4.2 对数 课件（共118张PPT）2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

(共118张PPT)
第4章
指数与对数
4 . 2 对 数
已知1个细胞经过 x 次分裂后，相应的细胞个数为
y＝2x.
由此，若知道了分裂的次数 x，就能求出分裂后相应的细胞数 y . 反过来，
● 若知道了分裂后相应的细胞数 y，怎样求出分裂的次数 x 呢
4.2.1
对数的概念
上述问题也就是在 y＝2x中，已知 y，求 x 此时问题就转化为已知底数和幂的值求指数的问题.
一、对数的概念
(1) 定义：
一般地，如果 ab＝N (a＞0，a≠1)，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作__________，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.
logaN＝b
(2) 特殊对数：
常用对数：以10为底，记作________；
自然对数：以e为底，记作_________.
(3) 指数与对数的关系：
当 a＞0，a≠1 时，ab＝N __________.
lg N
ln N
b＝logaN
【思考】
对数式 logaN 是不是 loga 与 N 的乘积
提示：不是，
logaN 是一个整体，其运算结果是一个实数.
由对数的定义可知，ab＝N与 b＝ logaN 两个等式所表示的是a，b，N 这3个量之间的同一个关系.
例如：
32 ＝ 9 log39＝2，
log42 ＝ 4 ＝2.
根据对数的定义，要解决本节开头提出的问题，就只要计算 log2y 的值.
二、对数的性质
(1)负数和0没有对数；
(2) loga1＝______；
(3) loga a＝______.
0
1
【思考】
你能否推导出对数的性质(2)(3)
提示：因为a0＝1，所以 loga1＝0；
因为a1＝a，所以 logaa＝1.
三、对数的性质
alogaN＝_______.
N
【思考】
对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系
提示：指数的底数与对数的底数相等.
例 1
将下列指数式改写成对数式：
(1) 24 ＝ 16； (2) 3－3 ＝；
(3) 5a ＝ 20； (4) ()b＝0.45.
解：log216 ＝ 4.
解：log3 ＝－3.
解：log220 ＝ 5.
解：log3 0.45＝b.
例 2
将下列对数式改写成指数式：
(1) log5125＝3；
(2) log 3＝－2；
(3) log10 a ＝－1.699.
解：53 ＝ 125.
解：()－2＝ 3.
解：10－1.699 ＝ a .
例 3
求下列各式的值：
(1) log264；
解：由 26＝64 ，得 log264 ＝ 6.
(2) log9 27.
解：设 x＝log927，则根据对数的定义知 9x＝27，
即 32x＝33，
得 2x＝3，x＝，
所以 log927＝ .
四、常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数 ，如log102，log1012 等.为了方便起见，对数 log10N 简记为lg N，如 lg 2，lg 12 等.
五、自然对数
在科学技术中，常常使用以 e为底的对数，这种对数称为自然对数. e＝2.718 28···是一个无理数. 正数N的自然对数 logeN 一般简记为 ln N，如loge2，loge15 分别记为 ln 2，ln 15 等.
e＝1＋1＋ ＋ ＋... ≈ 2.718，是一个重要的常数.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 因为(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2. (　　)
(2) 因为3x＝81，所以 log813＝x. (　　)
(3) log23＝log32. (　　)

对数的底数不能为负值.

应为 log381＝x.

log23 ＝ log32
2. 把对数式 x＝log232 改写为指数式________.
解析：对数式 x＝log232改写为指数式为2x＝32.
解析
2x＝32
3. 若ln e－2＝－x，则 x＝________.
2
解析：因为 ln e－2＝－x，所以 e－x＝e－2，
所以 x＝2.
解析
【跟踪训练】
1. ()－2＋log22 等于 (　　)
A. B. 3 C. 4 D. 5
D
解析：原式＝4 ＋ 1＝5.
解析
2. 已知 logx8 ＝ 3，则 x 的值为(　　)
A. B.2 C.3 D.4
B
解析：因为 logx8＝3，所以 x3＝8，解得x＝2.
解析
3. 若10m＝ ，则 m＝________.
lg
解析：因为10m＝，则 m＝lg.
解析
4. ln(lg10) ＝________.
0
解析：ln(lg 10)＝ln 1＝0.
解析
5. 若对数 ln(x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为
_____________________.
(－ ∞，2)∪(3， ＋∞)
解析：因为对数 ln(x2－5x＋6)存在，
所以 x2－5x＋6＞0，所以解得x＞3或x＜2，
即x的取值范围为：(-∞，2)∪(3，+∞).
解析
练 习
1. 根据对数的定义，写出下列各对数的值 (a＞0，a≠1)：
log10100＝________，log255＝_________，
log2 ＝__________， log51＝__________，
2
－1
0
log33＝________，log 3＝_________，
loga1＝________， loga a＝__________，
1
－1
0
1
2. 填空：
题 号 指 数 式 对 数 式
(1) 24＝16 log216＝4
(2) 3－3＝ log3＝－3
(3) 5a＝25 log525＝a
3. 将下列指数式改写成对数式：
(1) 35＝243； (2) 2－8＝；
(3) 2x＝10； (4) ()x＝12.
log3243＝5
log2 ＝－8
log210＝x
log 12＝x
4. 将下列对数式改写成指数式：
(1) log 4 ＝ － 4； (2) lg 10 000＝4；
(3) lg a＝ 0.4771； (4) ln 12＝b.
()－4 ＝4
104＝10000
100.4771＝a
eb＝12
5. 求下列各式的值：
(1) log4 64； (2) log7 ；
(3) log2 ； (4) log 9；
(5) 1g 1000； (6) ln .
＝3
＝
＝－3
＝－2
＝3
＝－2
6. 利用计算器计算下列对数的值(结果保留4 位小数)：
(1) lg 2； (2) lg 5；
(3) lg 1.078； (4) lg 0.84.
≈0.3010
≈0.6990
≈0.0326
≈－0.0757
7. 已知 a＞0，a≠1，N＞0，b∈R.
(1) logaa2 ＝_____________，logaa5 ＝___________，
logaa－3＝____________，logaa ＝___________，
一般地，logaab＝__________，请证明这个结论；
2log2a
5
－3
b
(2) 证明： a ＝ N.
logaN
4.2.2
对数的运算性质
我们知道，指数幂运算有下列性质：
asat ＝ as＋t；
＝ as－t；
(as)t ＝ ast.
根据对数的定义，有
logaN＝b ab ＝ N (a＞0，a≠1，N＞0).
那么，对数运算也有相应的性质吗
设 M＝as，N＝at，
于是 MN＝as＋t.
由对数的定义得 logaM＝s，logaN＝t，
loga(MN) ＝ s＋t.
因此，loga(MN) ＝logaM ＋logaN.
一、对数的运算性质
(1) 性质：
一般地，我们可以得到如下的对数运算性质：
①积的对数：loga(MN) ＝_________________；
②商的对数：loga＝_________________；
③幂的对数：logaMn＝____________.
其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R.
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
思 考
你能证明性质②和性质③吗
(2) 本质：
正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3) 应用：
广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题.
【思考】
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗
提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和；
商的对数等于分子的对数减去分母的对数；
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
例 4
求下列各式的值：
(1) log2(23×45)；
解：＝log223＋log245
＝3＋5log24
＝3＋5×2
＝13.
(2) log5125.
解：＝log5125
＝1og553
＝3log55
＝3.
例 5
已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值 (结果保留4位小数)：
(1) lg12；
解：＝lg(22×3)
＝lg22＋lg3
＝2lg2＋lg3
≈2×0.3010＋0.4771＝1.079 1.
(2) lg .
解：＝lg(22×3)
＝lg33－lg24
＝3lg3－4lg2
≈3×0.4771－4×0.3010＝0.2273.
用计算器检验运算的结果.
练 习
1. 用 lgx，lgy，lgz 示下列各式：
(1) lg(xy2z3)；
(2) lg.
2. 求下列各式的值：
(1) log3(9×27)；
(2) log (45×82)；
＝ log39＋log327
＝2＋3
＝5
(3) lg 25＋lg 4；
(4) log 27－log 9；
＝lg (25×4)
＝lg100
＝2
＝－log333＋log332
＝－3＋2
＝－1
3. 已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值
(结果保留4位小数)：
(1) lg 18；
(2) lg 72；
＝lg(2×3)
＝lg2＋2lg3
≈0.3010＋2×0.4771
＝1.2552
＝lg(23×32)
＝3lg2＋2lg3
≈3×0.3010＋2×0.4771
＝1.8572
(3) lg ；
(4) lg 15.
＝ lg(3×2－2)
＝lg3－2lg2
≈ 0.4771－2×0.3010
＝－0.1249
＝lg(10×3÷2)
＝1＋lg3－lg2
≈1＋0.4771－0.3010
＝1.1761
4.设 lg 2 ＝ a，lg 3 ＝ b，试用 a，b 表示下列各对数：
(1) lg 108；
(2) lg .
＝ lg (22×33)
＝lg22＋lg33
＝2lg2＋3lg3
＝2a＋3b
＝lg
＝ lg72 － lg100
＝ lg (23×32) － lg102
＝ lg23＋lg3－2
＝ 3lg2 ＋ 2lg3－2
＝ 3a＋2b－2
5. 不用计算器，求下列各式的值：
(1) lg ＋lg；
(2) log3 45 － log3 5.
＝ lg(×)
＝ lg
＝ lg10
＝ lg10＝
＝log3()
＝log39
＝ 2
例 6
试用常用对数表示 log35.
解 设 t＝log35，则 3t＝5.
两边取常用对数，得 lg 3t＝lg 5，
即 t lg 3＝lg 5，
所以 t＝.
故 log3 5＝ .
例 7
证明：logaN＝ ，其中a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1
证明 设 t＝logaN，则at＝N.
两边取以c为底的对数，得 logc(at)＝logcN，
即 t logca＝logcN，
所以 t ＝. 故 logaN ＝ .
二、换底公式
logaN＝________ (a＞0，且a≠1；N＞0；c＞0，c≠1).
(1) 公式：
这个公式称为对数的换底公式.
(2)本质：
将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数.
(3)应用：
将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【思考】
(1) 对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式
提示：logab＝ ，logab＝ .
(2) 你能用换底公式证明结论 logNnMm＝logNM 吗
提示： logNnMm ＝ ＝
＝ · ＝ logNM.
例 8
求log89×log332 的值.
解 log89×log332 ＝ ×
＝ ×
＝ .
例 9
如图，2000 年我国国内生产总值(GDP)为89 442 亿元如果我国 GDP 年均增长 78%，那么按照这个增长速度，在 2000 年的基础上，经过多少年以后，我国 GDP 就能实现比2000年翻
两番的目标
解 假设经过x年实现GDP 比 2000 年翻两番的目标根据题意，得
89 442× (1＋7.8%)x＝89 442×4
1.078x＝4，
故 x＝log1.078 4＝ ≈18.5.
答 约经过 19 年以后，我国 GDP 就能实现比 2000 年翻两番的目标.
要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C会自动衰变. 经过 5 730 年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C 的原始含量为 1，则经过x年后的残留量为 y＝0.999 879x.
例 10
用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C 的残余量占原来的 87.9%，试推算古莲子的生活年代.
解 由题设可知，原始量为 1的14C 经过x年后的残余量是 y＝0.999 879x.
由 y＝87.9%＝0.879 可知
0.879＝0.999879x，
两边取常用对数，得
x lg 0.999 879＝lg 0.879，
从而 x＝ ≈1 066.
答 古莲子约是 1066 年前的遗物.
练 习
1. 利用对数的换底公式，计算下列各式的值：
(1) log25 × log54；
＝ log25×
＝log24
＝2.
(2) log23×log34×log45×log56×log67×log78.
＝ log23× × × × ×
＝log28
＝3.
2. 证明：log34 ＝ .
解 由题意，log34 ＝ ＝
3. 利用对数的换底公式，计算 log2×log3×log5.
解 原式＝ × ×
＝ × ×
＝ × ×
＝(－ 2)×(－3)×(－ 2) ＝ － 12.
4. 利用计算器，计算下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1) log25 ＋ lg 5；
(2) log53.14 － log73；
原式＝ ＋lg5 ≈3.0209
原式＝ － ≈0.1464
(3) log2÷log53；
(4) lg2×log310.
原式＝ · ＝≈1.1610
原式＝lg2· ＝≈0.6309
5. 截至 1999 年底，我国人口约 13 亿如果此后的人口年
平均增长率为 1%，那么约经过多少年后，我国人口
数将达到 18 亿
解：设约经过 x 年后，我国人口数将达到 18 亿，则
13(1＋1%)x＝18，
∴ x＝log1.10＝ ＝ ≈ 33.
∴约经过 33 年后，我国人口数将达到 18 亿.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) lg(xy) ＝lg x·lg y. (　　)
(2) log3 ＝(　　)
(3) ＝log216. (　　)



lg(xy) ＝lg x＋lg y.
log3＝log327－log39.
2. 若lg a－2lg 2＝1，则 a＝ (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.10 C.20 D.40
D
解析：lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg ＝1，
所以 ＝10，所以 a＝40.
解析
3. 若 ln x＝2ln a－ln b，则 x＝________.
解析
a2b
－
解析：因为 ln x ＝ 2ln a － ln b ＝ ln a2b ，
所以 x＝a2b .
－
【跟踪训练】
1. 化简 lg＋2lg 2 －()－1 的值得 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B. － 2 C.1 D.-1
D
解析：lg＋2lg2－()－1＝lg＋lg 4－2
＝ lg()－2＝1 －2＝ － 1.
解析
2.已知正实数 a，b，c 满足log2a＝log3b＝log6c，则( 　)
A. a＝bc B.b2＝ac C.c＝ab D.c2＝ab
C
解析：设log2a＝log3b＝log6c＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝6k，
所以 c＝ab.
解析
3. 已知 xlog32＝1，则2x＋2－x 的值是 (　　)
A.1 B.3 C. D.
D
解析：因为xlog32 ＝ 1，
所以 x ＝ log23，
所以 2x＋2－x＝2log23＋2－log23 ＝3＋ ＝.
解析
4. log23·log35·log516＝________.
4
解析：原式＝ · · ＝ ＝ ＝4.
解析
习题 4.2
感受·理解
1. 将下列指数式改写成对数式：
(1) 32＝9；
(2) 7－2＝；
(3) 8 ＝32；
(4) 3m＝2.
log39 ＝ 2
log7 ＝ － 2
log832 ＝
log32 ＝ m
2. 将下列对数式改写成指数式：
(1) log28＝3；
(2) log93＝；
(3) log49 ＝－；
(4) log25＝2.321 9；
(5) lg 6＝0.778 2；
(6) ln 10＝2.302 6.
23＝8
9 ＝3
49 ＝
－
22.3219＝5
100.7782＝6
e2.3026＝10
3. 求下列各式的值：
(1) log3 81；
(2) log4 ；
(3) log3.4 3.4；
＝log334＝4log33＝4
＝log44－3＝－3log44＝－3
＝1
(4) log0.45 1；
(5) lg 125＋lg 8；
(6) log2 56－log27.
＝0
＝lg1000＝lg103＝3lg10＝3
＝log28＝log223＝3log22＝3
4. 利用计算器，求下列各式的值(结果保留 4 位小数)：
(1) lg36－lg4； (2) lg 36×lg 9；
(3) 2lg 5÷3lg 2； (4) lg .
＝lg9＝2lg3≈0.9542
＝4lg6×lg3≈1.4851
≈ 1.5480
＝lg3≈0.2386
5. 已知 lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值
(结果保留 4 位小数):
(1) lg 54；
(2) lg 1.5；
原式＝ lg (2×27) ＝ lg 2＋3lg 3
≈ 0.301 0＋3×0.477 1＝1732 3；
原式＝ lg ＝ lg3－lg2
≈0.477 1 － 0.3010 ＝ 0.1761；
(3) lg ；
(4) lg 45.
原式＝ lg4－lg9
＝2lg2－2lg3
≈2×0.3010 －2×0.4771＝－0.3522；
原式＝ lg 5＋lg 9
＝1－lg 2＋21g 3
≈1－ 0.3010 ＋ 2×0.477 1＝1.653 2.
6. 不用计算器，求下列各式的值：
(1) log48－log 3；
(2) 2lg 4＋lg ；
＝ log2223 － log3－23
＝ lg22 ＋ log33
＝＋ ＝2
＝21g22＋lg5－lg23
＝4lg2＋lg5－3lg2
＝lg2＋lg5
＝lg(2×5) ＝1
(3) (lg 5)2＋lg 2 ＋lg 50 .
＝(lg5)2＋lg×lg50
＝(lg5)2 ＋(lg10－lg5)×(lg10＋lg5)
＝(lg5)2＋(1－lg5)×(1＋lg5)
＝(lg5)2＋1 －(lg5)2
＝1
7. 已知lg2＝a，lg3＝b，试用 a，b 表示下列各对数：
(1) lg 36； (2) lg 15；
＝ lg62
＝ 2lg6
＝ 2(lg2＋lg3)
＝2(a＋b)
＝lg(10×)
＝ lg10＋lg3－lg2
＝ 1＋b－a
(3) lg ； (4) lg 1.8.
＝lg
＝ lg2＋lg3 － lg10
＝ a＋b－1
＝lg
＝ lg
＝ lg2＋2lg3 － lg10
＝ a＋2b－1
8. 如果我国国内生产总值 (GDP) 2020 年比 2010 年翻一
番那么平均每年的增长率是多少 (精确到 0.1%)
解 设平均每年的增长率为x，
若2000年的GDP为a，则若2010年的GDP为2a，
根据题意得 a(1＋x)10＝2a，
∴(1＋x)10 ＝ 2，
两边取常用对数得10lg(1＋x) ＝ lg2，
∴lg(1＋x) ＝ lg2 ＝lg2 ，
∴1＋x＝2 ，
∴x ＝ 2 － 1 ≈ 1.0718 － 1 ≈ 0.072，
∴平均每年的增长率约为7.2%.
9. 设 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，
证明：loga ＝ logaM－logaN，logaMn ＝ nlogaM.
证明：设logaM＝p，logaN＝q，
由对数的定义可以得 M＝aP，N＝aq
∴＝ ＝a p－q
∴loga ＝logaa p－q
∴ loga ＝logaM －logaN
∵ M＝ap，Mn＝anp
∴logaMn ＝np
∴ logaMn ＝nlogaM
思考·运用
10. 设 a，b 均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，
证明：
(1) logab ＝ ；
证明 原式＝＝ ＝ .
(2) loganbm ＝ logab (m∈R，n∈R，n≠0).
证明 原式＝＝ ＝ logab.
11. (1)设lg6＝a，lg12＝b，试用 a，b 表示 lg24 和1g120；
(2) 设lg6＝a，lg15＝b，试用a，b 表示lg24和lg120.
探究·拓展
12. (阅读题) 对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过
对数转换，可以简化运算过程. 例如，1，10，100，
1 000，10 000，···成 10 倍增长，取常用对数后就变
为0，1，2，3，4，···.
我们再来看物理学中的一个例子. 声强是表示声波强度的物理量，可用公式 I＝ vA2 表示，其中v表示声速，和A分别是声波的频率幅，是媒质的密度.
由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级 L ＝lg. 通常规定 I0＝10－20W/m2 (相当于频率为 1000 Hz 时能够引起听觉的最弱的声强)，
这时计算出来的 L 就是声强 I 的量度，式中声强级的单位称为贝尔实际上由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的 作单位，这就是分贝(dB)：L ＝10lg (dB) .
当被测量的声强 I 为声强 I0 的 100 倍时，声强级 L 为多少分贝
当I是I0， 的 100 倍时，＝100。
∴L ＝ 10lg ＝ 10 · lg 100 ＝ 20(dB)。
当声强 I 为规定声强 I0 的100倍时，声强级L为20分贝.
问题与探究
秘诀在对数
一次速算表演中，主持人出题：一个 35 位整数的 31 次方根仍是一个整数，下面我报出这个 35 位数，请说出它的 31 次方根，这个 35位数是······
未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的 31次方根：13.
还不知道什么数，他居然能求出方根，并且是 31 次方根，又用的是心算，而且闪电般地快! 你很惊奇吧
其实很简单，因为只有一个整数，它的 31 次方是一个 35 位整数你知道为什么吗 在事先不知道题目的情况下，速算专家是怎么如此快速地推算出这个结论的呢
现在只告诉你，速算专家的秘诀是：他心中记住了下面的表(表中常用对数为近似值).
真 数 常用对数 真数 常用对数
2 0.30 11 1.04
3 0.48 12 1.08
4 0.60 13 1.11
5 0.70 14 1.15
6 0.78 15 1.18
7 0.85 16 1.20
8 0.90 17 1.23
9 0.95 18 1.26
10 1.00 19 1.28
如果你不能心算，也可以借助笔把专家的思路弄清了，再自己试一试.比如下面的题目：一个 20 位整数的 64 次方根仍是一个整数，这个 64 次方根是多少
阅读
对数概念的形成和发展
对数是由苏格兰数学家纳皮尔 ( J . Napier，1550-1617)发明的纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算，在没有指数概念的情况下发明了对数，并于1614 年在《奇妙对数定律说明书》中，介绍了他的方法和研究成果.
18世纪的欧拉(L，Euler，1707-1783)深刻地揭示了指数与对数的密切联系，他曾说“对数源出于指数”.
在纳皮尔的著作发表 40 年后，对数传入我国，logarithm 一词被译成“比例数”后又逐步演变成“对数”，意指“对(照)表中的数”. 清代数学家戴煦(1805-1860)等，经过独立的刻苦研究，也取得了很多成就。
纳 皮尔 (J.Napier. 1550--1617)，苏格兰数学家，对数发明人.
现在通用的“常用对数”.是与纳皮尔同时期的英国教学家布里格斯( H.Briggs，1561-1631)引入的，并于1617 年出版了常用对数表.1622年，英国数学家斯皮德尔(J，Speidell) 给出了以e为底的自然对数表.
恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为 17 世纪的三大数学发明.
法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯( P.S.Laplace，1749-1827)曾说： 对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
由此可见，对数的发明对于人们研究科学和了解自然起了重大作用.
写 作
收集有关对数概念的形成和发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.
本课结束
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