5.1 函数的概念和图象 课件（共116张PPT）

(共116张PPT)
第5章
函数概念与性质
5 . 1
函数的概念和图象
在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：
1. 人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从中国统计年鉴中可以查得我国1979~2014 年人口数据资料(年末)如表5-1-1所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗
表5-1-1 1979~2014 年我国人口数据表
年份 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014
人口数/百万 975 1044 1127 1199 1258 1300 1335 1368
2. 一物体从静止开始下落，下落的距离 y (单位：m) 与下落时间 x (单位：s) 之间近似地满足关系式 y＝4.9x2.
若一物体下落 2s，你能求出它下落的距离吗
3. 图 5-1-1为某市一天 24 小时内的气温变化图.
(1) 上午 6 时的气温约是多少 全天的最高、最低气温分别是多少
(2) 在什么时刻，气温为 0℃
(3) 在什么时段内，气温在 0℃以上
在上述的每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定.
根据初中学过的知识，每一个问题都涉及一个确定的函数.
这就是它们的共同特点.
● 如何用集合语言来阐述上述 3 个问题的共同特点
第一，每个问题均涉及两个非空数集 A，B.
例如，在第一个问题中，一个集合 A 由年份数组成，即 A＝{1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014}；
另一个集合 B由人口数(百万) 组成，即
B＝{975，1 044，1 127，1 199，1 258，1 300，1 335，1 368}.
第二，每个问题均存在某种对应关系，对于A 中任意元素x ，B 中总有一个元素 y 与之对应.
例如，在第一个问题中，若x (年份)取 1979，则 y (百万) 取 975.
这时，我们说“1979 对应到975”，或者说“输入1979，输出975”，简记为
1979 → 975.
图 5-1-2 所示的“箭头图”可以清楚地表示这种对应关系，这种对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征.
1979
1984
1989
1994
1999
2004
2009
2014
975
1044
1127
1199
1258
1300
1335
1368
一、函数
(1) 概念：
①定义：一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有______的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
唯一
② 记法：y＝f(x)，x∈A.
③定义域：x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；
值域：所有输出值y组成的集合{y∣y＝f(x)，x∈A}
称为函数的值域.
(2)本质：函数的集合定义.
【思考】
1. 对于函数 f：A→B，值域一定是集合B吗 为什么
提示：不一定.值域是集合B的子集.
2. 对应关系f必须是一个解析式的形式吗 为什么
3. f(x)的含义是什么
提示：不一定.可以是数表，也可以是图象.
提示：集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数.
考察本章引言中的问题(1)，对于每一个 x (x∈(0，＋∞))，都有唯一的实数 y＝π 与 x 对应. 因此，y＝π (x∈(0，＋∞)) 是x的函数.
由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数.
例如函数 y＝x2 (x∈(0，＋∞))与函数 s＝t2(t∈(0，＋∞)) 是同一个函数.
如果两个函数的表达式相同，即其对应关系相同，但定义域不同，那么这两个函数就是不同的函数.
例如本章引言问题(2)中函数y＝x2(x∈R)的定义域是R，函数 y＝x2( x∈(0，＋∞)) 的定义城是(0，＋∞)，它们是两个不同的函数.
给定函数时要指明函数的定义域.
对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.
二、同一个函数
前提条件 _______相同
_________相同
结论 这两个函数是同一个函数
定义域
对应关系
【思考】
函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可.
三、常见的函数的定义域和值域
函数 一次函数 反比例函数
对应关系 y＝ax＋b (a≠0) y＝ (k≠0)
定义域 R {x∣x≠0}
值域 R {y∣y≠0}
函数 二次函数
____ ____
对应关系 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
定义域 R R
值域
a＞0
a＜0
例 1
判断下列对应是否为函数：
解：对于任意一个非零实数x ， 由x唯一确定，所以当 x≠0 时 x→ 是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝ (x≠0).
(1) x→，x≠0，x∈R；
(2) x → y，这里 y2＝x，x∈N，y∈R；
解 考虑输入值为4，即当 x＝4 时输出值y由 y2＝4 给出，得 y＝2 和 y＝－2.
这里一个输入值与两个输出值对应，所以，x → y (y2＝x，x∈N，y∈R) 不是函数.
(3) 当x为有理数时，x → 1；当x为无理数时，x → 0 .
解 由题意知，对于任意的有理数 x，总有唯一的元素 1与之对应；对于任意的无理数 x，总有唯一的元素 0 与之对应.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为
1， x 为有理数
y ＝
0， x为无理数
例 2
求下列函数的定义域：
(1) f(x) ＝；
解 当 x－1≥0，即 x≥1 时， 在实数范围内有意义；当 x－1＜0，即 x＜1时， 在实数范围内没有意义.
因此，这个函数的定义域是{x∣x≥1}.
(2) g(x) ＝.
解：当 x＋1≠0，即 x≠ －1时，有意义；
当 x＋1＝0时，即 x＝－1时， 没有意义.
因此，这个函数的定义域是{x∣x≠－1 ，且x∈R}.
例 3
求下列函数的值域：
(1) f(x) ＝(x－1)2－1，x∈{－1，0，1，2，3}；
解 函数的定义域为{－1，0，1，2，3}.
因为 f(－1) ＝[(－1) －1]2＋1＝5，
f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
所以这个函数的值域为{1，2，5}.
(2) f(x) ＝(x－1)2＋1.
解 函数的定义域为 R .
因为(x－1)2＋1≥1，
所以这个函数的值域为{y∣y≥1}.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”. (　　)
(2) 根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　)
(3) 在研究函数时，除用符号f(x)外，还可用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数. (　　)



2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 (　　)
A.出租车车费与出租车行驶的里程
B.商品房销售总价与商品房建筑面积
C.铁块的体积与铁块的质量
D.人的身高与体重
D
解析：A.出租车车费与行程是函数关系；B.商品房销售总价与建筑面积是函数关系；C.铁块的体积与质量是函数关系；D.人的身高与体重不是函数关系.
解析
3. 如图能表示函数关系的是____________.
①②④
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数关系.
解析
【课堂检测·素养达标】
1.对于函数f：A→B，若 a∈A，b∈A，则下列说法错误的是 (　　)　　　
A. f(a)∈B
B. f(a)有且只有一个
C.若 f(a)＝f(b)，则a＝b
D.若 a＝b，则f(a)＝f(b)
C
解析：对于函数f：A→B，a∈A，b∈A，则根据函数的定义，f(a)∈B，且 f(a)唯一，故若 a＝b，则 a，b 代表集合A中同一个元素，这时，有 f(a)＝f(b)，故 A，B，D 都对.但若f(a)＝f(b)，则不一定有a＝b，如f(x)＝x2，显然f(－1)＝f(1) ＝1，但－1≠1，故C错误.
解析
2.如表表示y是x的函数，则该函数的定义域是________，
值域是_______________.
x 0＜x＜1 1≤x＜2 2≤x＜3 3≤x≤4
y 1 2 3 4
(0，4]　
{1，2，3，4}
解析：由题表可知，函数的自变量x从0开始至4，每个数都有意义，所以定义域为(0，4]；该函数是一个分段函数，从表中的数据可知，y只能取到1，2，3，4 这四个数，所以值域为{1，2，3，4}.
解析
3. 若函数 y＝x2－3x 的定义域为{－1，0，2，3}，则其
值域为_______________.
{－2，0，4}
解析：依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；
当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0，
所以函数 y＝x2－3x 的值域为{－2，0，4}.
解析
4.下列对应关系是集合P上的函数的是______.(填序号)
①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应;
②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；
③P＝{三角形}，Q＝{x∣x＞0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.
②
练 习
1. 某班级学号为 1~6 的学生参加数学测试的成绩如下表
所示，试将学号与成绩的对应关系用“箭头图”表示
在下图中.
学 号 1 2 3 4 5 6
成 绩 80 75 79 80 98 80
学 号 1 2 3 4 5 6
成 绩 80 75 79 80 98 80
1
2
3
4
5
6
75
79
80
98
2. 从甲地到乙地的火车票价为 80 元，儿童乘火车时，按
照身高选择免票、半票或全票. 选购票种的规则如下表
所示：
身高 h/m 购票款数/元
h≤1.2 0
1.2＜h≤1.5 40
h＞1.5 80
身高 h/m 购票款数/元
h≤1.2 0
1.2＜h≤1.5 40
h＞1.5 80
(1) 若儿童身高h为输入值，相应的购票钱款为输出值，
则 1.0→________，1.3→_______，1.6→________；
(2) 若购票钱款为输入值，儿童身高 h 为输出值，则
0→__________，40→______________.
0
40
80
h≤1.2
1.2＜h≤1.5
3. 判断下列对应是否为从 A 到 B 的函数：
(1) A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，
对任意的 x∈A，x→2x；
解 x＝5∈A，2x＝10 B，故不是函数.
综上所述，结论是：
对应 x→2x 不是从A到B的函数.
(2) A＝ {1，2，3，4，5}，B＝{x∣x＜10，x∈N，对任
意的 x∈A，x→2x＋1；
解：x＝1∈A → 2x＋1＝3∈B；
x＝2∈A → 2x＋1＝5∈B；
x＝3∈A → 2x＋1＝7∈B；
x＝4∈A → 2x＋1＝9∈B；满足函数的定义.
综上所述，结论是：对应 x→ 2x＋1是从A到B的函数.
(3) A＝B＝N*，对任意的 x∈A，x→x－1；
解 x＝1∈A，x－1＝0 B，故不是函数.
综上所述，结论是：
对应x→x－1不是从A到B的函数.
(4) A为正实数集，B＝R，对任意的 x∈A，x→x 的算
术平方根.
解 任一个正实数均对应唯一的算术平方根，且算术平方根在实数范围内，
即 ＞0，x∈A，则存在唯一实数∈R与之对应，满足函数的定义.
综上所述，结论是：对应 x → 是从A到B的函数.
4. 判断下列对应是否为函数：
(1) x→－x，x∈R；
(2) x→1，x∈R；
(3) x→y，其中 y＝∣x∣，x∈R，y∈R；
(4) t→s，其中s＝t，t∈R，s∈R；
(5) x→y，其中y＝x，x∈ [0，＋∞)，y∈R；
(6) x→y，其中y为不大于的最大整数，x∈R，y∈Z.
是
是
是
是
不是
是
5. 已知函数f(x)＝x－x2，求f(0)，f(1)，f()，f(n＋1)－f(n).
解 ∵f(x) ＝ x－x2；
∴f(0) ＝ 0－02 ＝ 0；
f(1) ＝ 1－12 ＝ 0；
f() ＝ －()2 ＝ － ＝ ；
f(n＋1) －f(n) ＝(n＋1)－(n＋1)2－(n－n2)
＝n＋1－n2－2n－1－n＋n2
＝－2n
6. 求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝ 1－3x；
(2) f(x)＝ ；
解：R.
解 由 x2－1≠0，得 x≠±1，
∴函数f(x)的定义域为{x∣x≠±1 }.
(3) f(x) ＝ ＋ ；
2＋x＞0
解 由 得－2≤x≤1，
1－x≥0
∴函数f(x)的定义域为[－2，1].
(4) f(x) ＝ ＋.
x＋1≥0
解 由 得 x≥－1且 x≠0，
x≠0
∴函数f(x)的定义域为[－1，0) ∪(0，＋∞).
7. 求下列函数的值域：
(1) f(x)＝x2＋x，x∈{l，2，3}；
解 函数的定义域为{1，2，3}，
∵ f(1)＝12＋1＝2，f(2)＝6，f(3)＝12.
∴ 函数f(x)的值域为{2，6，12}.
(2) f(x)＝(x－1)2－1；
解 函数的定义域为R，
∵ (x－1)2－1＞－1，
∴函数f(x)的值域为[－1，＋∞).
(3) f(x)＝x＋1，x∈(1，2].
解 ∵ x∈(1，2]，
∴ x＋l∈(2，3]，
∴函数f(x)的值域为(2，3].
在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数 y＝2x－1，y＝ (x≠0)以及 y＝x2 的图象社会生活中还有许多函数图象的例子，如图所示的心电图、示波图等.
四、函数的图象
(1) 定义
将自变量的一个值x0作为_______，相应的___________作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)).
当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的图形就是函数 y＝f(x)的图象.
横坐标
函数值f(x0)
(2) 集合表示：
所有这些点组成的集合(点集)为________________，
即_________________________.
(3)本质：函数对应的图形，即几何意义.
{(x，f(x)) ∣x∈A}
{(x，y) ∣y＝f(x)，x∈A}
所有这些点组成的图形就是函数 y＝f(x) 的图象.
例如，初中学习过的 y＝ 的图象就是由点集 {(x，y) ∣y＝，x≠0，x∈R}中元素(点) 组成的图形.
【思考】
集合{x∣y＝f(x)，x∈A}、{y∣y＝f(x)，x∈A} 能表示函数的图象吗 为什么
提示：不能. 上述两个集合都是数集，不是点集. 因此不能表示函数的图象.第一个集合表示函数的定义域，第二个集合表示函数的值域.
例 4
试画出下列函数的图象：
(1) f(x) ＝ x＋1；
(2) f(x) ＝ (x－1)2＋1，x∈[1，3).
解：描点作出图象，函数图象分别如图 5-1-4 和 5-1-5 所示.
函数 f(x)＝(x－1)2＋1， x∈[1，3) 的图象为函数g(x)＝(x －1)2＋1，x∈R 的图象上 x∈[1，3) 的一段. 其中，点(1，1) 在图象上，用实心点表示；而点(3，5)不在图象上，用空心点表示.
例 5
在 5.1节开头的第一个问题中，如果把人口数 y (百万)看作年份 x 的函数，试根据表 5-1-1，画出这个函数的图象.
解 由表5-1-1的数据，西出的函数图象是8个点，如图 5-1-6所示.
思 考
设函数 y＝f(x) 的定义域为 A，集合 P＝ {(x，y)∣y＝ f(x). x∈A}与Q＝{y∣y＝f(x)， x∈A }相等吗 请说明理由.
例 6
试画出二次函数 f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
(1) 比较 f(－2)，f(1)，f(3) 的大小；
(2)若0＜x1＜x2，试比较 f(x1)与f(x2)的大小.
解 函数图象如图 5-1-7.
(1) 比较 f(－2)，f(1)，f(3) 的大小；
解 根据图 5-1-7(1)，容易发现
f(－2) ＝f(2)，
f(1)＜f(2)＜f(3).
所以 f(1)＜f(－2)＜f(3).
(2) 若0＜x1＜x2，试比较 f(x1)与f(x2)的大小.
解 根据图 5-1-7(2)，容易发现
当0＜x1＜x2 时，
f(x1) ＜f(x2).
思 考
在例 6(2)中，
(1) 如果把“0＜x1＜x2”改为“x1＜x2＜0”，那么 f(x1)与f(x2)哪个大
(2) 如果把“0＜x1＜x2”改为“∣x1∣＜∣x2∣”，那么 f(x1) 与 f(x2) 哪个大
请结合图象回答上述两个问题，并用不等式的基本知识来解决例 6及上述思考中的问题.
信息技术
下面我们介绍在 Excel 工作表中用“描点连线”的方法绘制函数 f(x)＝(x－1)2＋1的图象，不妨作 x∈[－2，2]上的图象.
(1)第一列产生自变量的值：在单元格 A1，A2 内分别输入－2，－1.9，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖曳“填充柄”，如图 5-1-8，直到单元格内出现填充值 2 时为止.
(2) 第二列产生对应的函数值： 如图 5-1-9，在 B1 内输入“＝(A1－1)^2＋1”，敲回车键或在编辑栏内选中“√”，拖曳 B1 的填充柄至所需的单元格(或双击 B1 的填充柄)，得到与第一列相对应的函数值.
(3) 成图：光标置于数据区的任一位置，插入“图表”，选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”，点击“完成”，便得函数 f(x) ＝(x－1)2＋1在区间[－2，2 ]上的图象，如图 5-1-10.
你能用上面的方法绘制函数 f(x)＝x3的图象吗
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 已知函数 y＝f(x)，x∈A，若x0 A，则点(x0，f(x0))一定不在函数的图象上. (　　)
(2)直线 x＝a 和函数 y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点. (　　)
(3) 函数的图象一定是连续的. (　　)



2. (多选题)下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数
y＝f(x)的图象的有 (　 　)
BD
解析：能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故BD可以，AC不可以.
解析
3. 函数 y＝x＋1，x∈Z，且∣x∣＜2的图象是________.
(填序号)
③
解析：由题意知，函数的定义域是{－1，0，1}，值域是{0，1，2}，函数的图象是三个点，故③正确.
解析
【课堂检测·素养达标】
1. 函数 y＝x0 的图象是 (　　)
B
解析
解析：因为函数 y＝x0的定义域为{x|x≠0}，所以排除A，C. 又 y＝x0＝1，所以排除D.
2. 函数 y＝ 的大致图象只能是 (　　)
B
解析
解析：函数 y＝ 的大致图象由 y＝ 的图象向左平移2个单位得到.
解析：因为二次函数的图象过(4，0)，
所以16a＋4b＋c＝0.①又过点(0，2)，所以c ＝ 2.②
由顶点坐标为(4，0)可知 x＝－＝4.③
由①②③可解得 a＝，b＝－1，c＝2，所以 abc＝－.
3. 二次函数f(x) ＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为(4，0)，且过点(0，2)，则abc等于 (　　)　　　　　　
A. －6 B.11 C. － D.
C
解析
4. 若函数y＝f(x)的图象经过点(0，1)，那么函数y＝f(x＋4)
的图象经过点___________.
(－4，1)
解析
解析：y＝f(x＋4) 可以认为把 y＝f(x) 向左移了4个单位，由 y＝f(x) 经过点(0，1)，易知 f(x＋4) 经过点(－4，1).
练 习
1. 画出下列函数的图象：
(1) f(x)＝2x－1；
(2) f(x)＝2x－1，x∈ [－1，2)；
(3) f(x)＝，x∈(0，＋∞)；
(4) f(x) ＝ ＋1，x∈(0， ＋∞)；
(5) f(x) ＝ x2，x∈[－1，2]；
(6) f(x)＝(x－1)2，x∈[0，3].
2. 先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域：
(1) f(x)＝(x－1)2，x∈{－ 1，0，1，2}；
解 由定义域为{－ 1，0，1，2}知，
其函数图象就是四个点：
A(－1，4)，B(0，1)，C(1，0)，D(2，1)，图象如图所示.
其值域为{4，1，0}.
(2) f(x)＝x2，x∈[1，2)；
解 函数 f(x)＝x2，x∈[1，2) 的图象是抛物线 x2＝y落在第一象限内的一部分，其图象如图所示.
函数 f(x)＝x2，x∈[1，2)为增函数，
故值域为[f(1)，f(2))＝[1，4)
(3) f(x)＝，x∈[1， 3)；
解 ∵x∈[1，3)，f(x)＝，
∴ 其图象落在第一象限，且是反比例函数 f(x)＝图象的一部分.
图象如图所示.
函数 f(x)＝，x∈[1，3) 为减函数，
故其值域为(f(3)，f(1)] ＝ (，1]
(4) f(x)＝ ，x为正实数.
解 ∵x＞0，故f(x)＝＞0，其图象在第一象限内，
它是抛物线 y2＝x (x＞0，y＞0) 在第一象限内的部分.
其图象如图所示.
函数f(x)＝，x＞0 为增函数，
故值域为(f(0)，＋∞)＝(0，＋∞ )
3. 根据如图所示的函数 y＝f(x) 的图象填空：
(1) f(0)＝_______，f(1)＝ _______，
f(2) ＝_______.
(2) 若－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)与 f(x2)
的大小关系是___________.
2
3
0
f(x1)＜ f(x2)
习题 5.1
感受·理解
1. 已知函数 y＝5x－2.
(1) 当x＝0，1，5时，分别求出y的值；
解 ∵函数 y＝5x－2，
∴当x＝0时，y＝5×0－2＝－2；
当x＝1时，y＝5×1－2＝3；
当x＝5时，y＝5×5－2＝23；
(2) 当y＝0，1，5时，分别求出x的值.
解 令5x－2＝0，解得 x＝，∴当y＝0时，x＝；
令5x－2＝1，解得 x＝，∴当y＝1时， x＝；
令5x－2＝5，解得 x＝，∴当y＝5时， x＝.
2. 判断下列对应 f 是否为从集合 A 到集合 B 的函数：
(1) A＝{，1，}；B ＝{－6，－3，1}，f()＝－6，
f(1)＝ －3，f()＝1；
满足函数的定义，则f为从集合A到集合B的函数.
(2) A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，
f(3)＝8；
满足函数的定义，f是从集合A到集合B的函数.
(3) A＝B＝{1，2，3}，f(x) ＝ 2x－1；
∵f(2)＝5，不满足条件.
故f不是从集合A到集合B的函数；
(4) A＝B＝{ x∣x ≥ －1}，f(x)＝2x＋1；
满足函数的定义，则f是从集合A到集合B的函数；
(5) A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1；
n为偶数时，f(n) ＝ 1.
满足函数的定义，则f是从集合A到集合B的函数.
3. 求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
(1) f(x)＝3x；
解 函数 f(x)＝3x 定义域为R，值域为R，图象如下：
(2) f(x)＝－3x＋1；
解 函数 f(x)＝－3x＋1定义域为R，值域为R，图象如下：
(3) f(x)＝ －；
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
值域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)，
图象如下：
(4) f(x)＝ －＋1；
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
值域为 (－∞，1)∪(1，＋∞)，
图象如下：
(5) f(x)＝1－x2；
解 定义域为R，
值域为 (－∞，1]，
图象如下：
(6) f(x) ＝x2＋2x.
解 定义域为R，
值域为[－1，＋∞)，
图象如下：
4. 判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：
(1) y＝x，y＝；
解 不是.
∵y＝x 的定义域为R，
而y＝的定义域为{x∣x≠0}，
∴这两个函数的定义域不同.
(2) y＝x2，y＝x2，x∈[0，＋∞)；
解 不是.
因为两个函数的定义域不同
(3) y＝x，s＝t；
解 是.
虽然两个函数的变量不同，
但定义域都是 R，对应关系也相同.
(4) f(x)＝1，g(x)＝1.
解 是.
因为两个函数的定义域相同，
对应关系也相同.
思考·运用
5. 已知函数 f(x) ＝ ax＋b，且 f(3) ＝ 7，f(5) ＝－1，
求 f(0)，f(1) 的值.
解 ∵ f(x)＝ax＋b，且 f(3)＝7，f(5)＝－1，
3a＋6＝7
∴ ，解得a＝－4，b＝19.
5a＋b＝－1
则 f(x) ＝－4x＋19，则 f(0) ＝19，
f(1) ＝ － 4＋19＝15.
6. 直线x＝a和函数y＝x2＋1的图象的公共点可能有几个
解 由函数的定义知
直线 x＝a和函数 y＝a＋1的图象有且仅有一个公共点.
7. 已知f(t)＝，g(t)＝，求证：f(t)－g(t)＝－2g(t2).
证明：∵ f(t)＝ ，g(t)＝，
∴ f(t)－g(t)＝ －
＝
＝ ＝ －2g(t2).
8. 如果函数 f(x)与 g(x)分别由下表给出，那么
f(f(1))＝__________，f(g(2))＝__________，
g(f(3))＝__________，g(g(4))＝__________.
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
x 1 2 3 4
g(x) 2 1 4 3
3
2
3
4
9. 设函数 f(x)＝2x＋3，函数 g(x)＝3x－5，
求 f(g(x))，g(f(x)).
解 ∵f(x)＝2x＋3，g(x)＝3x－5，
∴f(g(x))＝2g(x)＋3＝2(3x－5)＋3＝6x－7，
g(f(x))＝3f(x)－5＝3(2x＋3)－5＝6x＋4.
探究·拓展
10. 已知集合 A＝R，B＝{－1，1}，对应关系 f 如下：
当x为有理数时，f(x)＝－l；
当x为无理数时，f(x)＝1.
该对应是从集合 A 到集合 B 的函数吗
解 ∵A＝R，B＝{－1，1}都是非空数集，
且对于集合A中的任意一个数x，在对应关系f的作用下，
在集合B中都有唯一的一个确定的数f(x)与之对应，
故该对应是从集合A到集合B的一个函数.
11. (操作题)将一枚子投掷 10 次，并将每次子向上的点数
记录在下表中规定对应关系f：对每一投掷序号 n(n＝
1，2，···，10) 对应到这次子的向上点数. 试判断对
应 f 是否为函数. 若是，这个函数值域一定是集合{1，
2，3，4，5，6}吗
投掷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
向上点数 3 2 3 6 4 5 3 2 4 5
∵对于任意一个序号n都有唯一的数与之对应，
∴对应f是函数因为在函数值中，集合{1，2，3，4，5，6}中的数并不一定每个都出现，
由上表可以看出，此函数的值域为{2，3，4，5，6}，
∴ 这个函数的值域不一定是{1，2，3，4，5，6}.
本课结束
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