2.3 全称量词命题与存在量词命题 课件（共93张PPT）

(共93张PPT)
第2章
常用逻辑用语
2 . 3
全称量词命题与存在量词命题
在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句：
(1) 对任意实数x，都有x2≥0；
(2) 存在有理数x，使 x2－2＝0；
(3) 有的矩形是萎形；
(4) 所有的质数都是奇数；
(5) 有一个素数是偶数.
● 这些语句中用到了“任意”“存在”“有的”等词，它们表示什么含义
2.3.1
全称量词命题与存在量词命题
一、全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 “所有”“________” “每一个”等表示________的词 “存在”“_______” “有一个”等表示_______或_______的词
符号 用“_______”表示“对任意 x” 用“_______”表示“存在 x”
任意
全体
有的
部分
个体
x
x
【思考】
常见的全称量词、存在量词还有哪些
提示：
常见的全称量词还有“一切”“任给”“凡是”等.
常见的存在量词还有“有些”“对某些”“有的”等.
二、全称量词命题与存在量词命题
(1) 定义和表示方法：
全称量词命题 存在量词命题
定义 含有_________的命题称为全称量词命题 含有_________的命题称为存在量词命题
表示 一般形式可表示为：____________ 一般形式可表示为：____________
全称量词
存在量词
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
(2) 本质：
全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.
(3) 应用:
全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语，数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题.
【思考】
全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么
提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围，p(x)表示集合M的所有元素满足的性质，也可以用q(x)，r(x)等符号表示.
例 1
判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2＞x；
(2) x∈R，x2＞x；
(3) x∈Q，x2－8＝0；
(4) x∈R，x2＋2＞0；
(1) x∈R，x2＞x；
(2) x∈R，x2＞x；
解：因为当x＝2时，x2＞x成立，
所以，“x∈R， x2＞x”是真命题.
解：因为当x＝0时，x2＞x不成立，
所以，“x∈R，x2＞x”是假命题.
(4) x∈R，x2＋2＞0；
解：因为使 x2－8＝0 成立的x的值只有x ＝2 与
x＝－2 ，但它们都不是有理数，
所以， “ x∈Q，x2－8＝0”是假命题.
(4) x∈R，x2＋2＞0；
解：因为对任意实数x，都有 x2≥0 ，
所以对任意实数x，都有 x2＋2≥2＞0，
即对任意实数x，都有 x2＋2＞0 成立，
因此，“ x∈R，x2＋2＞0”是真命题.
由例1我们发现：
要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真即可；否则命题为假.
要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假.
思 考
给定的集合对存在量词命题、全称量词命题的真假有没有影响 试举例说明.
有影响.
如x∈N*，x2＞0为真命题，x∈Z，x2＞0，则为假命题，x∈Z，使x2＋2x＝0有解是真命题， x∈N*，使x2 ＋ 2x＝0有解是假命题.
练 习
1. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
(1) 任何实数的平方都是非负数；
(2) 任何数与0相乘，都等于0；
任何实数指都是，故是全称命题；
任何实数指都是，故是全称命题；
(3) 任何一个实数都有相反数；
(4) 有些三角形的三个内角都是锐角.
任何实数指都是，故是全称命题；
有些是指存在的，故是存在性命题.
2. 判断下列命题的真假：
(1) 任意一个平行四边形对边都相等；
(2) 有的四边形既是矩形又是菱形；
因为平行四边形的对边相等，所以任意一个平行四边形对边都相等是正确的，所以是真命题.
正方形既是矩形又是菱形，所以是真命题.
(3) 实系数方程都有实数解；
(4) 有的正数比它的倒数小.
实系数方程 x2＋1＝0没有实数解，所以是假命题；
因为的倒数是2，且 ＜2，所以是真命题.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题. (　　)
(2) 存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. (　　)


(3) 全称量词命题一定含有全称量词.(　 　)

解析：有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”即“所有正数都大于0”，故(3)说法是错误的.
解析
2. 给出下列命题：
(1) 所有一次函数的图象都是直线；
(2) 对顶角相等；
(3) x∈R，x2－4x＋4≤0；
(4) 对任意的整数 x，5x－1是整数.
其中全称量词命题是______________，存在量词命题是________.(填序号)
(1)(2)(4)
(3)
解析
解析：(1) 含有全称量词“所有”，是全称量词命题；
(2) 省略了全称量词“所有”，是全称量词命题；
(3) 含有存在量词符号“ ”，是存在量词命题；
(4) 含有全称量词“任意”，是全称量词命题.
3. 判断下列全称量词命题或存在量词命题的真假：
(1) x∈Q，方程 x－2＝0有解.
解：方程x－2＝0 的解为 x＝ Q，
所以此命题是假命题.
(2) 至少有一个x∈R，使x能被5和8整除.
(3) 对于任意一个x∈Z，2x都是偶数.
解：因为40能被5和8整除，
所以此命题是真命题.
解：对于任意一个 x∈Z，2x一定能被2整除，
一定是偶数，
所以此命题是真命题.
【跟踪训练】
1.下列命题不是“ x∈R，x2＞3”的表述方法的是 (　　)
A.有一个x∈R，使得x2＞3成立
B.对有些x∈R，使得x2＞3成立
C.任选一个x∈R，使得x2＞3成立
D.至少有一个x∈R，使得x2＞3成立
C
解析：原命题是存在量词命题，而选项C中的命题是全称量词命题.
解析
2.下列命题中全称量词命题的个数是 (　　)
① x∈R，x2＞0；
② x∈R，x2≤0；
③ 平行四边形的对边平行；
④ 矩形的任一组对边相等.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析
解析：① 含有全称量词符号“ ”，为全称量词命题，
② 含有存在量词符号“ ”，为存在量词命题，
③ 隐含着全称量词“所有”，为全称量词命题，
④ 隐含着全称量词“所有”，为全称量词命题.
3. 下列存在量词命题中，是假命题的是 (　　)
A. x∈Z，x2－2x－3＝0
B. 至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. 有的三角形没有外接圆
D. x∈R，＝x
C
解析：A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题. D中，当x＝0 或1时，＝x，是真命题.
解析
4. 命题“自然数的平方大于零”是_________量词命题
(填“全称”或“存在”)，其省略的量词是_______.
全称　
所有
解析：自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题是全称量词命题，其省略的量词是“所有”.
解析
5. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
(1)对某些实数x，有2x＋1＞0.
解：命题中含有存在量词“某些”，
因此是存在量词命题，是真命题.
(2) x∈{3，5，7}，3x＋1是偶数.
解：命题中含有全称量词的符号“ ”，
因此是全称量词命题.
把 3，5，7 分别代入 3x＋1，得10，16，22，都是偶数，
因此，该命题是真命题.
(3)存在实数 x，＝－x.
解：存在量词命题.
当 x＜0 时，＝－x，
所以该命题为真命题.
2.3.2
全称量词命题与存在量词命题的否定
给出下列命题：
(1) 所有的正方形都是矩形；
(2) 存在有理数x，使 x－2 ＝ 0；
(3) 对任意的实数a，都有 a＞0；
(4) 有的矩形是菱形.
(1) 所有的正方形都是矩形；
命题(1)的否定是“不是所有的正方形都是矩形”，换言之，“有的正方形不是矩形”命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”.
(2) 存在有理数x，使 x－2 ＝ 0；
命题(2)的否定是“不存在有理数x，使x2－2＝0”，换言之，“对所有的有理数 x，x2－2≠0”.命题否定后存在量词变为全称量词“肯定”成“否定”.
(3) 对任意的实数a，都有 a＞0；
命题(3)的否定是“不是对任意的实数 a，都有∣a∣≥ 0”，换言之“存在实数a，使∣a∣＜0”命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”.
(4) 有的矩形是菱形.
命题(4)的否定是“不是有的矩形是菱形”，换言之，“所有的矩形都不是菱形”命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变成“否定”.
一、全称量词命题与存在量词命题的否定
原命题 否定
x∈M，p(x) ___________________
x∈M，p(x) ___________________
注：“﹁p(x)”是对语句“p(x)”的否定
x∈M，﹁p(x)
x∈M，﹁p(x)
【思考】
对省略量词的全称量词命题或存在量词命题怎样否定
提示：对于省略了量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定时，可先根据题意补上适当的量词，再对命题进行否定.
二、命题与其否定的真假关系
对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.
例 2
写出下列命题的否定：
(1) 所有的无理数都是实数；
(2) x∈R，x2＋x＋1＞0；
(3) 菱形不是矩形；
(4) x∈R，x2－x＋1＝0.
(1) 所有的无理数都是实数；
(2) x∈R，x2＋x＋1＞0；
解： “所有的无理数都是实数”的否定是
“有的无理数不是实数”.
解： “x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是
“x∈R，x2＋x＋1≤0”.
注意它与“x∈R，x2＋x＋1≤0”的区别.
(3) 菱形不是矩形；
(4) x∈R，x2－x＋1＝0.
解：“菱形不是矩形”是指“任意一个菱形都不是矩形”，它的否定是“存在一个菱形，它是矩形”，或 “存在是矩形的菱形”.
解：“ x∈R，x2－x＋1＝0”的否定是
“x∈R，x2－x＋1≠0”
一般地，对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；
对存在量词命题的否定，主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”.
练 习
1. 写出下列命题的否定：
(1) 所有的矩形都是平行四边形；
(2) 有的梯形是平行四边形；
存在一个矩形不是平行四边形；
所有的梯形都不是平行四边形；
(3) 锐角都相等；
(4) 有的梯形是等腰梯形
有些锐角不相等；
所有的梯形都不是等腰梯形.
2. 写出下列命题的否定：
(1) 三角形的内角和是 180°；
(2) 所有的正三角形都相似；
有的三角形的内角和不是180°；
存在一些正三角形不相似；
(3) 二次函数有最小值；
(4) 有的实系数一元二次方程无实数解.
存在二次函数的值域不是R；
实系数一元二次函数都有实数解.
3. 命题“x∈R，x2≥0”的否定为( ).
A. x∈R，x2 ＜ 0
B. 不存在 x∈R，x2＜0
C. x∈R，x02≥0
D. x0∈R，x02＜0
D
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的. (　　)

提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
(2) x∈M，p(x)与 x∈M，﹁p(x)的真假性相反. (　　)
(3) 对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，量词不需要变，只否定结论即可. (　　)


提示：对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，先对量词进行变化，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论.
2. 命题“ x∈N，x2＞1”的否定为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x∈N，x2≤1 B. x∈N，x2≤1
C. x∈N，x2＜1 D. x∈N，x2＜1
B
解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题“ x∈N，x2 ＞ 1”的否定为“ x∈N，x2≤1”.
解析
3. 命题“ x∈R，x2＋2x＋3＝0”的否定是
________________________.
x∈R，x2＋2x＋3≠0
解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“ x∈R，x2＋2x＋3＝0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋3≠0”.
解析
【跟踪训练】
1.命题“对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0”的否定
(　　)
A. 不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0
B. 存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0
C. 对任意的x∈R，都有x3－x2＋1 ≥ 0
D. 存在x∈R，使得x3－x2＋1 ≥ 0
D
2. m，n∈Z，使得 m2＝n2＋2 020 的否定是 (　　)
A. m，n∈Z，使得 m2＝n2＋2 020
B. m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020
C. m，n∈Z，都有m2≠n2＋2 020
D. 以上都不对
解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是： m，n∈Z，都有m2≠n2＋2 020.
解析
C
3. 命题“ x∈R，∣x－2∣＋∣x－4∣＞3”的否定是
____________________________________.
x∈R，使得∣x－2∣＋∣x－4∣≤3
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，全称量词“任意”改为存在量词“存在”，并把结论否定.
解析
4. 命题“ x∈Q，x2＝5”的否定是_______________，
该命题的否定是________命题. (填“真”或“假”)
x∈Q，x2 ≠ 5　
真
解析：“ x∈Q，x2＝5”的否定是“ x∈Q，x2≠5”.
因为由x2＝5解得 x＝± Q，所以该命题的否定是真命题.
解析
5. 设集合A ＝{1，2，4，6，8，10，12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1) p： n∈A，n ＜ 12.
解：p： n∈A，n≥12.
因为当n＝12时，p成立，
所以p是真命题.
(2) q： x∈{x∣x是奇数}，x∈A.
解：q： x∈{x∣x是奇数}，x A.
q是假命题.
习题 2.3
感受·理解
1. 指出下列语句中的全称量词或存在量词：
(1) 任一个质数都是奇数；
(2) 所有实数的绝对值都是正数；
(3) 有些相似三角形全等；
(4) 有的四边形有外接圆；
(5) 任意一个矩形都是轴对称图形；
(6) 有一个数不能做除数
2. 试判断下列命题的真假：
(1) x∈R，2x2－3x＋4＞0；
(2) x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0；
(3) x∈N，1＋x2≤x；
(4) x∈N*，使 x 为5的约数.
真命题
假命题
假命题
真命题
思考·运用
3. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并
判断它们的真假：
(1) 有的偶数是 3 的倍数；
存在量词命题，真命题
(2) 矩形的对角线相等；
(3) 有的平行四边形的四个角都相等；
全称量词命题，真命题
存在量词命题，真命题
(4) 平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的
切线.
全称量词命题，真命题
4. 写出下列命题的否定：
(1) 菱形的对角线互相垂直平分；
(2) 有的三角形一条边上的高与中线相等；
有些菱形的对角线不互相垂直平分.
所有的三角形一条边上的高与中线都不相等.
(3) 每一个正整数都比它的倒数大；
(4) 有的二次函数的图象关于坐标原点中心对称.
有的正整数不比它的倒数大.
所有二次函数的图象都不关于坐标原点中心对称.
5. 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)大于3的自然数是不等式 x2＞10 的解；
该命题的否定为：
存在大于3的自然数不是不等式 x2＞10 的解.
因为大于3的自然数有4，5，6，···， 它们的平方一定大于10，即大于3的自然数都是不等式 x2＞10 的解，故该否定为假命题；
(2) 存在有序整数组 (x，y) 满足 xy ＝x＋y；
该命题的否定为：
所有有序整数组 (x，y) 不满足 xy＝ x＋y.
取整数组(0，0)，满足 xy ＝ x＋y，故该命题的否定为假命题；
(3) 任何一个四边形的四个顶点都共圆；
该命题的否定为：
存在一个四边形的四个顶点不共圆.
由于对角不互补的四边形不内接于圆，故该命题的否定为真命题.
(4) 有的反比例函数的图象与 轴有公共点.
该命题的否定为：
所有反比例函数的图象与x轴没有公共点.
由反比例函数的性质知该命题的否定为真命题.
探究·拓展
6. (阅读题) 假设我们要否定命题“所有水生动物都用鳃呼吸”，可以这样做：
画出表示用鳃呼吸的动物的集合，
并包含表示所有水生动物的集合，如
图(1)所示，那么此图就表示“所有水
生动物都用鳃呼吸”.
再将图(1)中水生动物的集合部分地移出用鳃呼吸的动物的集合，如图(2)，那么此图就表示“并非所有水生动物用鳃呼吸”，即“一些水生动物不用鳃呼吸”. 这就得到了原命题的否定.
可以看出，当我们否定一个含有全称量词的命题时，就会得到一个含有存在量词的命题.
试举社会生活或其他学科中命题的例子，并图示命题及该命题的否定.
命题“所有动物都是哺乳动物”为全称量词命题，该命题可以用下图表示：
该命题的否定可以用下图表示：
问题与探究
“DY三角形”
有一类三角形，我们暂且称为“DY三角形”.下面围绕“DY 三角形”提出许多陈述，不妨暂且称为“命题”.
第一组：
① DY三角形有两条边相等；
② DY三角形有两个内角相等；
③ DY三角形有一边上的高、中线及所对角的平分线重合；
④ DY三角形有两条边上的中线相等；
⑤ DY三角形有两条边上的高相等；
⑥ DY三角形的三个内角的和为 180°；
......
第二组：
①有两条边相等的三角形是 DY 三角形；
②有两个内角相等的三角形是 DY三角形；
③有一边上的高、中线及所对角的平分线重合的三角形是 DY三角形；
④有两条边上的中线相等的三角形是 DY三角形；
⑤有两条边上的高相等的三角形是 DY三角形；
⑥三个内角的和为180°的三角形是 DY三角形；
......
由于没有给出“DY三角形”的定义，所以上述两组“命题”无法判断真假.
如果给出了“DY三角形”的定义，那么这些“命题”有的是真命题，有的是假命题. 在真命题中，有的可以作为“DY 三角形”的性质定理，有的可以作为“DY三角形”的判定定理，有的可以作为“DY 三角形”的定义.
如果把“有两条边相等的三角形是 DY三角形”作为“DY三角形”的定义. 试判断上述命题的真假(可以自己尝试证明，或者香阅资料). 并指出哪些命题是“DY 三角形”的性质定理，哪些命题是“DY三角形”的判定定理.
“DY三角形”的定义、性质定理、判定定理构成了一个关于“DY三角形”的知识体系.在分析的基础上.试再给出两个关于“DY 三角形”的“定义、性质定理、判定定理”的知识体系.
阅 读
有趣的悖论
悖论是指逻辑上可以推导出互相矛盾，但表面上又能自圆其说的命题或结论. 悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解和认识不够深刻所致. 有些悖论是很有趣的，对推动数学发展有一定的促进作用.
1. 芝诺悖论
阿基里斯追一只海龟，若海龟在阿基里斯的前面，尽管阿基里斯奔跑的速度比海龟爬行的速度快，但阿基里斯还是永远追不上海龟.
这是因为阿基里斯必须跑到海龟的出发点 A；而当他到达点 A时，海龟又向前爬了一段，到达了点 B；当阿基里斯到达点 B 时，海龟又向前爬了一段，到达了点 C······如此一直追下去，尽管阿基里斯和海龟的距离在无限地缩小，但永远追不上海龟.
2 . 理发师悖论
理发师悖论是数学家罗素给出的.
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌“我只给村里所有那些不给自已理发的人理发”有人问他“你给不给自己理发 ”理发师无言以对.
如果他不给自己理发，他就属于“不给自己理发的人”，他就要给自己理发：如果他给自己理发，那么他就成了“给自己理发的人”，他就不该给自己理发.
悖论有三种主要形式：
(1)一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的(佯谬).
(2)一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了(似是而非的理论).
(3) 一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾.
悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论似乎都能自圆其说. 悖论的抽象公式是： 若事件 A 发生，则推导出 A 不发生；若事件 A 不发生，则推导出 A发生.
悖论促进了数学、逻辑学、语义学等学科的发展.
本课结束
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