3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 课件（共133张PPT）

(共133张PPT)
第3章 不等式
3 . 3
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系. 例如，可以借助函数 y＝2x－3 的图象来求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0.
反过来，也可以通过求解 2x－3＝0，2x－3＞0，
2x－3＜0，来深人理解函数 y＝2x－3的性质，那么
●怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题
3. 3 . 1
从函数观点看一元二次方程
从函数的观点看，方程 x2－2x－3＝0的两个根 x1＝－1，x2＝3，就是二次函数 y＝x2－2x－3 当函数值取零时自变量x的值，即二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与x轴交点的横坐标.
这时，我们称－1，3 为二次函数 y＝x2－2x－3 的零点.
一、二次函数的零点
一般地，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 当函数值取零时_______________，即二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 的图象与______________________，也称为二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0)的零点.
自变量x的值
x轴交点的横坐标
【思考】
二次函数的零点就是二次函数图象与x轴的交点吗
提示：不是，二次函数的零点是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
二、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象、
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点之间的关系.
(1) 关系 (当a＞0时).
判别式 ＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程 ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根
判别式 ＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象
判别式 ＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点
当a＜0时，一元二次方程 ax2＋ba＋c＝0 的根次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点之间的关系请同学们自行完成(见练习 1).
(2) 本质：
判别式 Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.
(3)应用：①求二次函数的零点；
②证明二次函数零点的个数；
③判断二次函数零点所在的区间.
例 1
求证：二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个零点.
分析 要证明二次函数 y＝x2＋3x－7 有两个零点，只需证明元二次方程 2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可.
证明：考察一元二次方程 2x2＋3x－7＝0.
因为 ＝32－4×2×(－7) ＝65＞0，
所以方程 2x2＋3x－7＝0 有两个不相等的实数根.
因此，二次函数 y＝2x2＋3x－7有两个零点.
例 2
判断二次函数 y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点.
解：根据求根公式可得一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两个根分别为 x1＝1＋，x2＝1－.
因为 1＜ ＜2，
所以 1＜1＋＜ 3.
因此，二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上存在零点.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) a＞0时二次函数 y＝ax2＋bx＋c有两个零点.(　　)
(2) 如果二次函数 y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点，则此二次函数没有零点. (　　)

Δ＞0时二次函数 y＝ax2＋bx＋c有两个零点.

2. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)中若 b2＞4ac，则函数
零点的个数为 (　　)
A. 0　 　 B. 1　 　C. 2　 　 D. 不能确定
C
解析：因为b2＞4ac，
所以 Δ＝b2－4ac＞0，
所以 函数有2个零点.
解析
3. 函数 y＝(x＋2)(x＋1) 的零点是_____________.
－2，－1
解析：令(x＋2)(x＋1)＝0，
解得 x＝－2或 x＝－1，
所以函数的零点是－2， －1.
解析
【跟踪训练】
1. 若 b2－4ac＝0，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 零点的个数为 (　　)
A. 0个　　B.1个　　C.2个　　D.无法确定
B
解析：因为 b2－4ac＝0，
所以一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，
所以二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有一个零点.
解析
2. 二次函数 y＝ (2x＋1)(x－5)的零点为 (　　)
A. ，－5 B. － ，5
C. 2，－ D. －2，
B
解析：因为方程 (2x＋1)(x－5)＝0 的两个根为x1＝－，x2＝5，
所以二次函数 y＝(2x＋1)(x－5) 的零点为－ ，5.
解析
3. 二次函数 y＝x2－2的零点所在的区间为 (　　)
A. (1，0) B. (1，2) C.(2，3) D.(3，4)
B
解析：解方程 x2－2＝0得，x＝±，
其中1＜＜2.
解析
4. 已知二次函数的图象如图所示，则此函数的零点为
____________.
－1，1
解析：因为二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为－ 1，1，
所以此函数的零点为－1，1.
解析
5. 二次函数 y＝x2－ax 的一个零点为2，则a＝________.
解析：由题意，x＝2是方程x2－ax＝0的根，
所以 4－2a＝0，解得 a＝2.
解析
2
练 习
1. 当 a ＜ 0 时，请填下表：
判别式 ＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程 ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根
判别式 ＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象
判别式 ＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点
2. 画出二次函数 y＝x2－x－2 的图象，并指出该函数
的零点.
解：二次函数 y＝x2－x－2 图象如下：
由 x2－x－2＝0 得，
x＝－1或x＝2.
故所求零点为－1，2.
3. 求下列二次函数的零点：
(1) y＝(x＋1)(x－1)；
(2) y＝x2－4x；
解：令 y＝0，得x1＝－l，x2＝1，
所以函数的零点为－1和 1.
解：令 y＝0，即 x2－4x＝0，得x(x－4)＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
所以函数的零点为 0 和 4 .
(3) y＝－3x2－9；
(4) y＝－x2＋2x－1.
解：令 y＝－3x2－9＝0，方程无实数根，
所以函数无零点.
解：令 y＝－x2＋2x－1＝0，即x2－2x＋1＝0，
得 (x－1)2＝0，解得 x＝1.
所以函数的零点为1.
3. 3 . 2
从函数观点看一元二次不等式
我们来看下面的问题：
某杂志以每册 2 元的价格发行时，发行量为 10 万册经过调查若单册价格每提高 0.2 元，则发行量就减少 5000 册要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内
设每册杂志价格提高 x 元，则发行量减少
0.5×＝
万册，杂志社的销售收人为(2＋x)(10－)万元.
根据题意，得 (2＋x)(10－) ＞22.4，
化简，得 5x2－10x＋4.8 ＜ 0.
一、一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 2 的_______________叫作一元二次不等式.
整式不等式
【思考】
不等式 x2＋ ＞ 0是一元二次不等式吗
提示：不是，一元二次不等式一定是整式不等式.
我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.
那么，
● 一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系
二、一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系
(1) 关系：(a＞0)
判别式 ＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程 ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，x2 (x1＜x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根
判别式 ＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象
判别式 ＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
ax2＋bx＋c＞0的解集 (－∞，x1) ∪ (x2，＋∞) (－∞，－) ∪ (－，＋∞) R
ax2＋bx＋c＜0的解集 (x1＜x2)
【思考】
(1) 有人说：当 Δ＞0 时表中的 x1，x2 有三重身份，
你能说出是哪三重身份吗
提示：x1，x2 既是二次函数图象与x轴交点的横坐标 (即二次函数的零点)，又是一元二次方程的两个解，还是一元二次不等式解集的区间端点.
(2) 若一元二次不等式 ax2＋x－1＞0 (a≠0) 的解集为R，
则实数 a 应满足什么条件
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2＋x－1＞0 (a≠0)的解集为R，
则 解得 a∈ ，
所以不存在a使不等式 ax2＋x－1＞0 的解集为R.
a＞0
1＋4a＜0
(2) 本质：
方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 和不等式 ax2＋bx＋c＞0
(a＞0) 或 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0) 是函数 y＝ax2＋bx＋c
(a≠0) 的特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当 y＝0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 就转化为方程，当 y＞0 或 y＜0 时就转化为一元二次不等式.
(3) 应用：
① 解一元二次不等式，
② 已知一元二次不等式的解集求参数，
③ 一元二次不等式的应用问题.
当a＜0 时，通过不等式两边同乘以－1，可将问题转化为二次项系数为正的情形，利用表3－3－2解决.
例 1
解下列不等式：
(1) x2－7x＋12＞0；
(2) －x2－2x＋3≥0；
(3) x2－2x＋1＜0；
(4) x2－2x＋2＞0.
(1) x2－7x＋12＞0；
解 方程 x2－7x＋12＝0 的解为 x1＝3，x2＝4.
根据 y＝x2－7x＋12 的图象
可得原不等式的{ x∣x＜3 或 x＞4}.
(2) －x2－2x＋3≥0；
对 于二次项系数为负数的不等式，可以先把二次项系数化成正数，然后再求解.
解 不等式两边同乘以－1，得 x2＋2x－3≤0.
方程 x2＋2x－3＝0 的解为 x1＝－3，x2＝1.
根据 y ＝ x2＋2x－3 的图象，
可得原不等式的解集为 { x∣－3≤x≤1).
(3) x2－2x＋1＜0；
解 方程 x2－2x＋1＝0 有两个相同的解x1＝x2＝1.
根据 y＝x2－2x＋1的图象，
可得原不等式的解集为 .
(4) x2－2x＋2＞0.
解 因为 ＜0，所以方程 x2－2x＋2＝0 无实数解.
根据 y＝x2－2x＋2 的图象，
可得原不等式的解集为 R .
练 习
1. (1) 不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为( )。
A.{ x∣x＜1} B.{ x∣x＞3}
C.{ x∣x＜1 或 x＞3} D.{ x∣1＜x＜3}
(2) 不等式－x2＋2x－4＞0 的解集为( ).
A. R B.
C. { x∣x＞0，x∈R} D.{ x∣x＜0，x∈R}.
C
B
2. 解下列不等式：
(1) x2＋4x－12＞0；
解：该不等式可化为(x＋6)(x－2)＞0，
解得 x＜－6或 x＞2，
故原不等式的解集为{ x∣x＜－6 或 x＞2}.
(2) x2－x＋1≤0；
解：该不等式可化为(x－)2＋≤0 ，
无解，
故原不等式的解集为 .
(3) 2x2－5x＋3＜0；
解：该不等式可化为(x－1)(2x－3) ＜0，
解得 1＜x＜ ，
故原不等式的解集为{ x∣ 1＜x＜ }.
(4) 3x2－x－4＞0；
解：该不等式可化为(x＋1)(3x－4) ＞0，
解得 x＜－1或 x＞ ，
故原不等式的解集为{ x∣ x＜－1或 x＞ }.
(5) 2x2＋4x＋3＞0；
解：该不等式可化为2(x＋1)2＋1＞0，
恒成立，
故原不等式的解集为R.
(6) 9x2－6x＋1≤0.
解：该不等式可化为(3x－1)2 ≤0，
解得 x＝，
故原不等式的解集为{ x∣ x＝ }.
3. 解下列不等式：
(1) －6x2－x＋2＜0；
解：不等式可变形为 6x2＋x－2＞0 ，
对应方程的两根分别为和－，
由 y＝6x2＋x－2的图象知解集为
{ x∣x ＜－ 或 x＞ }
(2) 1－4x2≥4x＋2；
解：不等式可变形为4x2＋4x＋1＜0，
即(2x＋1)2＜0，
显然无解，
即解集为 .
(3) 1－3x＜x2；
解：不等式可变形为 x2＋3x－1＞0，
对应方程的两根为 x1，2＝＝ ，
由 y＝x2＋3x－1的图象知解集为
{ x∣x ＜ 或 x ＞ }.
(4) (x－2)(x＋2) ＞1.
解：不等式可变形为 x2－5＞0，
对应方程的两根为 x1＝－，x2＝，
由 y＝x2－5 的图象知解集为
{ x∣x＜－ 或 x＞ }.
4. 当 x 是什么实数时，函数 y＝－x2＋5x＋14 的值是：
(1) 0
解： －x2＋5x＋14＝0
x2－5x－14＝0
(x－7)(x＋2) ＝0
x1＝7，x2＝－2
(2) 正数
解： －x2＋5x＋14＞0
x2－5x－14＜0
(x－7)(x＋2) ＜0
－2＜x＜7
(3) 负数
解： －x2＋5x＋14＜0
x2－5x－14＞0
(x－7)(x＋2) ＞0
x＞7 或 x＜－2.
5. (1)已知集合 M＝{x|－4≤x≤7，N＝{x|x2－x－6＞0}，
求M∩N；
解：∵集合M ＝ {x∣－4≤x≤7}，
N ＝ {x|x2－x－6＞0}
＝ {x∣x＜－2或 x＞3}，
∴ M∩N ＝{x∣－4≤x＜－2 或 3＜ x≤7}；
(2) 已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)(x－5)
＜0}，求 A∪B.
解：∵集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}
＝{x∣1＜x＜3}，
B＝{x|(x－2)(x－5)＜0}
＝{x∣2＜x＜5}，
∴ A∪B ＝{x∣1＜x＜5}.
例 2
用一根长为 100 m的绳子能围成一个面积大于 600 m的矩形吗 当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大
解：设矩形一边的长为 x m，则另一边的长为 (50－x) m，其中0＜x＜50.
由题意，得 x(50－x) ＞600，
即 x2－50x＋600＜0，
解得 20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在 20 m 至 30 m 的范围内取值时，能围成一个面积大于 600 m2 的矩形.
用 S 表示矩形的面积，则
S＝x(50－x)
＝－ (x－25)2＋625 (0＜x＜50).
当x＝25 时，S 取得最大值，此时 50－x＝25.
答 当矩形的长、宽都为25m时，所围成的矩形的面积最大.
你能用基本不等式来求 x(50－x) 的最大值吗
例 3
某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 x 件(x∈N*)与货价 P 元/件之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本为 C＝500＋30x 元.
问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300 元
解 由题意，得 (160－2x)x－(500＋30x)＞1300，
化简，得 x2－65x＋900＜0，
解得 20≤x≤45.
答 该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.
例 4
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.
在一个限速为 40 km/h的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰.
事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m. 又知甲两种车型的刹车距离 (单位：m)与车速 x (单位：km/h)之间分别有如下关系：
s甲＝ 0.1x＋ 0.01x， s乙＝0.05x＋0.005x2.
问：甲、乙两车有无超速现象
一般来说，刹车距离与车速是二次函数关系.
分析 根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速.
解 由题意知，对于甲车，有 0.1x＋0.01x2＜12，
即 x2＋10x－1200＜0，
解得 －40＜x＜30.
这表明甲车的车速低于 30 km/h，未超过规定限速.
对于乙车，有 0.05x＋0.005x2＞10，
即 x2＋10x－2000＞0，
解得 x＞40 或 x＜－50 (不合实际意义，舍去).
这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限速.
答 甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.
练 习
1. 如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的 2倍，
那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少
解：设该厂今的产量为a，明、后两年每年的平均增长率至少是x%，则a(1＋x%)2≥2a，
解得 x%≥41.4%.
∴ 明、后两年每年的平均增长率至少是41.4%.
2. 销售某种商品，单价为 a 元时，销售量是b. 经市场调
研可以预测，若单价上涨 m%，则销售量将减少.
为了使该商品的销售金额最大，m 应定为多少
解：设原来销售金额为y，
根据题意可知调整后的单价是a·(1＋)，
售出的数量是 b·(1－)，
调整后的销售金额为：
y＝a·b·(1＋)(1－) ＝a·b·(1－m2＋m)
＝ － m2 ＋ m ＋
＝[－(m－25)2 ＋]ab
∵ab均为正，
∴当m＝25时，y最大，
故m定为25.
3. 国家为了加强对饮用酒生产的宏观管理，实行征收附
加税政策.已知某种洒每瓶 70 元，不征收附加税时，
每年大约销售 100 万瓶；若政府征收附加税每销售
100 元要征税 R元 (叫作税率 R%)，则每年的销售量
将减少 10R 万瓶. 要使每年在此项经营中所收取的附
加税不少于 112 万元，R 应怎样确定
解：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的税金为 70x·R%万元，其中 x＝100－10R.
由70(100 － 10R)·R%≥112，
即 R2－10R＋16 ＜ 0.
解得 2≤R≤8.
故税率定在2% ~ 8%之内，年收附加税额将不低于112万元.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) mx2－5x＜0 是一元二次不等式 (　　)
(2) 若 a＞0，则一元二次不等式 ax2＋1＞0无解(　　)

当m＝0时是一元一次不等式；
当m≠0时，它是一元二次不等式.
因为a＞0，所以不等式ax2＋1＞0恒成立，即原不等式的解集为R.

(3) 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的两根为x1，x2 (x1＜x2)，则一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0的解集为{ x∣x1＜x＜x2 }. (　　)

当 a＞0时，ax2＋bx＋c＜0的解集为{ x∣x1＜x＜x2}，否则不成立.
2. 不等式 (2x＋1)(x－1)＞0 的解集是 (　　)
A. { x∣－＜x＜1} B.{ x∣x＞1}
C.{ x∣x＜1 或 x＞2} D. { x∣x＜－或 x＞1}
D
解析：因为方程 (2x＋1)(x－1)＝0的解为 x1＝－，x2＝1，
所以根据函数 y＝(2x＋1)(x－1)的图象，可得原不等式的解集为{ x∣x＜－或 x＞1} .
解析
3. 不等式－3x2＋5x－4＞0 的解集为________.

解析：原不等式变形为 3x2－5x＋4＜0.
因为Δ＝ (－5)2－4×3×4＝－23＜0，
所以由函数 y＝3x2－5x＋4 的图象可知，
3x2－5x＋4＜0 的解集为 .
解析
【跟踪训练】
1. 不等式 (－x)(－x)＞0 的解集是 (　　)
A.{ x∣ ＜x＜}
B. { x∣x＞ }
C. { x∣x＜}
D.{ x∣x＜或x＞ }
D
解析：方程(－x)(－x) ＝0的两根为 x1＝，x2＝，所以原不等式的解集为{ x∣x＜或x＞ }.
解析
2.一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0(a≠0)的解集是(－， )，
则a＋b的值是(　　)
A.10　　　B. －10　　　C.14　　　D. －14
D
解析：方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0)的两个根为－和 ，
－＋＝ － ，－×＝ ，
所以 a＝－12，b＝－2，a＋b＝－14.
解析
3. 某公司每个月的利润 y (单位：万元)关于月份 n 的关
系式为 y＝n2－9n＋114，则该公司12个月中，利润大
于100万元的月份共有 (　　)
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
C
解析：由题意得 n2－9n＋114＞100，
解得 n＜2或 n＞7，
故 n＝1，8，9，10，11，12，共6个月.
解析
4. 二次函数 y＝x2－4x＋3当函数值为负数时 x 的取值范
围是___________.
1＜x＜3
解析：由于方程 x2－4x＋3＝0 的两个根为 x1＝1，x2＝3.
故不等式 x2－4x＋3＜0 的解集为{ x∣1＜x＜3}.
解析
5. 不等式－x2＋mx＋m＜0 恒成立的条件是__________.
－4＜m＜0
解析：－x2＋mx＋m＜0 恒成立，等价于Δ＜0，
即 m2＋4m＜0，
所以－4＜m＜0.
解析
习题 3.3
感受·理解
1. 证明：函数 y＝x2－x＋1 没有零点.
解：∵ ＝ b2－4ac
＝ (－1)2－4×1×1
＝1－4 ＝－3 ＜0.
∴ 函数 y＝x2－x＋1没有零点.
2. 设 m 为实数，若函数 y＝ x2－mx＋2 有只有一个零点，
求 m 的值.
解：函数 y＝x2－mx2 有且只有一个零点，
一个根，则 ＝m2－8＝0，
所以 m ±2.
3. 设k为实数，若方程 x2－3x＋k－3＝0 有实数根，求 k
的取值范围.
解：将方程整理得：4x2－12x＋k－3＝0，有题意知：
＝122－4×4×(k－3)＜0，
解得：k＞12.
∴ k 取值范围是(12，+∞).
故答案为：(12，＋∞)
4. 证明：函数 y＝5x2－7x－1的一个零点在区间(－1，0)
内，另一个零点在区间(1，2)内.
解：令f(x)＝5x2－7x－1，则f(x)在R上是连续函数.
∵ ＝(－7)2－4×5－(－1) ＝49＋20＝69＞0，
∴方程 f(x)＝0 有两个不等实数根，
即f(x) ＝5x2－7x－1在R上有两个零点；
又∵f(－1)＝5×(－1)2－7×(－1) －1＝11＞0，
f(0)＝ －1＜0，
∴ 在区间(－1，0)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点；
又∵ f(1) ＝ 5－7－1＝－3＜0，
f(2) ＝ 5×22－7×2－1＝5＞0，
∴在区间(1，2)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点.
又∵函数f(x)＝5x2－7x－1在R上有且仅有两个零点，
∴ 函数f(x)＝5x2－7x－1一个零点在区间(－1，0)内，
另一个零点在区间(1，2)内.
5. 解下列不等式：
(1) x(x－1) ≤ 0；
(2) (x＋1)(x－5)＞0；
解：因为对应方程的两根为0和1，
所以不等式的解集是{x∣0≤x≤1}.
解：因为对应方程的两根为－1和5，
所以不等式的解集是{x∣x＜－1或x＞5}.
(3) x2－6x＋9≤0；
(4) 3x2－7x＋2 ＞ 0；
解：因为对应方程为(x－3)2＝0，
对应方程的一个根为3，
所以不等式的解集是{x∣x＝3}.
解：因为对应方程的两根为2和，
所以不等式的解集为{ x∣x＜或x＞2}
(5) －2x2－x＋6＞0；
(6) x2－x＋1＞0.
解：因为不等式可化为 2x2＋x－6≤0，
对应方程的两根为－2和，
所以不等式的解集为{ x∣－2≤ x≤ }.
解：因为对应方程判别式 ＜0，
所以不等式的解集为R.
6. 解下列不等式：
(1) 2x2－3x＞2；
解：∵ 2x2－3x－2＞0，
∴ (2x＋1)(x－2)＞0，
∴x＜－或x＞2，
∴不等式的解集为{x∣x＜－或x＞2}.
(2) 3x2－5x＋4＞0；
解：∵ ＝25－4×3×4
＝－23＜0，
∴不等式3x2－5x＋4＞0的解集为R.
(3) x(x＋2) ＜x(3－x) ＋1；
解：∵原不等式可化为：2x2－x－1＜0，
即(2x－1)(x－1) ＜0，
∴－＜x＜1，
∴不等式的解集为{x∣－＜x＜1}.
(4) (3x－1) (x＋1)＞4.
解：∵原不等式可化为：3x2＋2x－5＜0，
即(3x＋5)(x－1)＞0，
∴ x＜－ 或 x＞1，
∴不等式的解集为：{x∣ x＜－ 或 x＞1}.
7. 当x是什么实数时，函数 y＝－x2－8x＋20 的值是：
(1) 0
解：－x2－8x＋20 ＝0
x2＋8x－20 ＝0
(x－2)(x＋10) ＝0
x＝－10或x＝2
(2)正数
解：－x2－8x＋20 ＞0
x2＋8x－20 ＜0
(x－2)(x＋10) ＜0
－10＜x＜2
(3)负数
解：－x2－8x＋20 ＜0
x2＋8x－20 ＞0
(x－2)(x＋10) ＞0
x＜－10 或 x＞2
8. 制作一个高为 20 cm 的长方体容器，底面矩形的长比
宽多 10 cm，并且容积不少于 4 000 cm3.
问：底面矩形的宽至少应是多少
解：设底面矩形的宽为 x cm，
由题意可得20x(x＋10) ≥ 4000.
即 x2＋10x－200≥0，
解得：x≤－20 (舍) 或x≥10.
∴ 底面矩形的宽至少应为10 cm.
9. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，
B(2，0)两点，求关于x的不等式 x2＋bx＋c＞0 的解集.
解：∵ 二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于
A(－1，0)，B(2，0) 两点，
∴ －1，2 是关于x的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0
的两个实数根，
∴关于x的不等式x2＋bx＋c＞0 的解集为：
{x∣x＜－1或x＞2}.
思考·运用
10. 设m为实数已知二次函数 y＝x2－5x＋m 的两个零点都
在区间(0，＋∞)内，求 m 的取值范围.
解：二次函数 y＝x2－5x＋m的图象是一条抛物线，
开口向上，对称轴方程为 x＝，
若它的两个零点都在区间(1，＋oo)内，
只需满足 ＝(－5)2－4×1·m＞0
f(1)＝－4＋m＞0
解得：4＜m＜，
∴ m 的取值范围是(4， )
11. (1) k 是什么实数时，方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0
有两个不相等的实数根
解：方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0中，
令 ＞0，得 4(k－1)2－4(3k2－11)＞0，
化简得 k2＋k－6＜0，
解得 －3＜k＜2，
所以 k∈(－3，2) 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 已知不等式 x2－2x＋k2－1＞0 对一切实数 x 恒成立，
求实数k的取值范围.
解：不等式 x2－2x＋k2－1＞0 对一切实数x恒成立，
∴ ＜0，即4－4(k2－1) ＜0，
化简得 k2＞2，
解得 k＞ 或 k＜－；
∴实数k的取值范围是(－∞，－)∪(＋∞).
12. 已知不等式 ax2＋b－1＞0的解集是{ x∣3＜x＜4 }，
求实数 a，b 的值.
解：由题意知，a＜0，
且 3，4 是方程 ax2＋bx－1＝0的根.
∴
解得
9a＋3b－1＝0
16a＋4b－1＝0
a＝－
b＝
13. 如图，某房地产开发公司要在矩形地块 ABCD 上规划出一块矩形地块PQCR 建造住宅区为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF. 由实地测量知，AB＝200 m，AD＝160 m，
AE ＝60 m，AF＝40 m.
问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，
才能使其面积最大 最大面积是多少
G
解：设PQ交DA于点G，如图所示：
设PQ＝x，140≤x≤200，
则GP＝200－x，
∵△GPF～△AEF，
∴ FG＝ (200－x)
∴ PR＝DF＋FG＝120＋ (200－x)，
∴ SPQCR ＝x[120＋ (200－x)]＝－x2＋x
＝－(x－190)2＋，
当x＝190 时，即 PR＝120＋120＋(200－190)＝时，
SPQCR取得最大值，
故当矩形住宅区的长为190m，宽为m时， SPQCR取得最大值m2.
14. 已知某公司每天生产的某种产品的数量 (单位：百件)
与其成本y (单位：千元)之间的函数解析式可以近似
地用 y＝ax2＋b＋c 表示其中a，b，为常数. 现有实际
统计数据如下表所示：
产品数量x/百件 6 10 20
成本y/千元 104 160 370
产品数量x/百件 6 10 20
成本y/千元 104 160 370
(1) 求a，b，c 的值；
解：将表格中相关数据代入 y＝ax2＋bx＋c.
36a＋6b＋c＝104
得 100a＋10b＋c＝160，
400a＋20b＋c＝370
解得 a＝，b＝6，c＝50.
(2) 若每件产品销售价为 200 元，则该公司每天生产多少
产品时才能盈利 (假设每天生产的产品可以全部售完)
解：由(1)知，y＝ x2＋6x＋50(x≥0)，
由题意可知 200x×0.1－y＞0
即 －x2＋14x－50 ＞0，
解得 4.2＜ x ＜23.8
故该公司每天生产产品数量在区间(420，2380)时才能盈利.
探究·拓展
15. (阅读题)重新考察不等式 5x2－10x＋4.8＜0 这个不等
式的左边可分解因式为(x－1.2)(5x－4). 根据实数乘
法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组
的两个解集的并集.
x－1.2＜0， x－1.2＞0.
(1) 和 (2)
5x－4＞0 5x－4＜0
不等式组(1)的解为 0.8＜x＜1.2 不等式组(2)无解，从而不等式 5x2－10x＋4.8＜0 的解集为{ x∣0.8＜x＜1.2}.
试用上述方法解下面的不等式：
(1) (2x－3)(x＋1) ＞0； (2) (1－x)(2＋x)≥0；
(3) ＜0； (4) ≤0.
(1) (2x－3)(x＋1) ＞0；
解：∵ (2x－3)(x＋1)＞0，
∴ ，或
解得 x＞，或 x＜－1，
∴ 原不等式的解集为{x∣ x＜－1或x＞}；
2x－3＞0
x＋1＞0
2x－3＜0
x＋1＜0
(2) (1－x)(2＋x)≥0；
解：∵ (1－x)(2＋x)≥0，
∴ ，或
解得 －2≤x≤1，或 无解，
∴ 原不等式的解集为{x∣ －2≤x≤1}；
1－x≥0
2＋x≥0
1－x≤0
2＋x≤0
(3) ＜0；
解：∵ ＜0 ，
∴ ，或
解得 －3＜x＜1 ，或无解，
∴ 原不等式的解集为{x∣ －3＜x＜1 }；
x－1＜0
x＋3＞0
x－1 ＞ 0
x＋3＜0
(4) ≤0.
解：∵ ≤0 ，
∴ ，或
解得 x≥，或 x＜－4，
∴ 原不等式的解集为{x∣ x＜－4或x≥}；
1－2x ≤ 0
x＋4＞0
1－2x ≥ 0
x＋4 ＜ 0
问题与探究
基本不等式的推广
我们已知基本不等式 ≤ (a，b ＞ 0)，那么，对于3个正数 a，b，c，是否有
≤
对于4个正数a，b，c，d，是否有
≤
给出一些具体数,借助计算机(器)验证一下，并尝试给出证明. 你还会有什么猜想
阅 读
不等号的演变
在早期，人们使用文字或象征性记号来记述不等关系.例如，荷兰数学家吉拉尔 ( A . Girard，1595—1632) 在他 1629 年所著《代数新发现》一书中，使用下面记号：
A ff B 表示A大于B，B§A 表示B小于A.
1631年，英国数学家奥特雷德 ( W . Oughtred，1574—1660) 在《数学入门》一书中，用符号：
表示大于， 表示小于.
也有传说，用符号：
表示大于， 表示小于.
1634 年，法国数学家厄里岗( P.Herigone ) 在《数学教程》一书中，采用符号：
a3I2b 表示a大于b，b2I3a 表示a小于b.
他的意思是说，因为 3＞2，所以 a3＞2b ( a，b 为正数)，故 a＞b，小于号的意思也是这样的.
1631年，英国数学家、望远镜发明者哈里奥特 ( T . Harriot，1560-1621)去世后 10 周年，人们出版了他的遗著《分析术实例》在这本书中，他写道：
大于的记号：a＞b表示 a 量大于 b 量，
小于的记号：a＜b表示 a 量小于 b 量.
这一简洁优美的记号，不管后人采用怎样的方式去创造不等号最终都无法取代“＞”“＜”两个记号.“＞” “＜”直到 18 世纪初才被泛使用.
至于“≠”“≯”“≮”的出现，乃是近代之事. 一般人不使用“≮”“≯”，而使用“≥”“≤”(或“≧”“≦”)两个记号，表示“大于或等于”“小于或等于”.
在数学史上，也有数学家使用“”表示“等于或大于”，“”表示“等于或小于”.
在少数数学著作中，也出现用“∨”表示小于，“∧”表示大于.例如，2∨3表示“2 小于 3”，9∧7表示“9 大于7”，这种写法没有得到广泛传播，更多的数学书只将符号“∨”表示“＜”“＞”“≤”“≥”中的一种.例如，a∨b表示“a＞b”“a＜b”“a≥b”“a≤b”中的一种.
高等数学中，还出现“”表示“远小于”，“”表示“远大于”.
在有些计算机语言中，使用“＜＞”表示“不等于”，“＞＝”表示“大于或等于”，“＜＝”表示“小于或等于”.
本课结束
This lesson is over
THANKS!