. 判断下列命题的真假：
(1) 若 x2＋x－2＝0，则 x＝1；
∵x2＋x－2＝0，
∴x＝1或 x＝－2，(1)是假命题.
(2) 若 x∈A∩B，则 x∈A∪B；
(3) 若 x＞1，则 x2＞1；
根据集合的交、并集运算的定义，(2) 真命题.
∵x＞1，
∴x2＞1，(3)真命题
(4) 若函数 y＝x2＋2x＋m的图象经过坐标原点，则m＝0；
(5) 若 ＝，则 a＝b；
将原点坐标代入函数的解析式，得 m＝0，(4)是真命题.
∵ ＝，
∴ ∣a∣＝ ∣b∣ ，a＝±b，(5)真命题.
(6) 若 a＋b＞0，则 a2＋b2＞0.
∵ a ＋b ＞ 0，a、b至少有一个大于零，
∴ a2＋b2 ＞ 0，(6)是真命题.
探究·拓展
4. 考察下述推导过程，找出错误原因.
若 x ＝ y，则有 xy ＝y2，
从而有 x2－xy ＝ x2－y2，
即有 x(x－y) ＝(x＋y)(x－y).
所以 x ＝ x ＋ y.
又因为 x ＝ y，
所以 x ＝ 2x.
所以 1＝2.
解：推理中，由 x(x－y) ＝(x＋y)(x－y)得到 x＝x＋y 是错误的，错误原因在于有可能 x－y＝0；
由 x＝2x 得到1＝2 也是错误的，错误原因在于x有可能为 0.
本课结束
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