3.2 基本不等式 课件（共96张PPT）

(共96张PPT)
第3章 不等式
3 . 2
基本不等式≤ (a，b≥0)
把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么 a 并非物体的实际质量. 不过，我们可作第二次测量：
把物体调换到天平的另一个盘子上，
此时称得物体的质量为 b. 那么如何合
理地表示物体的质量呢
简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以
A＝
表示物体的质量. 这样的做法合理吗
设天平的两臂长分别为 l1，l2，物体实际质量为 M，根据力学原理有
l1M ＝ l2a，
l2M ＝ l1b.
将上述两个等式的两边分别相乘，得
l1l2M2＝l1l2ab，
所以 M＝.
由此可知，物体的实际质量是.
对于正数 a，b，我们把 称为 a，b 的算术平均数，
称为 a，b 的几何平均数.
算术平均数与几何平均数
● 两个正数 a，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系
3 . 2 . 1
基本不等式的证明
当a＞0，b＞0时，我们可以尝试作出长度为 和 的两条线段，再比较这两条线段的长.
如图，AB是⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C作CD⊥AB 交⊙O 的半圆于点 D，连接 AD，BD，易知 △ACD∽△DCB，故 ＝，得CD＝.
而OD＝，且CD≤OD，
所以 ≤
当且仅当点 C与点O 重合，即 a＝b 时，等号成立.
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等.
下面证明上述猜想是正确的.
证法 1
对于正数 a，b，有
－
＝ (a＋b－2)
＝ [()2＋()2－2]
＝ (－)2.
因为(－)2 ≥ 0，
所以≥0 ，
即≤ .
当且仅当 ＝ ，
即a＝b时，等号成立.
证法 2
对于正数 a，b，要证 ≤ .
只要证 2≤ a＋b，
只要证 0≤a－2＋b，
只要证 0≤(－)2.
因为最后一个不等式成立，所以 ≤ 成立，当且仅当 a＝b 时，等号成立.
证法 3
对于正数 a，b，有
(－)2≥0，
a＋b－2≥0，
a＋b≥2，
≥a＋b.
当且仅当 a＝b 时，等号成立.
(1) 公式：
① 条件：a，b是正数；
② 结论：____________；
③ 等号成立：当且仅当 a＝b 时.
一、基本不等式
≤
当 a，b≥0时，这个不等式仍然成立.
我们把不等式≤ (a，b≥0) 称为基本不等式.
(2) 本质：
基本不等式表明，两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 .
(3) 变形式：
当 a，b∈R 时，由(a－b)2≥0可得
a2＋b2≥2ab，a2＋b2＋2ab≥4ab，
即 ≥ab，()2≥ab，
当且仅当 a＝b时，其中的等号成立.
当 a＞0，b＞0 时，请用基本不等式证明这两个不等式.
从而得到：
当 a，b∈R 时，
ab≤ (当且仅当 a＝b 时，等号成立)；
ab≤()2 (当且仅当 a＝b 时，等号成立).
这两个不等式通常可以直接使用.
【思考】
(1) 基本不等式成立的条件能省略吗
提示：基本不等式成立的条件“a＞0，b＞0”不能省略，例如 ≥ 是不成立的.
(2)“当且仅当 a＝b 时，等号成立”的含义是什么
提示：一方面是当a＝b时取等号，即
a＝b ＝；
另一方面是仅当a＝b时取等号，即
＝ a＝b.
二、基本不等式求最值的结论 *
对于正数 a，b，
(1) 和 a＋b 为定值时，积 ab 有最_____值；
积 ab 为定值时，和 a＋b 有最______值.
(2) 取等号的条件：当且仅当________时，＝.
(3) 应用：求和式的最小值，乘积式的最大值.
大
小
a＝b
例 1
设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
(1) ＋ ≥2；
(2) a＋b＋＋ ≥4；
(1) ＋ ≥2；
证明： 因为 a，b 为正数，所以 ， 也为正数.
由基本不等式，得
＋ ≥2 ＝2，
当且仅当 ＝ ，即 a＝b 时，取得等号.
所以原不等式成立.
证明： 因为 a，b 为正数，所以 ， 也为正数.
由基本不等式，得
a＋≥2 ＝2，
b＋≥2 ＝2
(2) a＋b＋＋ ≥4；
所以 a＋b＋＋ ≥4，
当且仅当 a＝，b＝ 时，即a＝b＝1时，取得等号.
因此，原不等式成立.
例 2
设 y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值.
解：因为 x＞－2，所以 x＋2＞0.
由基本不等式，得 x＋ ＝ (x＋2)＋－2
≥2＝6，
当且仅当 x＋2＝ ，即 x＝2时，等号成立.
因此，当 x＝2 时，y的最小值为6.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立. (　　)

任意 a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当 a，b 都为正数时，不等式 a＋b≥2 成立.
(2) 若 a≠0，则 a＋ ≥ 2 ＝4. (　　)
(3) 若a＞0，b＞0，则 ab≤()2. (　　)

只有当a＞0时，根据基本不等式，才有不等式a＋ ≥ 2 ＝4 成立.

2. 不等式 (x－2y)＋≥2 成立的前提条件为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x≥2y B. x＞2y C. x≤2y D. x＜2y
B
解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，
所以 x－2y＞0，即 x＞2y .
解析
3. 设 x，y 满足 x＋y＝40，且 x，y 都是正数，则
xy 的最大值为_________.
400
解析：因为 x，y 都是正数，且 x＋y＝40，
所以 xy ≤()2＝400，
当且仅当 x＝y＝20 时取等号.
解析
【跟踪训练】
1. 已知 ab＝4，a＞0，b＞0，则 a＋b 的最小值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.4 D.8
C
解析：因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b≥2＝4，
当且仅当 a＝b＝2时取等号，
故 a＋b的最小值为4.
解析
2. 若 x2＋y2＝2，则 xy 的最大值是 (　　)
A. B.1 C.2 D.4
B
解析：xy≤＝ 1，当且仅当 x＝y 时取“＝”.
解析
3. 设 a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是 (　　)
A. a－b＜0 B. 0＜＜1
C. ＜ D. ab＞a＋b
C
解析：因为a＞b＞0，
由基本不等式知＜ 一定成立.
解析
4. 若 0＜x＜1，则 的取值范围是
________________________.
0＜≤
解析：由0＜x＜1知 3－2x＞0，
故＝·≤·＝，
当且仅当x＝时，上式等号成立.
所以 0＜≤.
解析
5. 已知 a，b 是不相等的正数，x＝ ，y＝，
则 x，y 的大小关系为________.
x＜y
解析：因为 a，b 是不相等的正数，
所以 x2＝ ＜＝a＋b＝y2，
又x＞0，y＞0，所以 x＜y.
解析
练 习
1. 计算下列两个数的算术平均数与几何平均数
(其中p＞0)：
(1) 2，8； (2) 3，12； (3) p，9p； (4) 2，2p2.
解：(1) 2，8 的算术平均数为5，几何平均数为4；
(2) 3，12 的算术平均数为，几何平均数为6；
(3) p，9p； (4) 2，2p2.
解：(3) p，9p的算术平均数为5p，几何平均数为3p；
(4) 2，2p2的算术平均数为1＋p2，
几何平均数为2p；
2. 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角
形围成的. 设直角三角形的直角边长为 a，b，根据图
示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和
存在不等关系，用 a，b 表示这种关系.
解：由题意，直角三角形的斜边长为，则大正方形面积 S1＝a2＋b2
四个直角三角形的面积为 S2 ＝ 4×ab ＝2ab，
则 a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
3. 证明：
(1) a＋ ≥3(a＞1)；
证明：∵a＞1，
∴a＋＝a－1＋ ＋1
≥2 ＋1 ＝3，
当且仅当a－1＝，
即a＝2 (a＞1)时等号成立；
(2) x＋ ≤－2 (x＜0).
证明：∵ x＜0，
∴ x＋＝－(－x＋)
≤－2 ＝－2，
当且仅当－x＝，
即x＝－1 (x＜1)时等号成立；
4. 求 4x2＋ 的最小值.
解：由4x2， 均大于0，
∴ 4x2＋ ≥2 ＝2 ＝12，
当且仅当 4x2＝ 时取得最小值，故x＝，
即 4x2＋ 是的最小值为12，此时x为.
5. 设 0° ＜ α ＜ 90°利用直角三角形三边关系，证明
1 ＜ sinα ＋ cosα ≤ .
证明：∵ 0°＜α＜90°，
∴ 0°＜2α＜180°，
∴ sin2α∈(0，1]，
∴ 1＋sin2α∈ (1，2]，
∴ (sinα＋cosα)2∈ (1，2]，
∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，
∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，得证.
3 . 2 . 2
基本不等式的应用
基本不等式 ≤ (a，b＞0) 常用于证明一些不等式以及求某些函数的最大值或最小值.
例 3
用长为 4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大
解： 设矩形长为 x (0＜x＜ 2a)，则宽为 2a－x，矩形面积为 S＝x(2a－x)，
且 x＞0，2a－x＞0.
由基本不等式，得 ≤＝a.
上式当且仅当 x＝2a－x，即 x＝a 时，等号成立.
由此可知，当x＝a时，S＝(2a－x)取得最大值 a2.
答 将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为 a2.
例 4
某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m，深度为 3m. 如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价为多少元
解 设总造价为 y 元 (y＞0，池底的一边长为 x m (a＞0)，
则另一边长为m，即 m.
由题中条件可得 y ＝150×＋2×120×3×(x＋)
＝ 150×1600＋720 (x＋)
由题意知 x＞0，及x＋≥2＝80 (当且仅当 x ＝40时，等号成立)， 所以 y≥150×1600＋720×80＝ 297 600，且x＝40时，取得等号.
答 当水池设计成底面边长为 40 m 的正方形时，总造价最低为297 600 元.
(1) 和 a＋b 为定值时，积 ab 有最大值 (如例 3)；
ab 为定值时和 a＋b有最小值 (如例 4).
(2) 取等号的条件 (当且仅当 a＝b时， ＝).
对于正数 a，b，在运用基本不等式时，应注意：
例 5
如图3-2-2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝b，BC＝a，且＋＝1. 当△ABC 的面积最小时，求 a，b 的值.
解 由题意知 a＞0，b＞0，由基本不等式，得
＋ ≥2.
因为＋＝1，所以1≥2，故 ab＞8.
于是，S△ABC＝ ab ≥ 4，
当且仅当，
即 a＝2，b＝4时，等号成立.
因此，当△ABC的面积最小时，a＝2， b＝4.
例 6
如图 3-2-3，一份印刷品的排版面积(矩形)为 A，它的两边都留有宽为 a 的空白，顶部和底部都留有宽为的空白如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少
解 设纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别是 x，y (x＞0，y＞0)，则 xy＝A.
S＝ (x＋2a)(y＋2b)
＝ xy＋2bx ＋2ay＋4ab
≥ xy＋2＋4ab
＝ A＋4＋4ab
＝(＋2)2.
当且仅当 2bx＝2ay，即 x＝，y＝时，S 有最小值(＋2)2，
此时纸张的长和宽分别为 ＋2a 和 ＋2b.
答 当纸张的长和宽分别为 ＋2a 和 ＋2b时，纸张的用量最少.
【跟踪训练】
1. 若 a＞0，b＞0，且 a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. ＋≤1 C. ≥2 D. a2＋b2≥8
D
解析：4＝a＋b≥2 (当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4， ≥ ，A，C不成立； ＋ ＝ ＝ ≥1，B不成立；a2＋b2＝ (a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8.
解析
2. 若 x＞0，y＞0，且 ＋ ＝ 1，则 xy 有 (　　)
A.最大值64 B.最小值
C.最小值 D.最小值64
D
解析：由题意，得 xy＝(＋)xy＝2y＋8x≥2＝8 ，所以≥8，即 xy 有最小值64，
等号成立的条件是 x＝4，y＝16.
解析
3.设 0＜x＜2，则函数 y＝的最大值为_____.
4
解析：因为0＜x＜2，
所以0＜3x＜6，8－3x＞2＞0，
所以 y＝ ≤ ＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即 x＝时，取等号.
所以当 x＝时，y＝有最大值4.
解析
4. 某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元,其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元. 若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱
解：设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40.
所以 y＝240x＋×40 (0＜x≤48，x∈Z).
所以 y＝240 (x＋)≥240×2＝ 3 840，
当且仅当x＝，即 x＝8时取等号.
故每人最少应交 ＝80(元).
练 习
1. 若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是( ).
A. 4 B. 4
C. 9 D. 18
D
2. 若直角三角形的面积为 50，则两条直角边的和的最
小值是( ).
A. 5 B.10
C. 10 D.20
D
3. 设 x＞0，y＞0，且 2x＋5y＝20，求xy的最大值.
解：∵ x＞0，y＞0，且 2x＋5y＝20.
∴ 20≥2，化为：xy≤10，
当且仅当2x＝5y＝10时取等号.
∴ xy 的最大值为10.
4. 将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能
使横截面的面积最大
解：如图所示，矩形ABCD为横截面设圆木的半径为r，∠CAB＝α ，(0＜α＜)，
故 AB＝2rcosα，BC＝2rsinα，
故 S＝4r2sinαcosα＝2r2sin2α≤2r2，
故当α＝45°时，sin2α 取得最大值1，
此时面积 S 取得最大值 S＝2r2.
5. 如图，质量是 W 的重物挂在杆上距支点 a 处. 质量均
的杆子每单位长度的质量为 m. 杠杆应当多长，才能
使得加在另一端用来平衡重物的力 F最小
解：设杠杆长为x米时，在另一端用来平衡重物的力F最小，杆子质量均匀且每单位长度的质量为m，故杆的质量为 x×m.
则 W×a＋x×mg× ＝F·x，
∴ F＝＋＝( －)2 ＋.
当且仅当 ＝ 时，即
x＝ 时，力 F有最小值；
所以杠杆应当为 时，才能使得加在另一端用来平衡重物的力F最小。
习题 3.2
感受·理解
1. 证明下列不等式：
(1) a2＋b2≥2a＋2b－2；
证明：∵a2＋1＞2a，b2＋1＞2b，
∴ a2＋b2＋2≥2a＋2b，
即 a2＋b2≥2a＋2b－2.
(2) ()2 ≤ ；
证明：∵ 2ab≤a2＋b2，
∴ ()2＝a2＋2ab＋b2≤＝，
即 ()2 ≤ .
(3) 若 a，b ∈(0，＋∞)，则 ≤ .
证明：∵ a，b∈(0，＋∞)，
∴ 2≤a＋b，
从而 ≤1，故 ＝≤.
2. 设 x＞0，y＞0，且 xy＝4，求的最小值.
解：∵ x＞0，y＞0，xy＝4，
∴ y＝，∴ ＋＝ ＋ ≥2 ＝1，
当且仅当 ＝ ， xy＝4，x＞0，y＞0.
即x＝y＝2 时取等号.
∴ ＋ 的最小值是1.
3. 证明：
(1) x2＋ ≥1；
证明：∵ x2＋1＞0，
∴ x2＋＝(x2＋1)＋－1
≥2－1＝1，
即 x2＋ ≥1. 当且仅当 x2＋1＝ ，
即 x＝0 时，取得等号.
(2) ＞2；
证明：∵＝＝＋
≥2 ＝ 2，
当且仅当 ＝ 时，等号成立.
∵ 对任意的实数x， ≠，∴ ＞2.
4. 求 1＋2x2＋ 的最小值.
解：1＋2x2＋ ≥1＋2 ＝9
当且仅当 2x2＝ 即 x＝±时等号成立.
∴ 1＋2x2＋ 的最小值为9.
5. 设 a，b 是正实数，求证：(a＋)(b＋)≥4.
解：∵ a＞0，b＞0，
∴ a＋ ≥2 ＝2，
当且仅当 a＝，即 a＝1 时取等号.
∴ b＋ ≥2 ＝2，
当且仅当 b ＝，即 b＝1 时取等号.
∴ (a＋)(b＋) ≥2×2 ＝4，
当且仅当 a＝b＝1时取等号.
综上， (a＋)(b＋)≥4.
6. 如图，墙角线互相垂直，长为 a m 的木棒AB的两个端
点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区
域的面积最大
解：如图，设 AO＝a m，BO＝y m.
∵OA⊥OB
∴ OA2＋OB2＝AB2
∴ x2＋y2＝a2
∵(x－y)2≥0
∴ x2－2xy＋y2≥0
∴ x2＋y2≥2xy
∴ xy≤ (x2＋y2)， 即xy的最大值为 (x2＋y2)，
∵当 x＝y 时， (x－y)2＝0，
∴当 x＝y 时， xy＝ (x2＋y2)，
即当 x＝y 时，xy 的值最大，
∵ S△AOB＝xy.
∴当 x＝y 时，S△AOB面积最大，
由 x2＋x2＝a2 得 x＝a
∴ 当OB＝OA＝a m 时，
木棒围成区域的面积最大.
7. 已知 a，b，c，d 都是正数，且 a＜b，c＜d，求证：
＜ .
证明：设点A(b，a)，B(－c,－c)，C(－d，－d)，
∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，
∴点A在第一象限，点B在第三象限，
点C第三象限，
且点B、点C都在直线 y＝x上，
∵c＜d，∴点B在点C的右上方，
∵a＜b，∴点A在直线y＝x (第一象限内)的下方，
在直角坐标系中表示出点A、点B、点C，
的几何意义是点A与点B连线的斜率，
的几何意义是点A与点C连线的斜率，
由图象可以看出直线AC的斜率更大，则 ＜ .
思考·运用
8. 当 x≠0时，求 x＋ 的取值范围.
解：当x＞0时，x＋ ≥2 ＝4，
∴当且仅当 x＝ 即 x＝2 时等号成立；
当 x＜0时， －x＞0
∴ －x－ ≥2 ＝4
∴ x＋ ≤－4
∴当且仅当－x＝－ 即 x＝－2 时等号成立，
∴ 综上所述， x＋ 的取值范围为：
(－∞，－4)∪(4，＋∞)
9. 如图，电路中电源的电动势为E，内阻为 r，R1为固定
电阻，R2是一个滑动变阻器. 已知 R2消耗的电功率为
P＝()2R2. 当R2调至何值时， ()2R2
最大 最大值是多少
解：∵P＝()2R2 ＝
＝，
且 ≥2 ＝2；
∴P≤，当且仅当，
即 r＋R1＝ R2时取等号，
∴当 r＋R1＝ R2， P取得最大值，最大值是.
10. 某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根
据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，
现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价 p%，第二次提价 q%；
方案乙：第一次提价 q%，第二次提价 p%；
方案丙：第一次提价 %，第二次提价%.
其中p＞q＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少
哪一种提价多
解：设提价前的价格为1，那么两次提价后的价格为，
方案甲：(1＋p %)(1＋q%)
＝1＋p%＋q%＋0.01pq%；
方案乙：(1＋q%)(1＋p%)
＝ 1＋p%＋q% ＋0.01pq%；
方案丙：(1＋%) (1＋%)
＝1＋p% ＋q% ＋(%)
＝1＋ p%＋q% ＋0.01 ×()2%；
∵ ()2 ≥pq，且 p＞q＞0，
∴ 上式“＝”不成立；
∴ 方案乙提价少，方案丙提价多.
探究·拓展
11. (阅读题)甲乙两同学分别解“设 x∈[0，＋∞)，求函
数 y＝2x2＋1的最小值”的过程如下：
甲：y＝2x2＋1≥2＝2x，又x≥1，
所以2x＞2 .
乙：因为y＝2x2－1在区间[1，＋∞)上的图象随着x增
大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最
小值是 2×12＋1＝3.
试判断谁错，错在何处
解：甲的解法错误，乙的解法正确.
甲同学的解法：利用基本不等式法求最小值，
∵ 2x2＋1 ≥ 2 ＝ 2，但由于2x，不是定值，
且未考虑取等的问题，所以解法错误.
乙同学的解法：
∵ y＝2x2＋1在[1，＋∞) 上单调递增，
∴ y＝2x2＋1的最小值是 2×12＋1＝3，解法正确.
综上所述：甲同学的解析错误，基本不等式应用错误.
本课结束
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