2.2 充分条件、必要条件、充要条件 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
第2章
常用逻辑用语
2 . 2
充分条件、必要条件、充要条件
一、命题真假与推出关系
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立
符号表示 _____ ______
读法 p推出q p不能推出q
传递性 如果 p q，q s，那么 _______
p q
p q
p s
例如：
(1) x＝y x2＝y2，但 x2＝y2 x＝y；
(2) x＞1 x2＞1，但 x2＞1 x＞1；
这里，“x＞1”表示“x是大于1的实数”；“S△ABC”表示“△ABC的面积”.
(3) △ABC ≌ △A′B′C′ S△ABC＝ S△A′B′C′，
但 S△ABC ＝ S△A′B′C′ △ABC ≌ △A′B′C′.
● 如果“p＝q”，那么 p，q 之间有怎样的关系
分析(1)(2)(3)，可以发现，“p q”的含义是：一旦 p 成立，q 一定也成立. 即 p 对 q 的成立是充分的.
也可以这样说：如果 q 不成立，那么力一定不成立.即g 对的成立是必要的.
二、充分条件、必要条件
推出关系 p q
条件关系 p是q的__________条件，
q是p的__________条件.
充分
必要
例 1
下列所给的各组 p，q中，p 是 q 的充分条件的有哪些
解：因为p q，所以 p 是 q 的充分条件.
(1) p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2) p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形.
解：因为p q，所以 p 不是 q 的充分条件.
(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4) p：四边形是平行四边形，
q：四边形的对角线互相平分.
解：因为p q，所以 p 是 q 的充分条件.
解：因为p q，所以 p 是 q 的充分条件.
例 2
下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的必要条件的有哪些
(1) p：∣x∣＝1，q：x＝1；
(2) p：两个直角三角形全等，
q：两个直角三角形的斜边相等；
解：因为 q p，所以 p 是 q 的必要条件.
解：因为 q p，所以 p 不是 q 的必要条件.
(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4) p：四边形是平行四边形，
q：四边形的对角线互相平分
解：因为 q p，所以 p 是 q 的必要条件.
解：因为 q p，所以 p 是 q 的必要条件.
观察例1 (3) 和 例2 (3)、例1 (4) 和 例2 (4)，可以发现，其中既有 p q，也有q p.
三、充要条件
定 义
推出关系 p q，且 q p，记作_______称为“p与q等价”或“p等价于q”.
条件关系 p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件
p q
本 质
p是q的充分必要条件，也常说成p成立当且仅当q成立.
应 用
充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容.
“ ”和“ ”都具有传递性，即
如果 p q，q s，那么 p s；
如果 p q，q s，那么 p s.
【思考】
命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类
提示：① 充分必要条件(充要条件)，即 p q且q p.
② 充分不必要条件，即p q且q p.
③ 必要不充分条件，即p q且q p.
④ 既不充分又不必要条件，即p q且q p.
例 3
指出下列命题中，p 是 q 的什么条件：
(1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等；
解：根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相等，所以 p q.
反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出两个三角形全等.
例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相等，这两个三角形就不全等. 所以 q p.
因此，p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.
(2) p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形；
解：根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角形，所以 p q.
反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等. 所以 q p.
因此，p q，即p是q的充要条件.
(3) p：a2 ＝ b2，q：a ＝ b；
解：a2－b2 a2－b2＝0 (a－b)(a＋b)＝0
a－b＝0或 a＋b＝0 a＝－b或a＝b，
所以 p q.
反过来，a＝b a－b＝0 (a－b)(a＋b)＝0
a2－b2＝0 a2＝b2，
所以 q p.
因此，q p，但 p q，即p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.
还可以通过举反例来说明，如 22＝(－ 2)2，但 2≠－2.
(4) p：x ＞ y，q：x2＞y2.
解：取 x＝1，y＝－2，此时，x＞y，但 x2＜y2，所以 p q.
反过来，取 x＝－2，y＝－1，此时，x2＞y2，但 x＜y，所以q p.
因此，p 不是q 的充分条件， q也不是p的必要条件.
四、性质定理、判定定理和数学定义
(1) 性质定理是指某类对象具有的具体特征.
性质定理具有“_____________”.
(2) 判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一
定有该对象的所有特征.
判定定理具有“_____________”.
(3) 数学定义既具有必要性也具有充分性.
必要性
充分性
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 若A B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件.(　　)
(2) 两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例. (　　)


(3) 若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件.(　　)
(4) 如果p是q的充分条件，则p是唯一的.(　　)


不唯一，如 x＞3，x＞5，x＞10 等都是 x＞0的充分条件.
2. 从符号“ ”“ ”“ ”中选择适当的一个填空：
(1) x－2＝0 ______ (x－2)(x－3) ＝0；
(2) a＋5是无理数 ______ a是无理数；
(3) x＝y ______ ＝.



3. 从“充分”“必要”中选择适当的一个填空：
(1)“x＞2”是“x＞3”的________条件；
(2)“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”
的________条件.
必要　
充分
解析：(1)因为“x＞3” “x＞2”，所以“x＞2”是“x＞3”的必要条件；
(2) 因为“四边形ABCD是正方形” “四边形ABCD是菱形”，所以“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的充分条件.
解析
【解题策略】
(1) 准确理解题意，明确证明方向
① 条件已知推出结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性.
②“p是q的充分(必要)条件”有时也写为“q的充分(必要)条件是p”.
充要条件的证明策略
(2) 关注证明的两个环节
一是充分性；
二是必要性.
证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明.
【跟踪训练】
1. 使x(y－2) ＝0成立的一个充分条件是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x2＋(y－2)2＝0 B.(x－2)2＋y2＝0
C. (x＋1)2＋y2＝0 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝0
A
解析：根据题意，原题可改写为“(　　)是x(y－2) ＝0的充分条件” .
x2＋(y－2)2＝0 x＝0且y＝2 x(y－2) ＝0，
所以 x2＋(y－2)2＝0是x(y－2) ＝0的充分条件.
解析
2. 对于任意的实数 a，b，c，在下列命题中，真命题是
(　　)
A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件
D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
B
解析：若a＝b，则 ac＝bc；若 ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件.
解析
3.“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的________条件，
“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的________条件.
(用“充分”“必要”填空)
充分　
必要
解析：由x＝－1 x2－x－2＝0，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分条件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的必要条件.
解析
4. p：1－x＜0，q：x＞a，若p是q的充分条件，则a的取
值范围为__________.
a≤1
解析：x＞1 x＞a，令A ＝{x∣x＞1}，B＝{x ∣x＞a}，则A B，所以 a≤1.
解析
5. 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有一正根和
一负根的充要条件是ac＜0.
证明：
(1) 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝ ＜0，所以ac＜0.
(2)充分性：由ac＜0可得b2－4ac＞0及x1x2＝ ＜ 0，所以方程 ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程 ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
综上可知，关于x的方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是 ac＜0.
6. 求证：关于x的方程 ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的
充要条件是 a－b＋c＝0.
证明：充分性：∵ a－b＋c＝0，
即a·(－1)2＋b·(－1) ＋c＝0，
∴－1是ax2＋bx＋c＝0 的一个根.
必要性：
∵ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，
∴ a·(－1)2＋b·(－1) ＋c＝0，即 a－b＋c＝0.
综上可得 ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
练 习
1.下列所给的各组 p，q中，p是q的充分条件的有哪些
(1) p：三角形有一个内角是 60°，
q：三角形是正三角形；
因为三角形有一个内角是60° 三角形是正三角形即 p q.
所以 p 不是 q 的充分条件.
(2) p：两个角相等，q：两个角是对顶角；
因为两个角相等，这两个角有可能是内错角或同位角，故两个角相等 两个角是对顶角，即 p q ，
所以 p 不是q 的充分条件；
(3) p：四边形是平行四边形，
q：四边形的对角线互相平分；
因为平行四边形的对角线互相平分故四边形是平行四边形 四边形的对角线互相平分，即 p q，
所以 p是q的充分条件；
(4) p：x ＞ 2，q：x ＞ 1.
因为 x＞2 x＞1，
所以 p是q的充分条件；
所以p是q的充分条件的有(3) (4)
2. 下列所给的各组 p，q中，p是q的必要条件的有哪些
(1) p：两条直线平行，q：同位角相等；
(2) p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
解：q p，p是q的必要条件；
解：q p，p是q的必要条件；
(3) p：a ＝ b，q：∣a∣＝ ∣b∣ ；
(4) p：x2 ＝ l，q：x ＝ 1.
解：q p，p不是q的必要条件；
解：q p，p是q的必要条件；
3. 从符号“ ”“ ”“ ”中选择适当的一个填空：
(1) x2＞1 _______ x＞1；
(2) a，b 都是偶数 _______ a＋b是偶数；
(3) x2＝1 ______ ∣x∣ ＝ 1；
(4) n 是偶数 _______ n 是4 的倍数.




习题 2.2
感受·理解
1. 下列所给的各组 p，q中，p是 q 的充分条件的有哪些
p是q的必要条件的有哪些 p是q的充要条件的有哪些
(1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的面积相等；
解：由p：两个三角形全等能推出 q： 两个三角形的面积相等，故p是q的充分条件；
由q：两个三角形的面积相等不能推出 p：两个三角形全等，故p不是q的必要条件.
从而p不是q的充要条件；
(2) p：三角形是直角三角形，q：三角形的两个锐角互余；
解：由 p：三角形是直角三角形能推出q：三角形的两个锐角互余，故p是q的充分条件；
由 q：三角形的两个锐角互余能推出 p：三角形是直角三角形，故p是q的必要条件.
从而p是q的充要条件；
(3) p：m≤1，q：关于的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解；
解：∵关于x的方程 x2＋2x＋m＝0 有实数解，
∴Δ＝22－4m＞0，解得：m≤1，
故由 p：m＜1能推出 q：关于的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解，故p是q的充分条件；
由q：关于x的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解能推出 p：m≤1，故p是q的必要条件.
从而p是q的充要条件；
(4) p：ab＝0，q：a＝0.
解：由 p：ab＝0 不能推出q：a＝0，故p不是q的充分条件；
由 q：a＝0能推出 p：ab＝0，故p是q的必要条件.
从而p不是q的充要条件.
综上知：p是q的充分条件的有(1)(2)(3)，p是q的必要条件的有(2)(3)(4)，p是q的充要条件有(2)(3).
2. 从符号“ ”“ ”“ ”中选择适当的一个填空：
(1) x∈A ______ x∈A∩B
(2) x A∪B _____ x∈A∩B；
(3) x∈ U(A∪B) _____ x∈( UA ) ∩ ( UB )；
(4) x∈ U(A∩B) ______ x∈( UA)∪( U B).




思考·运用
3. 下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的什么条件
(1) p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC，
q： △ABC 中，BC ＞ AC；
充要条件
(2) p：a2 ＜ 1，q：a ＜ 2；
(3) p： ＜ 1，q：b ＜ a；
充分不必要条件
既不充分也不必要条件
(4) p：m ≤ 1，
q：关于的方程 mx2＋2x＋1＝0有两个实数解.
必要不充分条件
4. 设 a，b，c ∈R，求证：关于x 的方程 ax2＋bx＋c＝0
有一个根是 1 的充要条件为 a＋b＋c＝0.
证明：
(1) 必要性，即“若 1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，则 a＋b＋c＝0”.
∵ x＝1是方程的根，将 x＝1 代入方程，得 a·12＋b·1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0.
(2) 充分性，即“若 a＋b＋c ＝ 0，则 x＝1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根”.
把 x＝1代入方程的左边，得a·12＋b.1＋c＝a＋b＋c.
∵ a＋b＋c＝0，
∴x＝1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
探究·拓展
5. 设集合A＝ {x∣x满足条件p}，B＝{x∣x满足条件q}.
(1) 如果 A B，那么p是q的什么条件
(2) 如果 B A，那么p是q的什么条件
(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么条件
试举例说明.
(1) 如果 A B，那么p是q的什么条件
解：若A B，则有 x∈A x∈B，即每个使 p 成立的元素也使q成立，即p q，
所以 p 是 q 的充分条件.
举例略.
(2) 如果 B A，那么p是q的什么条件
解：若 B A，则有 x∈B x ∈A，即每个使 q 成立的元素也使p成立，即 q p，所以 p是 q 的必要条件.
如A ＝ {x∣x ＞0}，B ＝ {x∣x ＞1}，B A，则 x＞1是x＞0的充分条件，x＞0是x＞1的必要条件.
(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么条件
解：若A＝B，则 A B 且 B A，所以p是q的充要条件.
举例略.
本课结束
This lesson is over
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