5.2 函数的表示方法 2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第一册 课件（共71张PPT）

(共71张PPT)
第5章
函数概念与性质
5 . 2
函数的表示方法
让我们再来看 5.1节开头的 3个函数问题.
● 这3个函数是怎样表示的
在第一个问题中，只要知道了表 5-1-1中的某个年份，就能从此表中查得相应的人口数. 这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.
在第二个问题中，物体下落时间 x 与下落距离 y 的函数关系为 y＝4.9x2(x≥0). 这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法. 这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式.
在第三个问题中，我们用图象表示了时刻与气温的关系. 这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.
一、表示函数的三种方法
解析法 用_____来表示两个变量之间的函数关系
列表法 用_____来表示两个变量之间的函数关系
图象法 用_____表示两个变量之间的函数关系
等式
列表
图象
二、本质
两个变量对应关系的三种不同方式的表示.
【思考】
函数的三种表示方法各有哪些优缺点
表示 方法 优点 缺点
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量对应的函数值 只能表示自变量可以一一列出的函数关系
表示 方法 优点 缺点
图象法 能从整体上形象直观地表示出函数的变换情况 只能近似地求出函数值,而且有时误差较大
解析法 便于用解析式研究函数的性质 不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
例 1
购买某种饮料 x 听，所需钱数为 y 元. 若每听 2 元，试分别用解析法、列表法、图象法将 y 表示成 x (x∈{1，2，3，4})的函数，并指出这个函数的值域.
解：(1) 解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}.
(2) 列表法：如表所示.
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
(3)图象法：图象由点(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)
组成，如图所示.
函数的值域是{2，4，6，8}.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 任何一个函数都可以用图象法表示出来. (　　)
(2) 任何一个函数都可以用解析法表示出来. (　　)
(3) 函数的图象一定是连续不断的曲线. (　　)



2. 已知函数 f(x) 的图象如图所示，其中点 A，B 的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则 f(f(0))＝(　　)
A.2 B.4 C.0 D.3
C
解析：结合题图可得 f(0)＝3，则 f(f(0))＝f(3)＝0.
解析
3. 某商场新进了10台彩电，每台售价 3 000元，试求售出台数 x ( x 为正整数)与收款数 y 之间的函数关系，用解析法表示 y＝_______________________________.
3 000x，x∈{1，2，3，…，10}
解析：用解析法表示 y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.
解析
【课堂检测·素养达标】
1.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知，下列说法中错误的是 (　　)
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13℃
D.这天21时的温度是30℃
C
解析：这天的最高温度与最低温度相差为 36－22＝14(℃).
解析
2. 已知函数 f(x) 满足：f() ＝8x2－2x－1，则 f(x)＝ (　　)　　　　
A. 2x4＋3x2 B.2x4－3x2
C. 4x4＋x2 D.4x4－x2
A
解析：令 t＝ ，t≥0，得 x＝，
故有 f(t)＝8× －2× －1，
整理得 f(t)＝2t4＋3t2，即 f(x)＝2x4＋3x2，x≥0.
解析
3. 已知函数 f(x)＝x－，且此函数的图象过点(5，4)，
则实数 m 的值为__________.
5
解析：因为函数 f(x)＝x－ 的图象过点(5，4)，
所以 4＝5－，解得 m＝5.
解析
4. 已知一次函数 f(x) 满足条件f(x＋1)＋f(x) ＝2x，则函数
f(x)的解析式为f(x) ＝____________.
x－
解析
解析：设 f(x)＝kx＋b，k≠0，
因为f(x＋1)＋f(x) ＝2x，所以k(x＋1)＋b＋kx＋b＝2x，
即 2kx＋k＋2b＝2x，所以
解可得，k＝1，b＝－，
所以 f(x)＝x－ .
2k＝2，
k＋2b＝0.
5. 作出下列函数的图象，并求其值域：
(1) y＝1－x (x∈Z，且∣x∣≤2).
解 因为x∈Z，且∣x∣≤2，所以 x∈{－2，－1，0，1，2}，
所以该函数图象为直线 y＝1－x 上的孤立点.
由图象知，y∈{－1，0，1，2，3}.
(2) y＝2x2－4x－3 (0≤x＜3).
解 因为 y＝2(x－1)2－5，
所以当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5.
因为x∈[0，3)，故图象是一段抛物线.
由图象可知，y∈[－5，3).
画出函数 f(x) ＝∣x∣的图象，并求 f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1) 的值.
例 2
－x，x＜0，
解：因为 f(x) ＝∣x∣＝
x， x≥0，
所以函数 f(x)的图象为过原点且平分第一象限、第二象限的一条折线，
如图所示. 其中，
f(－3)＝3，f(3)＝3，f(－1)＝1，f(1)＝1.
某市出租汽车收费标准如下：在 3 km 以内(含 3 km) 路程按起步价9元收费，超过3 km 的路程按 24元/km 收费试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式.
例 3
解 设路程为 x km 时，收费额为 y 元，则由题意得：当x≤3时，y＝9；当x＞3时，按 2.4 元/km 所收费用为 2.4×(x－3)，那么有 y＝9＋2.4×(x－3).
于是，收费额关于路程的函数解析式为
9， 0＜x≤3，
y＝
9＋2.4×(x－3)， x＞3，
9， 0＜x≤3，
即 y＝
2.4x＋1.8， x＞3.
三、分段函数
(1)定义：
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数叫作分段函数.
(2)本质：函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系.
(3) 应用：可以用分段函数描述很多生活中的实际问题.
【思考】
提示：分段函数是一个函数，只不过在不同范围上解析式不同.
1. 分段函数 y＝ 是两个函数吗
－x，x＜0，
x，x≥0.
2. 分段函数的定义域、值域是怎么规定的
提示：定义域为各段范围的并集；
值域为各段上值域的并集.
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 分段函数中各段函数的定义域交集是空集，并集是分段函数的定义域. (　　)
(2) 函数 y＝|x＋1| 不是分段函数. (　　)
(3) 分段函数 f(x)＝ 则f(－2)＝－2. (　　)
x，x≥0，
2x，x＜0.
【基础小测】



2. 若 f(x)＝ 则f(f(－2))＝ (　　)
　　　　　　
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
x2，(x≥0)，
－x，(x＜0).
C
解析：因为－2＜0，所以f(－2) ＝－ (－2) ＝2，
又因为2＞0，所以f(f(－2)) ＝f(2) ＝22＝4.
解析
3. 某城市出租车起步价为10元，最长可租乘 3 km (含3 km)，以后每1 km为1.6元(不足1 km，按1 km计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为 (　　)
C
【课堂检测·素养达标】
1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是 (　　)
解析：根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D；然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C.
解析
2. 已知函数 f(x)＝ 则f(2)＝(　　).　　　　　
A. －1 B.0 C.1 D.2
x－2，x＜2，
f(x－1)，x≥0.
解析：f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
解析
A
3. 国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为 (　　)
A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818元
C
4. 已知函数 f(x) ＝ 若f(x)＝3，
则 x＝___________.
x＋2，x≤0，
x2，0＜x≤0.
解析：依题意，若 x≤0，则 x＋2＝3，解得 x＝1，
不合题意，舍去；
若 0＜x≤3，则 x2＝3，
解得 x＝－ (舍去) 或 x＝ .
解析
5. 已知函数 f(x) 的图象是两条线段(如图所
示，不含端点)，则f(f())＝______.
解析
解析：由题图可知，函数f(x)的解析式为
f(x)＝
所以 f()＝－1＝－ .
所以 f(f())＝f(－) ＝－＋1＝ .
x－2，0＜x＜1，
x＋1，－1＜x＜0.
练 习
1. 1 n mile (海里) 约合 1852 m，根据这一关系，写出米
数 y 关于海里数 x 的函数解析式.
解 由题意得 y＝1852x (x≥0)，
∴ 米数 y关于海里数 x 的函数解析式为：
y＝1852x (x≥0)
2. 画出雨数 f(x)＝∣x＋3∣的图象.
解 当x＋3＞0，即 x＞－3时，f(x)＝∣x＋3∣＝x＋3，
当x＋3＜0，即 x＜－3时，f(x)＝∣x＋3∣＝－x－3.
∴ f(x)＝
函数 f(x)＝∣x＋3∣的图象如图所示.
x＋3 ，x≥－3，
－x－3，x＜－3.
3. (1)用长为 30 cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积 S (单
位：cm2) 表示为矩形一边长 x (单位：cm) 的函数，
并画出函数的图象；
解 由题意可知
S＝
＝x(15－x)
＝－x2 ＋15x，(0＜x＜15).
(2) 用细铁丝围一个面积为 1 cm2 的矩形，试将所用铁丝
的长度 l (单位：cm) 表示为矩形的某条边长 x (单位：
cm) 的函数.
解 设矩形的某一条边长为x(cm)，
则 x＞0，另一条边长为(cm)，
所以铁丝的长度 l＝2x＋，x＞0.
4. 下列图象中，表示函数关系 y＝f(x) 的有________.
(1)(4)
习题 5.2
感受·理解
1. 物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方
成正比. 已知开始下落的 2s 内，物体下落了 19.6，求
开始下落的 3s 内物体下落的距离.
解 由题意设下落的距离y与时间t满足 y＝kt2(k≠0)，
由已知可得当 t＝2 时，y＝19.6，
故19.6＝4k，解得 k＝4.9，
所以 y＝ 4.9t2
所以当t＝3时，y＝4.9×32＝ 44.1.
所以开始下落的3s内物体下落的距离是44.1m.
2. 某公司将进一批单价为 8 元的商品，若按 10 元/个销售，每天可卖出100个；假设销售价每上涨 1 元/个，每天的销售量就减少 10 个.
(1) 设商品的销售价上涨 x 元/个(0≤x≤10，x∈N)，每天的利润为 y 元，试用列表法表示函数 y＝f(x)；
(2) 求销售价为 13 元/个时每天的销售利润；
(3) 如果销售利润为 360 元，那么销售价上涨了多少元
(1) 设商品的销售价上涨 x 元/个(0≤x≤10，x∈N)，每
天的利润为 y 元，试用列表法表示函数 y＝f(x)；
解 y＝(10＋x－8)(100－10x)
＝－10x2＋80x＋200；
即 y＝－10x2＋80x＋200；
(2) 求销售价为 13 元/个时每天的销售利润；
解 销售价为13元/个时，上涨价3，则每天的销售利润为：
－10×32＋80×3＋200＝350(元)；
(3) 如果销售利润为 360 元，那么销售价上涨了多少元
解 销售利润为360元，即 y＝ 360，
则： －10x2＋80x＋200＝360；
解得 x＝4；
即销售价上涨了4元.
3. 设距地面高度 x (单位：km)的气温为 y (单位：℃)，在距地面高度不超过11 km时，y 随着 x 的增加而降低，且每升高 1 km，大气温度降低 6 ℃；高度超过 11km 时，气温可视为不变. 设地面气温为22℃，试写出 y＝f(x) 的解析式，并分别求高度为 3.5 km 和 12 km 的气温.
y＝
22－6x，0 ≤x≤11，
－44，x＞11.
f(3.5)＝ 22－6×3.5＝1，
f(12) ＝ － 44.
即高度为 3.5 km 时的气温为1℃，
高度为12 km 时的气温为－ 44℃.
4. 建造一个容积为 8 m深为 2 m 的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别为 120 元/m2 和 80 元/m2，求总造价 y (单位：元) 关于底面一边长 x (单位：m) 的函数解析式，并指出该函数的定义域.
解 底面一边长为，则另一边长为.
池底的造价为固定值 120×4＝480(元)，
池壁的造价为变化值
80 ×(2x ＋2· ) ×2 ＝320x ＋ ，
则 y＝ 480＋320x＋，
定义域为 x∈(0，＋∞)
5. 画出函数 f(x) ＝－x2＋x＋1(－1≤x≤1) 的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)当－1≤x1＜x2≤时，比较f(x1)与 f(x2)的大小；
(2) 是否存在 x0∈[－1，1]，使得 f(x0)＝－2
作出函数 f(x)＝－x2＋x＋1(－1≤x≤1)的图象如下图：
图象为开口向下，且对称轴为x＝的抛物线的一段.
(1)当－1≤x1＜x2≤时，比较f(x1)与 f(x2)的大小；
解 由图象可知：函数 f(x) 在[－1，]
上是增函数，
∴ －1≤x1＜x2≤，
有f(x1) ＜ f(x2)；
(2) 是否存在 x0∈[－1，1]，使得 f(x0)＝－2
解 由图象可知：
当x∈[－1，1] 时，
fmin (x) ＝f(－1) ＝ －1，
fmax (x) ＝f() ＝ ，即f(x)∈[－1， ]，
∴ 不存在 x0∈[－1，1]，使得 f(x0)＝－2.
6. 已知A ＝{1，2，3，4}，B ＝ {1，3，5}，试写出从
A到B的两个函数.
解 f(x)＝x0；g(x)＝
1，x＝1，2，
3，x＝3，4.
(答案不唯一)
7. 已知函数 f(x)＝ 求 f(2)，f(f(－2))的值.
x， x≥0，
x2，x＜0，
解 f(2)＝2，
f(f(－2))＝f(4)＝4.
8. 画出函数 y＝x3(x∈{－2，－1.5，－1，－0.5，0，0.5，
1，1.5，2})的图象.
思考·运用
9. 某人去上班，先跑步，后步行. 如果 y 表示该人离单位的距离，x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是 ( ).
D
10. 请写出 3 个不同的函数 y＝f(x) 的解析式满 f(1)＝1，
f(2)＝4.
解：f(x)＝x2；
f(x)＝3x－2；
f(x)＝2x2－3x＋2.(答案不唯一)
11.已知某皮鞋厂一天的生产成本 C (单位：元)与生产数量 n (单位：双)之间的函数关系式是 C＝4000 ＋ 50n.
(1)求一天生产1000 双皮鞋的成本；
(2) 如果某天的生产成本是 48 000 元，那么这一天生产了多少双皮鞋
(3) 若每双皮鞋的售价为 90 元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润 P 关于这一天生产数量 n 的函数关系式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能不亏本.
(1) 求一天生产1000 双皮鞋的成本；
解 ∵生产成本C(元) 与生产数量n (双) 之间的函数关系是C＝4000＋50n.
∴n＝1000时，C＝4000＋ 50000＝54000；
(2) 如果某天的生产成本是 48 000 元，那么这一天生产了多少双皮鞋
解 令 C＝4000＋50n＝48000，
解得 n＝880；
(3) 若每双皮鞋的售价为 90 元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润 P 关于这一天生产数量 n 的函数关系式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能不亏本.
解 由题意得：某皮鞋厂一天的生产成本C(元) 与生产数量n(双)之间的函数关系是C＝4000＋50n.
∴p(n)＝90n－(4000＋50n)＝40n－4000(n∈N＋)
要不亏本，必须p(n) ＞0，解得 n≥100.
即每天至少生产100双皮鞋，才能不亏本.
12. 从2006 年11月15日起国内投首重100g以内的外信的邮资标准是每封信的质量不超过 20g 付邮资 120 分，超过20g 而不超过 40g 付邮资 240分，超过 40g 而不超过 60g 付邮资 360分，依此类推试画出反映每封不超过 90g 的信函应付邮资 y (单位：分)与信函的质量 x (单位：g)之间的函数关系的图象.
解：由题意，得 y＝
120，x∈(0，20]，
240，x∈(20，40]，
360，x∈(40，60]，
480，x∈(60，80]，
600，x∈(80，90].
图象如图所示.
y/分
x/g
600
480
360
240
120
20
40
60
80
100
O
探究·拓展
13. (开放题) 已知一个函数的解析式为 y＝x2，它的值域为区间[1，4]，这样的函数有多少个 试写出其中两个函数.
解 设 y＝f(x)＝x2，
其图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝0，是偶函数，
f(x) 在(0，＋∞ ) 上单调递增，在(－∞，0) 上单调递减，
要使 y∈[1，4]，
故只需确定函数的定义域即可.
当 y＝4时，x＝±2，当y＝1时，x＝±1，
这样的函数有无数个，
比如 y＝x2，x∈[1，2] ∪{－1}，
比如 y＝x2，x∈[1，2] ∪{－2}.
本课结束
This lesson is over
THANKS!