4.1 指数 课件（共66张PPT）

(共66张PPT)
第4章
指数与对数
4 . 1 指 数
某种细胞分裂时，由 1个分裂成 2个，2个分裂成4 个，4个分裂成8个······ 如果分裂一次需要 10 min，那么，1个细胞1h后分裂成多少个细胞
假设细胞分裂的次数为 x，相应的细胞个数为 y，则
y＝2x.
由题中条件可知，x＝60÷10＝6，
那么，当 x＝6 时，
y＝26＝64，
即1个细胞 1h 后分裂成 64 个细胞.
在上述例子中，x只能取正整数可以规定 2－x＝ 和 20＝1，使得 2x 对 x 取负整数和 0 也是有意义的.
那么，
● 2x中的 x 能取分数甚至无理数吗
4.1.1 根式
我们知道，如果 x2＝a，那么 x 称为 a 的平方根；
如果 x3＝a，那么 x 称为 a 的立方根.
一、n 次方根
一般地，如果 xn＝a (n＞1，n∈N*)，那么称 x为 a 的 n 次方根.
当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数.
这时，a 的 n 次方根只有一个，记为 x＝.
例如，
33＝27 3＝ ；
(－2)3＝－8 －2＝；
x3＝6 x＝.
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们为相反数.
这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－ 表示，它们可以合并写成± (a＞0)的形式.
例如，
x4 ＝ 6 x ＝ ± ；
x2＝3 x ＝ ± .
可用下表表示：
n为奇数 n为偶数
a∈R a＞0 a＝0 a＜0
x＝_______ x＝______ x＝0 不存在
±
需要注意的是，0 的 n 次方根等于 0 .
【思考】
正数 a 的 n 次方根一定有两个吗
提示：不一定.
当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数， 当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数.
二、根式
(1) 式子 叫作根式，
n叫作根指数，a 叫作被开方数.
【思考】
式子( )4与 中的 a 的范围一样吗
提示：不一样，
式子( )4中a≥0， 中a∈R.
例 1
求下列各式的值：
(1) ()2；
(2) ()3 ；
(3) ；
(4) .
＝ 5.
＝ －2.
＝ ＝2.
＝＝π－3.
观察下列各式：
＝2，＝2＝∣－2∣；
＝2，＝2＝∣－2∣；
＝2，＝2＝∣－2∣；
＝3，＝－3；
＝3，＝－3；
······
(2) 性质：当n＞1，n∈N* 时，
① ()n＝________；
a，n 为奇数
② ＝
______＝ n为偶数.
a，a ≥0，
－a，a＜0，
a
∣a∣
可以发现：
练 习
1. 计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
＝ ＝ 5
＝＝
＝ ＝ 2
＝＝
2. 求下列各式的值：
(1) ；
(2) ()3；
(3) .
＝∣－2∣＝2－
＝4
＝＝∣－1∣＝－1
3. 化简：
(1) (a＞4)；
(2) ；
＝ ∣a－4∣＝a－4
＝ 2 － a
(3) (a＞－1)；
(4) ＋ (a ＜1).
＝＝ ∣a＋1∣＝a＋1
＝ ∣a－1∣＋a ＝1－a＋a ＝1
4.1.2
指数幂的拓展
观察下面的变形：
(25)2 ＝ 210 ，
得 ＝ 25.
又由 5 ＝ ，得
＝ 2 .
类似地，可以得到 ＝ 3 ，
＝ 3 ，
······
这表明，当 m 被 n 整除时，就有
＝a ( a＞0，m，n 均为正整数 ).
一般地，我们规定
a ＝ ( a＞0，m，n 均为正整数 ).
这就是正数 a 的正分数指数幂的意义.
由此可知，2 的意义为
2 ＝ .
仿照负整数指数幂的意义，我们规定
a ＝ ( a＞0，m，n 均为正整数 ).
－
一、分数指数幂的意义 ( a＞0，m，n 均为正整数)
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
a ＝
a ＝_______＝______
－
【思考】
分数指数幂中，为什么规定底数a＞0
提示：
当a＝0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；
当a＜0时，若n为偶数，m为奇数，则 ， 无意义.
a
a
－
二、有理数指数幂的运算性质
asat ＝as＋t，
(as)t ＝ast，
(ab)t ＝atbt，
其中 s，t∈Q，a＞0，b＞0.
【思考】
同底数幂相除 at÷as，同次的指数幂相除分别等于什么
提示：(1) at÷as ＝ at－s；
(2) ＝()t.
例 2
求下列各式的值：
(1) 100 ；
(2) 8 ；
＝ (102) ＝ 10 ＝ 10.
2×
＝ (23) ＝ 2 ＝ 22＝4.
3×
(3) 9 ；
－
(4) () .
－
＝ (32) ＝ 3－3 ＝ .
－
＝ () ＝ (3－4) ＝33 ＝27.
－
－
例 3
用分数指数幂的形式表示下列各式(a＞0)：
(1) a2； (2) ；
(3) .
＝a2 ＝a2a ＝a .
＝＝a .
－
＝(a) ＝ (aa ) ＝ (a ) ＝a .
我们已将指数式 ax中的指数 从整数推广到分数 (有理数)，是否还可以将指数推广到无理数呢
例如，“2 ”有意义吗
利用计算器，可以计算出表中的数值：
x 2x 用计算器计算 2x的值
1 21 2
1.4 21.4 2.639 015 821 ···
1.41 21.41 2.657 371 628 ···
1.414 21.414 2.664 749 650 ···
1.414 2 21.414 2 2.665 119 088 ···
··· ··· ···
？ ？
随着 x 的取值越来越接近于，2x 的值也越来越接近于一个实数，我们把这个实数记为 2 .
一般地，当 a＞0 且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用.
这样，指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂.
以后可以证明，当a＞0，a≠1，N＞0时，一定有唯一的实数 x ，满足 ax＝N.
练 习
1. 用根式的形式表示下列各式 (a＞0)：
(1) a ； (2) a ；
(3) a ； (4) a ；
(5) a ； (6) a .
－
－
＝
＝
＝
＝ ＝a
＝ ＝
＝ ＝
2. 用分数指数幂表示下列各式：
(1) (a＞0)；
(2) ；
(3) ；
(4) (x＞0)；
＝ a (a＞0)
＝ x
＝ a
－
＝ x (x＞0)
(5) (y＞0)；
(6) (m＞0)；
(7) ；
(8) (m＞n).
＝ x2y (y＞0)
＝ m (m＞0)
＝ (a＋b)
＝m－n，(m＞n)
3. 求下列各式的值：
(1) 25 ；
(2) 64 ；
(3) () ；
(4) 32 ；
－
＝(52)
＝(43) ＝4
＝() ＝[()3] ＝
＝(25) ＝
－
(5) 25 ；
(6) () ；
－
(7) 27 ；
(5) 2××.
＝(52) ＝53＝125
＝[()2] ＝()－3＝
－
＝(33) ＝32＝9
＝2×3 ×() ×3 ×2 ＝2 ×3 ＝6
1－＋
＋＋
4. 化简下列各式 ( a＞0，b＞0，x＞0，y＞0)：
(1) a a ；
(2) a a ；
－
∵ a＞0，
∴ 原式＝ a ＝a
＋
∵ a＞0，
∴ 原式＝ a ＝a
－
(3) a a a ；
－
(4) (a ) ；
∵ a＞0，
∴ 原式＝ a ＝a
＋ －
∵ a＞0，
∴ 原式＝ a ＝a
×
(5) (a ) ；
－
－
(6) (x y )6；
－
∵ a＞0，
∴ 原式＝ a ＝a
(－) ×(－)
∵ x＞0，y＞0，
∴ 原式＝ x y ＝x3y－2
×6
－×6
(7) (a b ) ；
－
－
(8) (x y)2÷(xy ).
∵ a＞0，b＞0，
∴ 原式＝ a b ＝ab
－
(－) ×(－)
×(－)
∵ x＞0，y＞0，
∴ 原式＝ x3y2÷xy ＝x2y
【基础小测】

＝2


2. 下列运算中正确的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　
A. a2a3＝a6 B. (－a2)3＝ (－a3)2
C. (－1)0＝1 D. (－a2)5＝－a10
D
解析：a2a3＝a2＋3＝a5，(－a2)3＝－a2×3＝－a6，
(－a3)2＝a6，
当 a＝1时，(－1)0无意义，
(－a2)5＝－a10.
解析
3. ＝______________.
解析
解析： ＝∣x－2∣＝ x－2，x ≥2，
2－x，x＜2.
习题 4.1
感受·理解
1. 求下列各式的值：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) (x＞y)； (6) .
＝＝4
＝＝
＝ 102－100
＝ －0.1
＝∣x－y∣ ＝ x－y
＝－(2x＋y) ＝－2x－y
2. 用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)；
(1) ； (2) ；
(3) a ； (4) ()2；
(5) · ； (6) ；
(7) ·； (8) ()2 ·.
＝a
＝a
＝a
＝a
＝a
＝a
＝a
＝a b
3. 求下列各式的值：
(1) 36 ；
(2) () ；
(3) 10 000 ；
(4) () ；
(5) 4 ；
－
(6) (6) ；
＝＝6
＝
＝10
＝
＝
＝
4. 用计算器计算下列各式的值：
(1) 5 ；
(2) 321 ；
(3) 25.8 ；
(4) 723 ；
＝ ≈1.709 976
＝ ≈46.881 700
＝ ≈11.447 609
＝ ≈58 241.224 3
5. 化简下列各式(a＞0，b＞0)：
(1) a a a ；
(2) a a ÷a ；
(3) ( a a )12；
(4) ( a b )12；
－
(5) 4a b ÷ (－a b )；
－
－
－
(6) 2a ( a －2a )；
－
－
(7) (2a ＋3b )(2a －3b )；
－
－
(8) (a2－2＋a－2) ÷(a2－a－2).
6. 设a，b是正数，下列各题中的两个代数式是否恒等
为什么
(am)n与aman；
(2) a 与；
(3) a 与；
(4) (a＋b)n 与 an＋bn.
思考·运用
7. 利用分数指数幂计算：(－)(＋＋).
8. 已知 a＋a－1＝3，求下列各式的值：
(1) a －a ；
－
(2) a －a ；
－
x3－y3＝(x－y) (x2＋xy＋y2)，
x3＋y3＝ (x＋y)(x2－xy＋y2).
9. 解下列方程：
(1) x ＝；
－
(2) 2x －1 ＝15；
本课结束
This lesson is over
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